第02讲 空间向量的坐标表示（4大知识点+6大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第02讲 空间向量的坐标表示 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的坐标表示 2 题型02 空间向量的坐标运算 3 题型03 空间向量模长的坐标表示 3 题型04 空间向量平行的坐标表示 3 题型05 空间向量垂直的坐标表示 4 题型06 空间向量夹角余弦的坐标表示 5 分层练习 5 夯实基础 5 能力提升 8 知识点01空间向量运算的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 数量积 a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点02空间向量垂直的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识点03空间向量平行（共线）的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 共线 ，， 知识点04空间向量长度的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 模 知识点05空间向量夹角的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 夹角 题型01空间向量的坐标表示 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·贵州·期中）已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·青海海南·期中）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·陕西安康·期中）已知点，则下列各点与点不共面的是（    ） A． B． C． D． 题型02 空间向量的坐标运算 【例2】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知，则 . 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ． 题型03 空间向量模长的坐标表示 【例3】（24-25高二上·广西·期末）已知向量，则（    ） A． B．18 C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东江门·期末）已知向量，则（    ） A． B．8 C．3 D．9 【变式2】（23-24高二上·湖北十堰·期末）向量在向量方向上的投影向量的模为 ． 【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知点、、，则向量在上的投影向量是 . 题型04 空间向量平行的坐标表示 【例4】（23-24高二上·江西景德镇·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C．2 D．10 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知空间中三点，若，则（    ） A． B．4 C．3 D． 【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量且与互相平行，则实数的值 . 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 题型05 空间向量垂直的坐标表示 【例5】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，且，则实数t的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【变式1】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 . 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）已知空间四点. (1)求和的值; (2)若点在平面ABC内，请直接写出的值. 题型06 空间向量夹角余弦的坐标表示 【例6】（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东临沂·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东·期中）已知向量，，.若，，共面，则（   ） A．11 B． C．9 D．3 2．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 二、多选题 5．（24-25高二上·天津·期中）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 6．（24-25高二上·辽宁·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，点，点，且P，O不重合，P，A不重合，则（   ） A．若，则x，y，z满足： B．若，则x，y，z满足： C．若，则x，y，z满足： D．若，则x，y，z满足： 三、填空题 7．（24-25高二上·四川·期中）已知空间向量满足，则 ． 8．（24-25高二上·福建·期中）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 四、解答题 9．（20-21高二上·福建泉州·期中）已知，，．求： (1)； (2)． 10．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 11．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 12．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知向量，. (1)求; (2)求; (3)若，求的值. 13．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知空间向量． (1)若，求实数与的值； (2)若，且，求． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知，，，若，，共面，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．－1 2．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 3．（24-25高二上·北京顺义·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间中的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为空间直角坐标系中的原点）.若，则的一个充分条件为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）记空间中的一些点构成的集合为为原点，且对任意，都存在不全为零的实数，使得，若，则下列结论可能成立的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 二、多选题 5．（24-25高二上·重庆秀山·期末）下列说法正确的是（    ） A．若向量共面，则它们所在的直线共面 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 6．（24-25高二上·河北·期中）下列说法正确的是（    ） A．在长方体中，可以构成空间的一个基底 B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 三、填空题 7．（24-25高二上·天津·期中）已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为 ； 8．（24-25高二上·重庆·期中）在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 . 四、解答题 9．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 10．（24-25高二上·安徽·期中）已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 11．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 12．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知，，，，， (1)若、共线，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 13．（24-25高二上·上海·期中）一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. (1)已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； (2)四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量的坐标表示 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的坐标表示 2 题型02 空间向量的坐标运算 4 题型03 空间向量模长的坐标表示 6 题型04 空间向量平行的坐标表示 8 题型05 空间向量垂直的坐标表示 10 题型06 空间向量夹角余弦的坐标表示 13 分层练习 15 夯实基础 15 能力提升 23 知识点01空间向量运算的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 数量积 a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点02空间向量垂直的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识点03空间向量平行（共线）的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 共线 ，， 知识点04空间向量长度的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 模 知识点05空间向量夹角的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 夹角 题型01空间向量的坐标表示 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·贵州·期中）已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】, 所以在上的投影向量为. