2025届江苏省南通市、泰州市、镇江市、盐城市高三上学期第一次调研测试数学试题

南通市2025届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={xlnx≥0}，则AnB=1世(ID A.【-1,2] B.1,2]91C.(0,2】=D.(0,] 2.已知向量a,b满足a+2b=(3,),2a-3b=(-1,2),则a与b的夹角为 A.君 B.平 C. D. 3.某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为 A.46 B.8Y2 3 3 c.5 3 D.46 97 4.已知等比数列{a}的前n项和为S,且S1,S.,S成等差数列，则= A.1 B.2 C.4 D.9 5. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以%的增长率呈指数增长。若增长为原来的子倍 经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（参考数据：1g2≈0.3） A.6 B.12 C.16 D.20 6. 定义在R上的奇函数fx)满足fx)=∫4-x),且f)在[-2,2]上单调递增.设 a=好b=c=f-13),则 数学试卷第1页（共4页） A.a<b<c B.c<b<a21共C.b<a<c D.b<c<a 7. 已知双曲线C:苔卡-1a>0,b>0)的左、右焦点分别为5,5，A为C的左支上 a2- 一点，AE与C的一条浙近线平行.若AF=EF,则C的离心率为 A.2 B.2W2 C.3 D.35 8. 设函数f)=sm@x-引@>0，若因在(0，上有且只有2个零点，且对任意 实数a,f)在0，a+》上存在极值点， 则。的取值范围是 A.(仔3 .仔] c., D. , 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9。己知，2是复数，则下列说法正确的是 A.若z2为实数，则z是实数 B.若z2为虚数，则z是虚数 C.若z2=乙，则z32是实数 D.若+22=0，则2=0 10.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地 依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A,“第二次抽到黄球”为事件B, 则 40 0. A.P(A)=号 B.P(l个= 200 C.A与B为互斥事件 D.A与B相互独立 11.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，E,F分别是棱AB,4D,的中点，则 A.CF⊥平面DDE B.向量AE,BF,BD不共面 C.平面CEF与平面ABCD的夹角的正切值为25 3 D.平面CEF截该正方体所得的截面面积为√29 数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。5 / 12.设(2x-1)°=a。+a,x+a2x2+a,x2+a,x+ax3,则a1+a3+a5=·5 13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线1的倾斜角为45°，且1过点F,若1与C相交 于A,B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 14.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，前3个数字构成三位数a,后三个数字构成三位 数b.记m=a-,则m的最小值为，m小于100的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简 单随机抽样，得到如下数据：小广共 公0迹小国 配小共能本：修按， 民0 女 的男 要目 未参加跳绳比赛 75 90 :议 参加跳绳比赛 25 10 (1)能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关？ (2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12 人进行研究.老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率. 附：X2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. 后，共个5州兴量 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 的在1功证心3.生S为明向八38.-中)大01 16.