专题02 导数的运算（10大题型）-2025年高二数学寒假精髓讲解与强化训练 (人教A2019选择性必修第二册）

专题02 导数的运算 【题型归纳目录】 题型一：利用导数公式求函数的导数 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 题型三：求复合函数的导数 题型四：利用导数求函数式中的参数 题型五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 题型六：利用导数公式求切点坐标问题 题型七：与切线有关的综合问题 题型八：切线平行、垂直问题 题型九：最值问题 题型十：公切线问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），，这样的形式． 要点诠释： 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即． 4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，． 6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 题型一：利用导数公式求函数的导数 【例1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式1-1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式1-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 要点诠释： 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 【例2】求下列函数的导数． (1)； (2)． 【变式2-1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点三：复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 要点诠释： 1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量． 2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数． 题型三：求复合函数的导数 【例3】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式3-1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：利用导数求函数式中的参数 【例4】已知函数，则 . 【变式4-1】已知函数的导函数为，且满足，则 ． 【变式4-2】已知函数，则 . 【变式4-3】已知函数，则 ． 题型五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 【例5】已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【变式5-1】已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)过点作曲线的切线，求的方程. 【变式5-2】求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 【变式5-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 题型六：利用导数公式求切点坐标问题 【例6】已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为 ． 【变式6-1】若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 . 【变式6-2】已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，，则 . 【变式6-3】若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 . 题型七：与切线有关的综合问题 【例7】已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是 ． 【变式7-1】如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=(其中是自然对数的底数)，O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则 . 【变式7-2】若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 . 【变式7-3】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 题型八：切线平行、垂直问题 【例8】已知曲线：，曲线：， （1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数 ； （2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 . 【变式8-1】已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为 . 【变式8-2】已知函数的图象在点和处的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则的取值范围为 . 题型九：最值问题 【例9】已知，，则的最小值为 ． 【变式9-1】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 . 【变式9-2】设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 【变式9-3】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 题型十：公切线问题 【例10】若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式10-2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【变式10-3】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【强化训练】 1．实数满足：，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．8 2．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 4．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知曲线和直线，则（    ） A．曲线上与直线l平行的切线的切点为 B．曲线上与直线l平行的切线的切点为 C．曲线上的点到直线l的最短距离为 D．曲线上的点到直线l的最短距离为 10．（多选题）已知非常值函数及其导函数的定义域均为,则（） A．若,则为奇函数 B．若为偶函数,则 C．若为偶函数,为奇函数,则 D．若与均为偶函数,则 11．（多选题）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 12．对于，且这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：. 根据框内的信息，函数的导数 ． 13．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则 ． 14．写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 15．已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 16．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 17．已知函数，，的图象在处的切线方程为． (1)求，的值； (2)直线是否与函数的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由． 18．已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 19．已知两条曲线，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 导数的运算 【题型归纳目录】 题型一：利用导数公式求函数的导数 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 题型三：求复合函数的导数 题型四：利用导数求函数式中的参数 题型五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 题型六：利用导数公式求切点坐标问题 题型七：与切线有关的综合问题 题型八：切线平行、垂直问题 题型九：最值问题 题型十：公切线问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），，这样的形式． 