第十七章 勾股定理（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第十七章 勾股定理（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列各组数中，不是勾股数的是（  ） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 2．（本题3分）在中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 3．（本题3分）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 8．（本题3分）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 10．（本题3分）如图，是腰长为1的等腰直角三角形，以它的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，依次作下去，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）已知两根竹棍的长度分别是和，第三根竹棍与这两根竹棍首尾顺次相接，恰好构成一个直角三角形，则第三根竹棍的长度是 ． 12．（本题3分）若的三边长a、b、c满足，则的面积是 ． 13．（本题3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 14．（本题3分）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 15．（本题3分）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 16．（本题3分）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）如图，在中，于点D，．      (1)分别求出、、的长． (2)猜想是什么三角形，并证明你的猜想． 18．（本题6分）如图，在中，，、分别是△的中线和高． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 19．（本题6分）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 20．（本题8分）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点．若，，，求的度数和的长度． 21．（本题8分）在四边形中，，．若，，． (1)如图1，连接，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，过A作，交的延长线于点E，求的面积． 22．（本题9分）问题情境：已知的周长为56，斜边长，求的面积． 解法展示：设的两直角边长分别为a，b，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴（第1步） 所以的面积（第2步）． 合作探究： （1）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是___（填序号） ①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想 方法迁移； （2）已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长． 23．（本题9分）已知：如图，在中．，，的周长为． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②直接写出线段的长． 24．（本题10分）如图，在中，，，D是边上一点（点D与、不重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，． (1)求证：； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)点在上运动时，试探究是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 25．（本题10分）为直角三角形，，点D为斜边的中点，点E，F分别为直线上的动点，运动过程中，始终保持． (1)如图1，当点F与点B重合（重合的点记为点B）时，连接，试判断，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当射线交线段于点E时，求证：； (3)若，，在点E，F运动过程中，当时，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列各组数中，不是勾股数的是（  ） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 【答案】A 【分析】该题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：（1）三个数必须是正整数．（2）一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．（3）记住常用的勾股数再做题可以提高速度． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A，，不是勾股数，此选项符合题意； B，，是勾股数，此选项不符合题意； C，，是勾股数，此选项不符合题意； D，，是勾股数，此选项不符合题意； 故选：A． 2．（本题3分）在中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴B可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵且， ∴， ∴， ∴C可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴D不可以判定是直角三角形，符合题意． 故选：D． 3．（本题3分）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，数轴，无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得，再求出，然后估算，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：， A表示的数比B表示的数小， 点B表示的数为， ， ， ， ， 即， a的值最接近的整数是． 故选：C． 4．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 5．（本题3分）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 6．（本题3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 7．（本题3分）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理分别求出和的长度，进而表示出长度，利用无理数的估算方法即可估算出大小. 【详解】解：斜靠在竖直的墙上，，， 在中，. 竹竿的顶端沿墙下滑2米至处， ，， 在中，. . ， . . 的长度小于2米. 故答案为：A. 【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算方法，解题的关键在于理解题意，清楚知道，熟练掌握无理数的估算方法. 8．（本题3分）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 9．（本题3分）如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 10．（本题3分）如图，是腰长为1的等腰直角三角形，以它的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，依次作下去，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，勾股定理，根据勾股定理总结出规律是解题的关键． 根据勾股定理，得出三角形的面积变化规律为，计算即可得到答案． 【详解】解：∵是腰长为的等腰直角三角形， ∴ ； ∵以为直角边作第二个等腰直角三角形， ∴， ； 同理可得第三个等腰直角三角形的面积为：， 以此类推，第n个三角形的面积为：； ∴的面积为：， 故选： A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）已知两根竹棍的长度分别是和，第三根竹棍与这两根竹棍首尾顺次相接，恰好构成一个直角三角形，则第三根竹棍的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理的应用，题目中没有明确直角边和斜边，故要分情况讨论，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当第三根竹棍为直角边时，长度 当第三根竹棍为斜边时，长度 故第三根竹棍的长度为或． 故答案为：或． 12．（本题3分）若的三边长a、b、c满足，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，非负数的性质，利用绝对值、偶次方、算术平方根的非负性求出的值，证明是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ， 解得：， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积为， 故答案为：． 