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·青海海南·期中）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：A 【变式3】（24-25高二上·陕西安康·期中）已知点，则下列各点与点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判定空间向量共面、空间向量的坐标表示 【分析】根据空间向量共面基本定理，列出方程组，根据方程组有解无解可判断是否共面. 【详解】由题意，可得， , 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故A错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故B错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故C错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，此方程组无解，即四点不共面，故D正确. 故选：D 题型02 空间向量的坐标运算 【例2】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知，则 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 【变式3】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 题型03 空间向量模长的坐标表示 【例3】（24-25高二上·广西·期末）已知向量，则（    ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量的线性坐标运算得，然后利用模的坐标运算公式求解即可. 【详解】因为向量，所以， 所以. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·广东江门·期末）已知向量，则（    ） A． B．8 C．3 D．9 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标运算及模的坐标表示计算即得. 【详解】由向量，得， 所以. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·湖北十堰·期末）向量在向量方向上的投影向量的模为 ． 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据条件，利用投影向量的模的定义即可求出结果. 【详解】向量在向量方向上的投影向量的模为, 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知点、、，则向量在上的投影向量是 . 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算，结合投影向量的定义可求得向量在上的投影向量的坐标. 【详解】因为点、、，则，， 所以，，， 所以，向量在上的投影向量是 . 故答案为：. 题型04 空间向量平行的坐标表示 【例4】（23-24高二上·江西景德镇·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C．2 D．10 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据线面垂直列方程，从而求得. 【详解】由于，所以， 所以，所以. 故选：B 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知空间中三点，若，则（    ） A． B．4 C．3 D． 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据题意结合空间向量平行的坐标表示分析求解即可. 【详解】由题意可得：， 若，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量且与互相平行，则实数的值 . 【答案】2 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】由条件可知， 因为与互相平行，所以， 解之得. 故答案为：2 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量平行的坐标表示 【分析】（1）根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 题型05 空间向量垂直的坐标表示 【例5】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，且，则实数t的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】根据可得，解得， 故选：B 【变式1】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由，逐个判断即可. 【详解】符合条件的应满足， 对于A，，， 对于B，，， 对于C，，， 对于D，，， 故选：B 【变式2】（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 . 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 【详解】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）已知空间四点. (1)求和的值; (2)若点在平面ABC内，请直接写出的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量共面求参数 【分析】（1）利用向量的线性运算可求得，利用，可求； （2）由已知可得，根据向量共面的充要条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1） 且， ， ， .. 即； （2）由（1）知，又， 因为点在平面ABC内，共面， 所以根据向量共面的充要条件可知，存在，使， 所以，解得. 题型06 空间向量夹角余弦的坐标表示 【例6】（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】首先求出与，再根据计算可得. 【详解】因为， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·山东临沂·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 【答案】0 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】（1）利用向量的坐标运算以及投影向量的定义，即可求得答案； （2）利用向量的坐标运算以及夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）由， 得， 故， 则在方向上的投影向量为； （2）， 故，， 故 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东·期中）已知向量，，.若，，共面，则（   ） A．11 B． C．9 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共面列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，，，共面， 所以存在，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 2．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】因为空间向量，， 则， 因此，. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量夹角余弦公式计算求角. 【详解】设与的夹角为, 所以,又因为,所以. 故选：C. 4．（24-25高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】先求出和的向量坐标，再利用向量的数量积公式计算. 【详解】 则. 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高二上·天津·期中）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】求出向量的模判断A；利用向量的坐标运算，再结合向量共线、垂直的坐标表示判断BC；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】空间向量， 对于A，，，A正确； 对于B，，而，则向量与不共线，B错误； 对于C，，， 因此，C正确； 对于D，，因此在上的投影向量为，D错误. 故选：AC 6．（24-25高二上·辽宁·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，点，点，且P，O不重合，P，A不重合，则（   ） A．若，则x，y，z满足： B．若，则x，y，z满足： C．若，则x，y，z满足： D．若，则x，y，z满足： 【答案】BCD 【分析】A由空间向量模长公式可判断选项正误；B由空间向量垂直坐标表示可判断选项正误；C由空间向量共线坐标表示可判断选项正误；D由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误. 【详解】A由题，，因，则A错误； B因，则，故B正确； C因，则，故C正确； D因，则. 即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（24-25高二上·四川·期中）已知空间向量满足，则 ． 【答案】4 【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为， 故， 解得． 故答案为：4 8．（24-25高二上·福建·期中）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 四、解答题 9．（20-21高二上·福建泉州·期中）已知，，．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据向量的加减运算法则，即可得；（2）根据数乘与向量的加减运算法则，即可得． 