(15分) 30平1●2 在△MBc中，已知an4手，i4-趴=语 头不在赢，落.8 (1)求B: 平30© (2)若AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积为14，求AD. 数学试卷第3页（共4页） 17.(15分)福米-被高佩乙0C动 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=BC=CA,BC⊥CA, (1)证明：三棱柱ABC-ABC是正三棱柱： C (2)证明：AB⊥CA: (3)设ABc平面a,BC∥平面a,若直线BC与 平面α的距离为√5，求三棱柱ABC-4B,C外接球的表面积。 B 18.(17分) 个西出，共，丽小共 已知函数∫(x)=x+rx的图象与x轴的三个交点为A,O,B（O为坐标原点)， (1)讨论f(x)的单调性：原0≤=8，“ (2)若函数g)=-2加+是有三个零点，求a的取值范围： (3)若a≠-1，点P在y=f()的图象上，且异于A,0,B,点Q满足P⊙A=0, PB.丽=0，求02的最小值. 武决的丽游断上才出而馆平实， 22 19.(17分) 已知嘴C:学+长1(a>6>0)的高心率为受，且经过点小5，定文 第n(neN)次操作为：经过C上点4，作斜率为k的直线与C交于另一点B,记B, 关于x轴的对称点为A1,若A1与Bn重合，则操作停止：否则一直继续下去。 (1)求C的方程 (2)若4为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值： (3)若k=-名，4是C在第一象限与A不重合的一点，证明：△444，的面积 为定值。 数学试卷第4页（共4页）南通市2025届高三第一次调研测试 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 1 8 B B A c B D c D 二、选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分。 9 10 11 BC AB AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.122 13.2万 14.4,名 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)假设学生参加跳绳比赛与学生的性别无关， 则X-2075x10-90x25-00.7.792>6.635. 100×100×165×3577 …4分 所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关， …6分 (2)利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人， 则未参加跳绳比赛的有9人，参加跳绳比赛的有3人： …8分 老师甲从这12人中随机选取3人 记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A, 则代利=闭=-号-1器-若 所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是芳。 …13分 16.(15分) 【解】()在△BC中，mA=号>0，所以0<A<号， 因为0<B<,所以-不<A-B<受， 因为如4-剧=点>0，所以0<A-B<受， 10 参考答案与评分建议第1页（共7页） 所以co4-)=一4-=恶 所以tan(A-B)= sin(A-B)=1 cos(A-B)7 …3分 41 所以mB=m[4-(d-=+Am-中号 tan 4-tan(4-B)3 =1 所以B=子 …6分 (2)由am4=号0<A<受，所以smA=手，osA=号 所以sinC=sin(4+B)=-sin AcosB+cos Asin B=72 101 …8分 由正弦定理可得， 品B”c,所以光鼎是= b 所以Sac=csnA=×马e2×号=l4, 解得c=7,所以b=5. …11分 又由os4=1-2im含-号得s如号=5 …13分 由Sac=San+Saem即14=c,ADsin号+b~ADsm号 所以14-号号4D+×5D,解得40=5. …15分 2 2 17.(15分) 【解】(1)在直三棱柱ABC-AB,C,中， BB1=CC1=A4,∠ABB1=∠BCC1=∠CA4=90°， 又因为AB,=BC,=CA, 所以△ABB≌△BCC≌△CA4, 所以AB=BC=CA, 所以三棱柱ABC-AB,C,为正三棱柱.·3分 (2)取AC,4C的中点D,D,连结BD,DD, 则BD⊥AC. B 参考答案与评分建议第2页（共7页） 因为AA∥DD,，AA⊥平面ABC, 所以DD⊥平面ABC, 以DB,DC,DD}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设AC=2a,A4=b,则 A0,-a,0),B(5a,0,0),C0,a,0),4(0,-a,b), C0,a,b),B,(N5a,0,b), …5分 所以BC=(-√3a,a,b),C4=(0,-2a,b),AB=(N3a,a,b). 