13．（本题3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形面积公式先求出、的值，再根据正方形的性质得到的值，最后利用勾股定理得，即得到正方形的面积，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的边分别是，所有的三角都是直角三角形， ∴，， ∵所有的四边形都是正方形 ， ∴，， ∴利用勾股定理得，， ∴最大的正方形的面积为， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 15．（本题3分）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 16．（本题3分）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）如图，在中，于点D，．      (1)分别求出、、的长． (2)猜想是什么三角形，并证明你的猜想． 【答案】(1)，，； (2)是直角三角形，证明见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，再根据即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得到是直角三角形． 【详解】（1）解：∵于点D， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， 是直角三角形． 18．（本题6分）如图，在中，，、分别是△的中线和高． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的外角，勾股定理以及三角形的中线： （1）根据三角形的外角的性质，得到，进而推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，中线求出的长，三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的一个外角， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵是△的高， ∴， 由勾股定理，得：， ∴， ∵是△的中线， ∴， ∴的面积． 19．（本题6分）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 【答案】144 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断的形状．连接，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，再由即可得出结论． 【详解】解：连接， 是直角，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， ． 20．（本题8分）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点．若，，，求的度数和的长度． 【答案】的度数为和的长度为 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵是的垂直平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为和的长度为． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、角的直角三角形的性质、勾股定理及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理求出是解题的关键． 21．（本题8分）在四边形中，，．若，，． (1)如图1，连接，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，过A作，交的延长线于点E，求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】(1)由勾股定理的逆定理可求解； (2)由“”可证,可得,,由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ,, 根据勾股定理得， ,, , 是直角三角形，； （2）解：, , , , , , ∴，即, 又, , ,, ∵, ∴， , ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 22．（本题9分）问题情境：已知的周长为56，斜边长，求的面积． 解法展示：设的两直角边长分别为a，b，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴（第1步） 所以的面积（第2步）． 合作探究： （1）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是___（填序号） ①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想 方法迁移； （2）已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长． 【答案】（1）①；（2）12． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，勾股定理： （1）根据题意可知，解题过程用了整体思想； （2）设这个直角三角形的两直角边长分别为a，b，根据三角形面积计算公式得到，即，由勾股定理得，据此根据完全平方公式得到，则，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是整体思想； 故答案为：①； （2）设这个直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∵该直角三角形的面积为6， ∴，即， ∵斜边长为5， ∴由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴该直角三角形的周长为12． 23．（本题9分）已知：如图，在中．，，的周长为． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据题意求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明； （2）①由（1）可知，结合，推出，由可得，得到，根据角平分线的定义可得，即可证明；②由，，且，推出，得到，根据，，得到，推出，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：，，的周长为， ， ，， ， 是直角三角形； （2）①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ； ②，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 24．（本题10分）如图，在中，，，D是边上一点（点D与、不重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，． (1)求证：； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)点在上运动时，试探究是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题干中的条件通过角边角即可证明； （2）由得到， ，然后求得，然后根据等角对等边即可求解； （3）通过，，得到，进而求得当时，最小，的值最小，然后即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴．     在和中，   ， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴，   ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：∵，， ∴．    当时，最小，的值最小． ∵，， ∴ 的最小值为3， ∴的最小值为． 25．（本题10分）为直角三角形，，点D为斜边的中点，点E，F分别为直线上的动点，运动过程中，始终保持． (1)如图1，当点F与点B重合（重合的点记为点B）时，连接，试判断，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当射线交线段于点E时，求证：； (3)若，，在点E，F运动过程中，当时，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的面积为或11． 【分析】本题考查的是三角形全等、面积的计算、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中，，垂直平分，则，即可求解； （2）证明，则，，则，进而求解； （3）当射线交线段于点E时，由，得到，当射线与直线的交点E在点C的右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：，理由： 在中，， ∵垂直平分，则， 即； （2）证明：过点A作交的延长线于点M，连接， 则，，， 而， 则， 则，， 则， 则中，， 同理可得：， ∴； （3）解：当射线交线段于点E时， ∵， ∴， 而，即， 解得：， 则， 则的面积； 当射线与直线的交点E在点C的右侧时，如下图， 同理可得：，即， 解得：，则， 则的面积； 综上，的面积为或11． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$