要点诠释： 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即． 4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，． 6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 题型一：利用导数公式求函数的导数 【例1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【解析】（1）. （2）； （3），所以； （4）； （5）. 【变式1-1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【解析】（1）由幂函数的导数公式有； （2）由幂函数的导数公式有； （3）由幂函数的导数公式有； （4）由指数函数的导数公式有； （5）由对数函数的导数公式有. 【变式1-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以． （3）因为， 所以． （4）因为， 所以． 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 要点诠释： 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 题型二：求函数的和、差、积、商的导数 【例2】求下列函数的导数． (1)； (2)． 【解析】（1）． （2） ． 【变式2-1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）方法一：， ∴； 方法二： ； （2）， ∴； （3） ； （4） ． 【变式2-2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）． （2） ． （3）． （4）． 知识点三：复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 要点诠释： 1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量． 2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数． 题型三：求复合函数的导数 【例3】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）结合题意可得：． （2）结合题意可得：． （3） ． 所以． 【变式3-1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）设，， 则 ． （2）设，，， 则． （3）设，，， 则． （4）设，， 则． 【变式3-2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1），设，， 则． （2）设，， 则． （3）设，， 则． （4）设，， 则． 题型四：利用导数求函数式中的参数 【例4】已知函数，则 . 【答案】 【解析】由已知，， 令得，． ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】已知函数的导函数为，且满足，则 ． 【答案】/-0.25 【解析】由，则， 所以，则. 故答案为：. 【变式4-2】已知函数，则 . 【答案】 【解析】因为，则， 令，可得，解得. 故答案为：. 【变式4-3】已知函数，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 令，则，解得， 可得， 所以． 故答案为：. 题型五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 【例5】已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【解析】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 【变式5-1】已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)过点作曲线的切线，求的方程. 【解析】（1）， 因此，所以在点处的切线方程为：，即. （2）设切点，则切线的斜率为， 切线为过， 所以整理得，从而斜率， 所以切线的方程为. 【变式5-2】求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 【解析】（1）由，则， 因为切点为， 所以当时，切线斜率，， 所以切线方程为，即. （2）由，则， 因为切线斜率为，令，则，， 则切点为， 所以切线方程为，即. （3）由，则，， 设切点为，切线方程为， 所以切线斜率，切线方程为， 因为切点为，所以，所以， 所以切线方程为. 【变式5-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【解析】（1）由题意，函数的导数为，所以， 即曲线在点处的切线斜率为4，且切点为， 所以切线方程为，即为； （2）设切点为，可得切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过原点，可得，解得， 即切点为， 所以切线方程为，即． 题型六：利用导数公式求切点坐标问题 【例6】已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为 ． 【答案】 【解析】设切点为， 由，求导得，可得切线的斜率为， 因为切线倾斜角为，则斜率是1，即，解得， 故切点的坐标为. 故答案为：. 【变式6-1】若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 . 【答案】9 【解析】，设切点坐标为，切线斜率为， 切线方程为，将代入得， 即. ，设切点坐标为，切线斜率为， 切线方程为，将代入得， 即， 又因为，可得，即， ， 所以. 故答案为：9 【变式6-2】已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，，则 . 【答案】3 【解析】设切点为，由，得， 则切线的斜率为， 所以切线为， 又切线过点，所以， 整理得，而是此方程的两个实根， 所以. 故答案为：3 【变式6-3】若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 . 【答案】 【解析】因为，所以，又切线与直线平行， 所以切线的斜率为，设切线与曲线相切于点，则，解得， 则切点的坐标为. 由于切线的斜率为，过点，所以该切线方程为：，即. 故答案为：， 题型七：与切线有关的综合问题 【例7】已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】由题意可知的圆心在直线上， 曲线，，曲线在点处的切线为，与平行； 故曲线上的动点Q到直线的最小距离为到的距离为， 因此，故n的最大值是． 故答案为：. 【变式7-1】如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=(其中是自然对数的底数)，O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则 . 【答案】0 【解析】当时，过原点作的切线， 设切点，， ， 则切线方程为， 又切线过点所以， 所以. 设，则为增函数，且，所以， 当时，过原点作的切线， 设切点B， ， 则切线为，又切线过点 所以，又，， 因为，所以两切线垂直,所以. 故答案为：0. 【变式7-2】若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 . 【答案】或 【解析】设切点， 则切线方程为， 又切线过，则， 有两个不相等实根， 其中 或. 故答案为：或 【变式7-3】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 过点作曲线的切线，设切点坐标为， 则，即， 由于，故， 因为过点作曲线的切线有且只有两条， 所以有两个解，且，即或， 所以，， 所以. 故答案为： 题型八：切线平行、垂直问题 【例8】已知曲线：，曲线：， （1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数 ； （2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 －2 【解析】(1)由已知分别求出曲线在处的切线的斜率及曲线在处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得的值; (2)曲线上任意一点处的切线的斜率,则与垂直的直线斜率为,再求出过曲线上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案.(1),则曲线在处的切线的斜率, 在处的切线的斜率, 依题意有,即; (2)曲线上任意一点处的切线的斜率, 则与垂直的直线的斜率为, 而过上一点处的切线的斜率, 依题意必有,解得, 故答案为:. 【变式8-1】已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为 . 