【详解】（1）解：， ； （2）解：． 10．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案； （2）表示出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为； （2）因为， 又与互相垂直，所以， 解得. 11．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出、的坐标，即可求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，即可求出，再由面积公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 12．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知向量，. (1)求; (2)求; (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解； （2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解； （3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1）由题意，. （2）由，，得， 则. （3）由，得，则，即，解得. 13．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知空间向量． (1)若，求实数与的值； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共线向量定理得：，代入坐标求解即可； （2）由于，则，求出的值即可得出. 【详解】（1）根据题意，故可设， 则，解得． （2）因为，且， 所以，解得． 得，所以． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知，，，若，，共面，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算结合空间向量共面定理可设存在实数使得：，列方程组求解的值即可. 【详解】因为，，， 若，，共面，则存在实数使得：， 则，解得. 故选：D. 2．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面，可得共面，再根据空间向量共面定理求出，再求出向量在上的投影长度即可. 【详解】因为四点共面， 所以共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以， 向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度， 所以向量在上的投影向量的模为. 故选：D. 3．（24-25高二上·北京顺义·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间中的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为空间直角坐标系中的原点）.若，则的一个充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得到三个向量共面，找到不共面的三个向量即可. 【详解】由题意知，，三个向量共面， 则的一个充分条件即为三个向量不共面， 对于A，与共线，所以，，三个向量共面，故A错误； 对于B，由空间直角坐标系易知，，三个向量不共面，故B正确； 对于C，，所以，，三个向量共面，故C错误； 对于D，与共线，所以，，三个向量共面，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）记空间中的一些点构成的集合为为原点，且对任意，都存在不全为零的实数，使得，若，则下列结论可能成立的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据题意，利用，逐项得到关于的方程组，检验是否满足题意即可得解. 【详解】对于A选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故A错误； 对于B选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，令，则，， 满足存在不全为零的实数，，的条件，故B正确； 对于C选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故C错误； 对于D选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题设给出的定义，从而逐项列式检验即可得解. 二、多选题 5．（24-25高二上·重庆秀山·期末）下列说法正确的是（    ） A．若向量共面，则它们所在的直线共面 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【分析】根据共面向量的定义即可判断A；对于B：设出点的坐标，根据重心坐标公式分析判断；对于C：变形后，得到不能由线性表示，故四点不共面，C错误；；对于D：设在基底下的坐标为，表达出，结合题目条件得到方程组，求出在基底下的坐标为. 【详解】对于A：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上，故A错误； 对于B：设， 则， 又因为是底面的重心，则， 所以成立，故B正确； 对于C：， 则， 即，故， 即不能由线性表示，故四点不共面，C错误； 对于D：设在基底下的坐标为， 则， 因为在基底下的坐标为，所以，解得， 所以在基底下的坐标为，即D正确. 故选：BD. 6．（24-25高二上·河北·期中）下列说法正确的是（    ） A．在长方体中，可以构成空间的一个基底 B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合空间基底的意义、空间向量运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A，在长方体中，共面， 则不能构成空间的一个基底，A错误； 对于B，，而， 则四点共面，从而在平面内，B正确； 对于C，依题意，，设， 即，则，解得， 因此向量在基底下的坐标为，C正确； 对于D，，， 则， ， ， ，D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．（24-25高二上·天津·期中）已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为 ； 【答案】且 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积及向量共线列式求出即得. 【详解】由向量与夹角为钝角，得，且与不共线， 则，解得且， 所以m的取值范围为且. 故答案为：且 8．（24-25高二上·重庆·期中）在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中、，利用空间向量共面可得出，然后二次函数的基本性质结合空间向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设点、，其中、， 易知、，则，，， 因为、、共面，则存在、，使得， 即，解得，所以，，即， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行关系设，求出，利用向量垂直得到； （2）利用向量夹角余弦公式求出答案． 【详解】（1）因为，所以设，即， 故，解得， ， ， ∴，解得， ； （2）， . 10．（24-25高二上·安徽·期中）已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】（1）与不平行， 共面， 存在实数，使得，即解得 故实数的值为8． （2），且， ， 即，解得． 11．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】(1)实数和的值分别为和； (2). 【分析】（1）利用空间向量坐标运算，列出方程求解即得. （2）利用共面向量定理，结合向量的坐标运算求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 向量，，则， 由向量与垂直，得，则， 当时，有，矛盾；当时，有，解得， 所以实数和的值分别为和. （2）由向量与向量，共面，设， 则，即，解得， 所以实数的值为. 12．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知，，，，， (1)若、共线，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，，，，， 则，可得，，解得， 所以，，所以，， 因为，所以，解得． （2）解；由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为． 13．（24-25高二上·上海·期中）一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. (1)已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； (2)四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）存在，和； （ii）. 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）（i）由结合向量的运算可得，且在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析哪个满足“h向量”的定义. （ii）由（i）可知过球心，且面积为定值，所以当平面时，四面体体积取得最大值. 【详解】（1）由题意得，，， 又因为是向量组的“h向量”， 所以，即 ，解得或， 故的取值范围为. （2）（i）由题意得，因为四面体内接于球O，所以， 因为，所以， 两边同时平方得， 因为，，， 所以可得，即，，且在同一平面内. 如图所示， 以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 代入得， 于是可得， ， ， 所以由“h向量”的定义，，都是“h向量”. （ii）由（i）得，，且在同一平面内， 所以在过球心的截面上， 又，， 两边平方可得，，即，， 同理，两边平方可得， 即，， 于是 =++=. 所以当平面时，四面体体积取得最大值， 此时. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$