精品解析：四川省达州市达川区2024—-2025学年九年级上学期期末教学质量检测数学试卷

达川区2024年秋季教学质量监测 九年级数学试卷 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷选择题（共40分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 景德镇瓷器以白瓷为闻名，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，是称誉世界的古代陶瓷艺术杰出代表之一．如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程：时，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 某中学一年一度的校园艺体节如期来临，九年级（1）班积极组织学生参加本次活动，活动报名时，每个学生都可从书法、科幻画、100米、200米、跳高等项目中，任选一至两项参加．已知小明与小华在书法、100米、200米、跳高四个项目中各选择了一项参加，则他们选择到相同项目的概率大约是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行四边形中，对角线、相交于O，则下列说法一定正确的是（ ） A. 当时，平行四边形为菱形 B. 当时，平行四边形为矩形 C. 当时，平行四边形为菱形 D. 当时，平行四边形为正方形 6. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积S（）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则人和木板对湿地的压力是（ ） A. 600N B. 300N C. 2000N D. 150N 7. 如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（ ）米． A. 8 B. C. 20 D. 24 9. 如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 12 10. 如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是______． 12. 有四张正面分别标有一元二次方程不透明卡片（如图），它们除文字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，不放回，再从余下的卡片中任取一张，则抽到的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为______． 13. 已知点，，在反比例函数图象上，则，，的大小关系为_______．（用“”按从小到大的顺序排列） 14. 图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂，可分别绕点旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即两点重合），，，．如图（c），当夹子完全张开时（即两点重合），夹嘴间的距离的长为________． 15. 如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是_______． 三、解答题（共10小题，90分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥我踩到你的‘脑袋’了．”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他们的对话，完成下列问题． （1）画出此时妹妹在阳光下的影子； （2）若哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为，求妹妹的身高． 18. 2025年四川将迎来首届不分文理的“3+1+2”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分． （1）在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中随机选择2门，恰好有地理学科概率是多少？（用列举法进行分析） （2）由首选和再选科目组成选择考3门学科共有__________种不同的组合； （3）小明同学对物理和生物很有兴趣，若在选择考3门学科的所有组合中随机选择一种组合，则该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率是__________． 19. 如图，直线，直线与、交于A、B，在上取一点C，使，平分，交于点D，交于点，，交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 20. 如图，在中，，D是上任意一点，过点C作，垂足为E．连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若是的中点，且，求的度数． 21. 今年以来四川把家电以旧换新作为惠民生的重要举措，截至10月30日全省家电补贴金额达18亿元．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能冰箱和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台4000元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台3240元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款冰箱原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款冰箱的单价是3000元，商家决定每台冰箱降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台冰箱可获得元的补贴．若商家所获的总利润为27000元，求m的值 22. 如图，一次函数与反比例函数交于、两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一动点，连接，，当面积为6时，请求出点P的坐标； 23. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． （1）将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． （2）在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 24. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； （3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由 25. 如图1，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． （1）判断，的位置与数量关系？并说明理由 （2）若，，求的长． （3）如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达川区2024年秋季教学质量监测 九年级数学试卷 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷选择题（共40分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 景德镇瓷器以白瓷为闻名，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，是称誉世界的古代陶瓷艺术杰出代表之一．如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟记俯视图的定义是解题关键．根据俯视图的定义即可得． 【详解】解：景德镇白瓷中的笔筒的俯视图是， 故选：B． 2. 用配方法解方程：时，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程变形为，配方得，运用完全平方公式即可解答． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ∴． 故选：D 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵图中两条直线被三条平行线所截，且，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 4. 某中学一年一度的校园艺体节如期来临，九年级（1）班积极组织学生参加本次活动，活动报名时，每个学生都可从书法、科幻画、100米、200米、跳高等项目中，任选一至两项参加．已知小明与小华在书法、100米、200米、跳高四个项目中各选择了一项参加，则他们选择到相同项目的概率大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：设书法、100米、200米、跳高分别为A，B，C，D， 根据题意，画树状图如下： 由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一项目的结果有4种， ∴他们选择到相同项目概率大约是． 故选：D． 5. 已知平行四边形中，对角线、相交于O，则下列说法一定正确的是（ ） A. 当时，平行四边形为菱形 B. 当时，平行四边形为矩形 C. 当时，平行四边形为菱形 D. 当时，平行四边形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题关键．