【答案】 【解析】由得，所以切线的斜率为， 所以，解得： 故答案为： 【变式8-2】已知函数的图象在点和处的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】作图可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，， 当时， 由导数的几何意义知，． 因为的图象在P，Q两点处的切线互相垂直，所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故，故的取值范围为. 故答案为： 题型九：最值问题 【例9】已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【变式9-1】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由，得：，. 所以与互为反函数． 则它们的图象关于对称． 要使的距离最小，则线段垂直直线. 点在曲线上，点Q在曲线上， 设，. 又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍． 以Q点为例，Q点到直线的最短距离 所以当，即时，d取得最小值， 则的最小值等于. 故答案为： 【变式9-2】设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为， 由，得，所以切点为， 则点到直线的距离就是的最小值，即. 故答案为：. 【变式9-3】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为 所以. 所以点在曲线上. 点在曲线上. 的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值. 等价于曲线平行于的切线到曲线的距离. 设切点为,, 则或（舍） 所以，切点. 该点到直线的距离为：. 所以的最小值为. 故答案为：. 题型十：公切线问题 【例10】若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 【变式10-1】斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A 【变式10-2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【解析】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 【变式10-3】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【答案】D 【解析】因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， 设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 【强化训练】 1．实数满足：，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．8 【答案】D 【解析】由，得，又， 的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为1， ，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为的最小值， 的最小值为． 故选：D 2．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ． 解得，， 在处的切线斜率为． 又， 函数在处的切线方程为， 即． 故选：C． 3．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以. 令，得，所以， 所以，则. 故选：B． 4．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴，即在处的切线的斜率为1. 故选：C. 5．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，∴． 又，∴所求切线方程为， 即． 故选:C． 6．已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立得，则， 所以直线与曲线不相交， 因此当曲线在点处的切线与直线平行时，点到该直线的距离最小. 因为，直线的斜率，所以，解得，则， 所以到直线的距离最小，最小值为. 故选：C 7．已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出曲线（）和直线的图象，如下图所示 若使得取最小值， 则曲线在点处的切线与直线平行， 对函数求导得，令，可得， 又，解得． 故选：C 8．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，， 故， ， 则切线斜率为，故， 所以． 故选：B. 9．（多选题）已知曲线和直线，则（    ） A．曲线上与直线l平行的切线的切点为 B．曲线上与直线l平行的切线的切点为 C．曲线上的点到直线l的最短距离为 D．曲线上的点到直线l的最短距离为 【答案】BC 【解析】设与直线平行的直线和相切，则斜率为. 因为，所以，令，可得切点为，故A错误，B正确； 则点到直线的距离就是曲线上的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知最短距离为，故C正确，D错误. 故选：BC. 10．（多选题）已知非常值函数及其导函数的定义域均为,则（） A．若,则为奇函数 B．若为偶函数,则 C．若为偶函数,为奇函数,则 D．若与均为偶函数,则 【答案】BC 【解析】A选项：若,则关于对称，则是将函数的图象像右平移2个单位，并向下平移1个单位，则函数的图象关于对称，则函数不是奇函数，故选项A错误. B选项：若为偶函数，则则函数关于对称， 则 令则 则故选项B正确. C选项:若为偶函数,为奇函数, 则 则关于对称，关于对称， 则 则故半周期为 则周期为4，则 故选项C正确. D选项：若与均为偶函数， 则令则 即关于和对称， 则关于对称，关于对称， 例如. 故选：BC. 11．（多选题）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设切点. 因为曲线在点P处的切线的斜率，所以， 所以点P的坐标为或. 故选：AD. 12．对于，且这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：. 根据框内的信息，函数的导数 ． 【答案】 【解析】因为，故可得， 所以，即， 所以. 故答案为：. 13．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则 ． 【答案】-2 【解析】由题得， 所以，解得， 所以，得， 所以切点为，将的坐标代入切线方程得， 所以． 故答案为：-2. 14．写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 【答案】 【解析】因为， 当时，，设切点为，由，得， 所以切线方程为. 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，，设切点为，由，得， 所以切线方程为. 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即. 故答案为：；. 15．已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为, 又该切线过坐标原点，所以，即， 解得:． 故答案为：. 16．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 【答案】或(写出其中一条即可) 【解析】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 17．已知函数，，的图象在处的切线方程为． (1)求，的值； (2)直线是否与函数的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由． 【解析】（1）． ∵的图象在处的切线方程为， ∴，即， 解得，又的图象过点， ∴，解得． 综上，，． （2）设直线与函数的图象相切于点． ∵， ∴，解得， 将代入， 得点的坐标是， ∴切线方程为， 化简得， 故直线与函数的图象相切，切点坐标是． 18．已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 【解析】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 当时，；当时，，依题意，， 又，所以. （2）设直线与曲线，相切的切点分别为， 函数，求导得，则，，即，， 因此直线与曲线，相切的切点分别为，， 于是，解得， 所以实数的值为2. 19．已知两条曲线，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 【解析】由于，设这两条曲线的一个公共点为 所以两条曲线在处的斜率分别为. 若使两条切线互相垂直，必须，即， 也就是，这是不可能的. 两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $$