17.2 一元二次方程的解法（第3课时 公式法）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.2 一元二次方程的解法 主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 第3课时 公式法 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 （1）理解一元二次方程求根公式的推导过程； （2）会利用求根公式解简单系数的一元二次方程； （3）经历探索求根公式的过程，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯； （4）通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高学生运算能力，并能在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心. 情景导入 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2. 如何用配方法解方程 2x2+4x+1=0? 一、移常数项； 二、配方[配上 ]； 三、写成（x+n)2=p (p ≥0); 四、直接开平方法解方程. 解：2x2+4x+1=0，即2(x+2)2=1， 新知探究 如何解一般的一元二次方程 呢？ 因为a≠0，把方程的两边都除以a，得 移项，得 配方，得 即 将方程两边开平方，得 于是得 概念归纳 有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a，b，c 的值，然后，把 a，b，c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根． 这种解法叫做公式法. (b2-4ac≥0). 这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0且b2-4ac≥0 ）的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定公式中a，b，c 的值； ③求出b2－4ac 的值； ④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解， 若 b2－4ac <0，则方程无实数解 . 例题讲解 课本例题 例2 用公式法解下列方程： （1） 确定a，b，c 的值，再求出 b2－4ac的值， b2－4ac ≥0时，可代入求根公式求解； 解：a=2，b=－7，c=4， b2－4ac = (－7)2－4×2×4=17>0. 代入求根公式，得x = ， ∴ x1=，x2= . 求b2 － 4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号. 2x2－7x ＋ 4=0； 练一练 例题讲解 课本例题 例2 用公式法解下列方程： （2） 将原方程化为标准形式，得 解： 所以： 先将方程整理成一元二次方程的一般形式， 确定a，b，c 的值，再求出 b2－4ac的值， b2－4ac=0， 则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个相等的实数根，即 x1=x2=－ . 解：方程可化为3x2－2 x+1=0. a=3，b=－2 ，c=1， b2－4ac=(－2 )2－4×3×1=0. 代入求根公式，得 x= = . ∴x1=x2 = . 3x2－2 x=－1； 练一练 例题讲解 课本例题 例3 解方程： （精确到0.001）. 解： 用计算器求得： 例题讲解 补充例题 例 解方程：4x2-3x+2=0. ∴方程无实数根. 解： 确定a，b，c 的值，再求出 b2－4ac的值， b2－ 4ac＜0时，方程无实数根，这时，若将 a，b，c 的值直接代入求根公式，则算式无意义 . 用公式法解一元二次方程时，先将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定a，b，c 的值，再求出 b2－4ac的值，当b2－4ac ≥0时，可代入求根公式求解；当b2－ 4ac＜0时，方程无实数根，这时，若将 a，b，c 的值直接代入求根公式，则算式无意义 . 只有当方程ax2+bx+c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式. 用公式法解一元二次方程时，若 b2－4ac=0， 则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个相等的实数根，即 x1=x2=－ . 归纳总结 课堂练习 1.把下列方程化成 的形式，并写出其中a，b，c的值. 2.用公式法解下列方程 2.用公式法解下列方程 2.用公式法解下列方程 代入求根公式，得 3.用公式法解方程： (精确到0.1) 用计算器求得 解： 代入求根公式，得 4. 解关于x的方程： 解： 分层练习 1.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定，， 的 值.对于方程 ，下列判断正确的是( ) B A.，， B.，， C.，， D.，， 基础题 2.[2024·安庆月考] 当用公式法解方程 时， 的值为( ) C A.2 B. C.17 D. 3.一元二次方程 在用求根公式 求解时,,, 的值分别是( ) D A.3,, B.,,3 C.,3,1 D.,3, 4.[2024安庆模拟] 当用公式法解方程 时， 的值为( ) C A.2 B. C.17 D. 5.[2024石家庄一模] 若 是一元二次方程 的根，则 ( ) D A. B.4 C.2 D.0 6.用公式法解方程 时，所得到的解正确的是 ( ) D A. B. C. D. 7.［知识初练］用公式法解方程： . 解：将方程化为一般形式，得_________________， 所以___，____， ____， 所以 ____， 所以_ _____ ____， 所以_________________. 3 49 ， 8.[2024成都模拟] 若，则 ____________________. 或 9. [2024·泉州期末] 下面是小明同学解方程 的过程： 因为，， ，(第一步) 所以 ，(第二步) 所以 ，(第三步) 所以， .(第四步) 小明是从第____步开始出错的. 一 10.解方程： （1） ； 解，，， ， . . ， . （2） ； ，,, , . . , . （3） ； 解：将原方程化为标准形式，得 ， 其中，， ， . . ， . （4） . ， . 其中，， . . ， . 易错点 用公式法解一元二次方程时，因没化成一般形 式或结果没化简而致错 11. 用公式法解方程： . 解：,, , . . 上述解法是否正确？若不正确,请指出错误并改正. 【解】不正确.错误有两点：一是方程没化成一般形式； 二是结果没化简.正确的解法如下： 移项化为一般形式，得,其中, , . . . , . 综合应用题 12.[2024·北京期末] 方程的一较小根为 ， 下面对 的估计正确的是( ) C A. B. C. D. 13. 对于实数，，定义运算“ ”：，如 .若，则 的值为( ) C A. B. C.或 D. 14.［数形结合思想］如图，在一次函数 的图象上取点，作 轴，垂足为，作轴，垂足为 ， 若长方形 的面积为2，则这样的点 共有___个. 4 15.[2024温州期中] 已知是方程 和方程 的一个实数根，则方程 一定有 实数根( ) A A. B. C. D. 16.【一题多解】用两种方法解方程： . (1)配方法： 解：移项，得，配方，得 , 即，开平方，得 ， 所以， . (2)公式法： 解：因为，，，所以 ， 所以 ， 所以， . 17.已知整数满足，如果关于 的一元二次方程 的根为有理数，则 的值为_________. 2或6或12 【点拨】，， ， . . ， . 一元二次方程的根为有理数， 为有理数. ，9，16，25，36，49. 又 为整数， 当，25，49时， 或6或12. 18.用公式法解下列方程： (1) ； 解：因为，， ， 所以 ， 所以 ， 所以， . (2) . 解：化简，得 ， 所以,, ， 所以 ， 所以 ， 所以, . 19. 已知关于, 的方程组与 的解相同. （1）求, 的值； 【解】由题意得关于， 的方程组的相同解就是方程组 的解，解得 代入原方程组得， . （2）若一个三角形一条边的长为 ,另外两条边的长是关 于的方程 的解,请求出此三角形的周长. 当，时，关于的方程 就变 为 ， 利用求根公式解得 . 此三角形的周长为 . 创新拓展题 20.［运算能力］已知关于 的一元二次方程 . (1)求该方程的根； 解：根据题意，得 . 因为，， ， 所以 ， 所以 ,所以， . (2)当 为何整数时，该方程的两个根都为正整数？ 由(1)知 . 因为方程的两个根都为正整数，所以 是正整数， 所以或，解得或 . 即当 为2或3时，该方程的两个根都为正整数. 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ b2-4ac值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 务必将方程化为一般形式 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$