根据对角线相等的平行四边形是矩形、一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、两条相邻的边互相垂直的平行四边形是矩形逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，平行四边形为矩形，则此项错误， 不符合题意； B、当时，平行四边形为菱形，则此项错误，不符合题意； C、当时，平行四边形为菱形，则此项正确，符合题意； D、当时，平行四边形为矩形，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积S（）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则人和木板对湿地的压力是（ ） A. 600N B. 300N C. 2000N D. 150N 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意，将代入计算，即得答案． 【详解】解：根据，将代入，得， （N）， 人和木板对湿地的压力是600N． 故选：A． 7. 如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． A、∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴，则此项不符合题意； B、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； C、对应的夹角是和，因为由已知条件无法得出，所以此项不能判定和相似，符合题意； D、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； 故选：C． 8. 周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（ ）米． A. 8 B. C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米，根据长方形的面积公式建立方程，解方程可求出的值，再根据的值小于墙长即可得出答案． 【详解】解：设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则养鸡场的宽为（米）， 故选：A． 9. 如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，，根据正方形的性质求出点的坐标，从而可得点的坐标，代入反比例函数的解析式可求出，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 将点代入反比例函数得：， 整理得：， ∴， ∴正方形的面积是， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，过点E作，交于点H，根据正方形的性质可逐步推得，再根据全等三角形的判定，可证明，即得结论成立； 对于②，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明结论成立； 对于③，连结，，证明，可得，再根据等腰三角形三线合一性质，即得结论成立； 对于④，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】解：过点E作，交于点H， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故①正确； 四边形是正方形， ， ， ， 故②正确； 连结，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故③正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】把代入一元二次方程中即可解得m的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得： ， 解得． 故答案为：6． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 12. 有四张正面分别标有一元二次方程的不透明卡片（如图），它们除文字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，不放回，再从余下的卡片中任取一张，则抽到的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先利用一元二次方程的根的判别式得出有实数根的方程的个数，再画出树状图，利用列举法求概率即可得． 【详解】解：方程的根的判别式为，有实数根， 方程的根的判别式为，有实数根， 方程的根的判别式为，没有实数根， 方程的根的判别式为，有实数根， 将这四张不透明卡片依次记为，其中，卡片标有的一元二次方程没有实数根， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机抽取两张卡片共有12种等可能的结果，其中，抽到的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的结果有6种， 则抽到的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为， 故答案为：． 13. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为_______．（用“”按从小到大的顺序排列） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．先判断出这个反比例函数的图象位于第二、四象限；在每一象限内，随的增大而增大，再根据增减性求解即可得． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限；在每一象限内，随的增大而增大， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 14. 图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂，可分别绕点旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即两点重合），，，．如图（c），当夹子完全张开时（即两点重合），夹嘴间的距离的长为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断和性质，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 根据题意，可得，，，由此可得，根据相似三角形的性质，对应边成比例得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、两点之间的距离公式、三角形的三边关系、点的坐标与图形等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．先求出，再根据圆周角定理可得在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，设的中点为点，的中点为点，连接，从而可得当点共线时，取得最小值，然后利用点的坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴在点的运动过程中，始终有， ∴如图，在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上， 设的中点为点，的中点为点，连接， ∴，，即， ∴， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，取得最小值， ∴此时， ∵点为的中点， ∴， ∴点为的中点， 设点的坐标为，则， 又∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，90分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以提取公因式，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程移项可得，利用完全平方公式进行配方，利用配方法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 17. 星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥我踩到你的‘脑袋’了．”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他们的对话，完成下列问题． （1）画出此时妹妹在阳光下的影子； （2）若哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为，求妹妹的身高． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形应用； （1）利用阳光是平行投影进而得出妹妹在阳光下的影子进而得出答案； （2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可 【小问1详解】 解：如图，线段为此时妹妹在阳光下的影子； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为， 即，，， ∴， ∴， ∴妹妹的身高是． 18. 2025年四川将迎来首届不分文理的“3+1+2”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分． （1）在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中随机选择2门，恰好有地理学科的概率是多少？（用列举法进行分析） （2）由首选和再选科目组成的选择考3门学科共有__________种不同的组合； （3）小明同学对物理和生物很有兴趣，若在选择考3门学科的所有组合中随机选择一种组合，则该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率是__________． 【答案】（1）恰好有地理学科的概率是； （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率． （1）利用列举法展示所有6种等可能的结果，再利用概率公式求解即可； （2）利用树状图展示所有12种等可能的结果； （3）分别找出恰好有物理和生物科目的结果数，然后根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：共有6种情况，思想政治、地理；思想政治、化学；思想政治、生物；地理、化学；地理、生物；化学、生物； 恰好有地理学科的情况有3种， 恰好有地理学科的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图， ； 共有12种不同的组合； 故选：12； 【小问3详解】 解：由（2）恰好符合小明学科兴趣要求的有3种情况， 则该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率是． 故答案为：． 19. 如图，直线，直线与、交于A、B，在上取一点C，使，平分，交于点D，交于点，，交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后利用勾股定理求出的长，最后利用菱形的面积公式计算即可得． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形的面积为． 20. 如图，在中，，D是上任意一点，过点C作，垂足为E．连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若是中点，且，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； （2）先根据线段中点的定义可得，由（1）可得，进而可得，于是可证得，然后根据相似三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中点， ∴， 由（1）可得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 今年以来四川把家电以旧换新作为惠民生的重要举措，截至10月30日全省家电补贴金额达18亿元．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能冰箱和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台4000元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台3240元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款冰箱原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款冰箱的单价是3000元，商家决定每台冰箱降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台冰箱可获得元的补贴．若商家所获的总利润为27000元，求m的值 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款电视机每次降价的百分率是，根据两次降价后的售价原售价建立方程，解方程即可得； （2）先求出当每台冰箱降价元时，平均每月的销售量，再根据利润（原销售单价每台降价的钱数购进的单价每台补贴的钱数）销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该款电视机每次降价的百分率是， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款电视机每次降价的百分率是． 【小问2详解】 解：由题意得：当每台冰箱降价元时，平均每月的销售量为（台）， 则， 整理得：， 解得， 答：的值为10． 22. 如图，一次函数与反比例函数交于、两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一动点，连接，，当面积为6时，请求出点P的坐标； 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键． （1）先将点代入反比例函数解析式可求出的值，从而可得点的坐标和的值，再利用待定系数法即可得一次函数的解析式； （2）根据不等式表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方，结合函数图象即可得； （3）设点的坐标为，先求出点的坐标，从而可得，再根据建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：将点，代入反比例函数得：， 解得， ∴，，， ∴反比例函数的解析式为； 将点，代入一次函数得：， 解得， 则一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：不等式，即表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则由函数图象得：或， 所以不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：由题意，画出图形如下： 设点的坐标为， 对于一次函数， 当时，，解得，即， ∴， ∵，， ∴的边上的高为3，的边上的高为1， ∵面积为6， ∴， 解或， 所以点的坐标为或． 23. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． （1）将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． （2）在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由题意可得：，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （2）通过证明，然后运用相似三角形性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即，解得：（cm）． 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：（cm）． 24. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； （3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2） （3）存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数解析式等知识点，掌握交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求得点A的坐标，然后运用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）如图：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，可得，则设点B，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标；然后分是平行四边形的对角线三种情况，并通过邻边验证即可解答． 【小问1详解】 解：将代入得，解得：， ∴， 将代入 得：，解得， ∴反比例函数表达式为 ． 【小问2详解】 解：设点，那么点， 由可得：， ∴，解得 （舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：如图2：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，则， ∴， ∵点A绕点B顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点B，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ∴，解得 （舍去）． ∴，． 如图：当是平行四边形的对角线时， 设， ∵，，，四边形是平行四边形． ∴，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是菱形，符合题意； 当是平行四边形的对角线时，同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意； 当是平行四边形的对角线时，． ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意． 综上，存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 25. 如图1，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． （1）判断，的位置与数量关系？并说明理由 （2）若，，求的长． （3）如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 【答案】（1），，理由见解析 （2） （3）与的面积之差不变，其值为0 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后设交于点，根据对顶角相等、三角形的内角和定理可得，由此即可得； （2）连接，与交于点，先根据正方形的性质和勾股定理可得，，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得； （3）过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，与交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（1）已证：， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 所以与的面积之差不变，其值为0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$