因为BC⊥CA,所以BC⊥CA, 所以BC.C4=-2a2+b2=0,所以b=√2a. 所以ABCA=-2a2+b2=0, 所以AB⊥CA,即AB⊥CA …8分 (3)因为ABc平面a,BC∥平面a, 又因为BC⊥CA,AB,⊥CA: 所以不妨取平面a的法向量n=C4=(0,-2a,√2a). …10分 因为直线BC与平面a的距离为√5， 所以点B到平面α的距离为√. 因为BB=0,0,√2a), BB·n 所以点B到平面α的距离d= -2a2 所以a=32 …12分 所以正三角形48C的外接圆半径r一2。-6。 参考答案与评分建议第3页（共7页） 所以正三棱柱ABC-AB,C,的外接球的半径 R=+=, 所以三棱柱ABC-AB,C,外接球的表面积为S=4πR2=33π， …15分 18.(17分) 【解】(1)由已知得，fx)=0有三个根， 令x2+ar=0,得x=0或x2+a=0, 所以2+a=0有两个不同的解，所以a<0. …2分 令f)=3x+a>0,得x<-a或x>: 令<0，得<x< 3 所以当<0时，在（）和（受+ 上单调递增： 在(，)上单调递减 …4分 (2)令+>0，得-1<x<1 令gx)=x2+ar-2n-x "1+x 因为g-0+g)=-2-m-2n+3+ar-2h+=0, 所以g(x)为奇函数。 …6分 因为g(0)=0,所以0是g(x)的一个零点， 要使g)=f代)-2h+有三个零点， 只需要g(x)在(0，)有且仅有一个零点。 g6国)=3+a+,在0上单调遥增。g0=a+4 当a+4≥0，即a≥-4时，g'(x)≥0， 所以g(x)在(0,1)上单调递增， 由g(O)=0,得g(x)在(0，)上无零点，不合题意，舍去. 当a+4<0,即a<-4时， 参考答案与评分建议第4页（共7页） 8'(+4)>a+4 =0 1-0+4 所以存在x。e(0,),使得g'()=0. 当0<x<时，g(x)<0,所以g(x)在(0，右)上递减： 当<x<1时，g(x)>0,所以g(x)在(，)上递增. …8分 当x∈(0，x)时，g(x)<g(0)=0,且g()<0. 当xe6时，g)=+am-2n>a-2加经 令号=h片，解得x=-c,所以g>0, 1+e 1+e 所以g()在（化）上存在唯一的零点. 综上a<4. …11分 (3)设4,0)，B,0),且=-2=-√a,Pm,),Qx,y), 因为点P异于A,O,B,所以m≠0，±√a 由PAOA=0,PBOB=0, 得m-4x-)+m=0. …14分 (m-3x-x2)+y=0, 解得x=-m,y=1 所以0=+-+≥5. 当且仅当m2=】,即m=士1时，等号成立， 加1 所以0Q的最小值为√反. …17分 19.(17分) 【解】(1)由条件得， 2 解得a=2,b=1, …2分 参考答案与评分建议第5页（共7页） 所以椭圆c的方程为号+少2=1 …3分 (2)设A(xnn),则直线AB的方程为y=k(x-x)+yn, 与C的方程联立，消去y得， (4k2+10x2+8k0y。-kn)x+4yn-kx)2-4=0. 因为2+4y=4, 所以(4k2+1)x2+8k0y.-)x+(4k2-1)x2-8kxyn=0. 因为x=x,是它的一根， 所以4=二购，=2亚， 4k3+1 4k3+1 即x1= -58,=2+亚.《 …6分 4k2+1 4k2+1 若A(-2,0),经过3次操作后停止，即为B(2,0). 将A(-2,0)代入(*)式得， (-242-0,-4k 4k2+14k2+1 因为A(-2,0),B(2,0)关于原点对称，4B∥4B, 所以B与A关于原点对称， 因为42与B关于x轴对称，A与B关于x轴对称， 所以42与B2关于原点对称。 所8k==a”兰 解得=士 2 综上，当m=3时，k=士 …9分 2 参考答案与评分建议第6页（共7页） (3)当k=时，由（式得42-受引 类似可得4(-，一片)，所以4与4关于原点对称. …11分 如图，由椭圆的对称性可知，A与A关于原点对称，4与A重合， 所以{A}是以4为周期的周期点列， 所以△An442的面积S等于△44,4的面积. …14分 因为直线44的方程为-xy=0,44=2√买+牙， 点A2到直线A4的距离d= 2+2号+4 城 所5=号-2万店2 …17分 参考答案与评分建议第7页（共7页）南通市2025届高三第一次调研测试 数学讲评建议 第7题：【解析】法1：4F=FE=2c，4F=2c-2a, 取AF的中点M,则MF=c-a, 则cos∠MB=2. 如图，因为AF平行于双曲线的渐近线， 所以cos∠MFE=g. c 所以是=名c=3如，离心率e=3 法2：4Fl=EF=2c,4El=2c-2a, 取AE的中点M,则MF=c-a. 如图，因为4乐平行于双曲线的渐近线， 所以MF=2b,所以ME=2a, 所以c-a=2a,离心率e=3. 第8题：【解析】令1=r-,因为x∈0，引 所以-君<r-<受-君 因为函数f)=sim(or-引@>0)在0，引上有且只有2个零点， 所以x<受-吾≤2，解得}<0≤号 又对任意实数a,f)在(a,a+上存在极值点， 所以号x语，所以0>3 所以3<w≤号. 第11题：【解析】取AB的中点E,连接EE,DE, 在正方形ABCD中，CF⊥DE, 在正方体ABCD-ABCD中，CF⊥DD, D C 可证得，CF⊥平面DDE,A正确. A E B 因为AE∥BE,BD∥EF, 所以AE,BF,BD共面，B错误. 取AD的中点F,连接FF,BF,则 FE⊥平面ABCD,FB⊥CE. B 因为F所=2，F到CE的距离为35 所以平面CEF与平面ABCD所成角的正切值tanO= 2 =25 ,C正确。 35 3 D D B B H D G E B 取线段CD靠近D的四等分点G,取线段CD靠近D的四等分点G, 设平面CEF与AA相交于点H(可得点H为线段AA上靠近A的三等分点)， 截面CEHFG在平面ABCD内的投影为五边形AECG,E, 因为五边形ABCG,5的面积为号， 由C选项可得，平面CEF与平面ABCD所成角的余弦值cos= 2=32四 3 29 所以截面CEHFG的面积S=x2空=号2，D错误.故选AC. 4 3-12 第14题：【解析】如图，设被减数的三个数位上数字自左向右依次为，a2,a3, 减数的三个数位上数字自左向右依次为b1,b2,b 014a3 因为m>0,要使m最小，则需满足： →b1bb3 4比4大1：a2=1,b=6:b-43最大. 同时满足上面三个要求的是：412-365=47. 412 要使m小于100，则需满足：a-b=1:且a2<b2: -）365 47 满足这两个条件的减法算式共有5×CA=60种情形， 所以m小于10的概案为0=名 本题可以改编成多选题如下： 将1,2,3,4,5,6排成一行，前3个数字按顺序构成三位数a,后三个数字按顺序 构成三位数b,记m=a-b,则 A,m的最大值为531 B.m的最小值为49 C.m大于50的概率为0 D.m小于10的概率为号 【答案】ACD 【解析】如图，设被减数的三个数位上数字自左向右依次为 aa ay a1,a2,a3,减数的三个数位上数字自左向右依次为b1,b2,b. ）b1b3b3 对于A,被减数的最大值为654，减数的最小值为123， 所以m的最大值为654-123=531，故A正确： 412 对于B,因为m>0,要使m最小，则需满足： -)365 a1比b1大1：a2=1,b2=6:b-a3最大. 47 同时满足上面三个要求的是，412-365=47，故B错误： 对于C,要使m大于500，则需满足：a=6,b=1；且a2>b· 满足这两个条件的减法算式共有C4=12种情形， 又使得m>0的减法算式共有)4。=360种情形， 所以m大于50的概率为品=0故C正确： 对于D,要使m小于100，则需满足：a-么=1：且a2<b 3 满足这两个条件的减法算式共有5×CA=60种情形， 所以m小于10的概率为0=名故D正确 综上，本题选ACD. 第17题：【解析】（方法二） (2)取AC,AC的中点D,D,连结BD,BD, 则BD⊥AC,BD⊥AC· D 在正三棱柱ABC-AB,C中，则 BD⊥平面ACC4,B,D⊥平面ACCA 所以DC,AD,分别为BC,AB在平面ACC,4上的射影，1 因为BC⊥CA,所以DC⊥CA: 因为AD∥DC,所以AD⊥CA, 所以AB⊥CA· (3)因为ABc平面a,BC∥平面a, 所以平面a即为平面ABD.后略. 第19题：【解析】（方法二） (2)由(1)知A(-2,0)时，因为经过3次操作后停止，所以B,(2,0). B 因为4，B关于原点对称，AB11AB,所以B与4关于原点对称， 因为4与B关于x轴对称，4与B2关于x轴对称， 所以4与B,关于原点对称. 设B(:%),(%≠0)，则4(-%) 所以k=k44=k,所以力)=业，解得=-小， 0+20 所以为=士5，所以k=±5 2 综上，当=3时，太=9. (3)当k=-时，设A,xy),则直线A,B,的方程为：y=-x-x)+y, 与C的方程联立，消去y得，2-2+小x+2+号x-2=0, 因为+4=4，所以2-2化+小+2x=0, 因为x=n是它的一根，所以a,=2ya·ya,=2 即=2·=-产，即42含) 类似可得A2(一x。,-y),所以An2与A,关于原点对称。 因为直线442的方程为：y,x-xy=0,4,4=2+少 点An1到直线AA2的距离d 2+5+4 2 V+y 2民+民+ 所以△444：的面积S=44小d=号×2+×2 第19题变式：若A为C的左顶点，经过2次操作后停止，求k的值. 【解析】因为A(-2,0),B(2,0)关于原点对称，4B/14B, 所以B与A关于原点对称， 又B与，关于x轴对称， 所以B,与本分别为C的短轴的两个端点。 若8为上顶点，则k=:若岛为下顶点，则k=一 综上，当n=2时，k=号： J