第五章 一元函数的导数及其应用单元综合测试卷-2025年高二数学寒假精髓讲解与强化训练 (人教A2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 3．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 4．已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A． B．是的一个极值点 C．在上的平均变化率为1 D．在处的瞬时变化率为2 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有个 D．导函数的极值点为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的图象在点处的切线的斜率为 ． 13．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 14．若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数在处的切线平行于轴. (1)求与的关系； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 16．（15分） 已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 17．（15分） 已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 18．（17分） 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，恒成立； (3)是否存在实数a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. 19．（17分） 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及其应用单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 2．如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以． 故选：A． 3．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 【答案】C 【解析】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：C. 4．已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，定义域为，曲线与轴相切， 设切点为，，易得，故， 又，， 故，解得. 故选：B. 5．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 6．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 7．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 8．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意函数与的图象有两个交点， 令，则， ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又恒过点，当时，， 在同一坐标系中作出函数、的图象，如图， 由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则， 当直线为函数图象的切线时，由，可得， ∴且，即. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】， 令，则， 所以函数的单调增区间为， 则符合题意的选项为AD. 故选：AD. 10．已知函数，则（    ） A． B．是的一个极值点 C．在上的平均变化率为1 D．在处的瞬时变化率为2 【答案】BD 【解析】利用复合函数的求导法则，由，所以A错误； 因为，当时，， 且时，，时，，故为极大值点，所以B正确； 由在上的平均变化率为，所以C错误； 因为，当时，，所以D正确. 故选：BD. 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有个 D．导函数的极值点为 【答案】ABD 【解析】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的图象在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【解析】因为，则， 故函数的图象在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 13．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 14．若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ． 【答案】 【解析】函数，求导得， 由函数在处有极值，得，解得， 此时，由，得， 当时，，当时，，函数在处取得极值， 因此，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值等于. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数在处的切线平行于轴. (1)求与的关系； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 【解析】（1）由，可得，， 依题意，，即得， 此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以， 所以； （2）函数在上单调递增等价于在上恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 故得且，即的取值范围是. 16．（15分） 已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 【解析】（1）由， 得， 因为，所以， 所以曲线在点处切线的方程为， 即． （2）令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又，所以函数的极小值为，极大值为13． 17．（15分） 已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 【解析】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 （2）证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 18．（17分） 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，恒成立； (3)是否存在实数a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. 【解析】（1）依题意，据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）当时，且时，， 令下证即可. 再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故， 所以当时，恒成立. （3）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意． 19．（17分） 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【解析】（1）因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$