第01讲空间向量及其运算（7大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第01讲 空间向量及其运算 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的加减运算和空间向量加减运算的几何表示 2 题型02 由空间向量共线求参数或值 3 题型03 空间共线向量定理的推论及应用 3 题型04 空间向量共面求参数 4 题型05 空间共面向量定理的推论及应用 5 题型06 空间向量数乘运算和空间向量数乘运算的几何表示 6 题型07 求空间向量的数量积和空间向量数量积的应用 7 题型08 用空间基底表示向量 8 题型09 空间向量基本定理及其应用 10 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 16 知识点01空间向量的线性运算 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 知识点02共线定理 对于空间中任意的两个向量，若存在实数，使得，则与共线. 知识点03共面定理 两个不共线的向量，若存在唯一的有序实数对（x，y），使得，则向量与向量，共面. 知识点04数量积运算 已知两个非零向量,,则||||cos<,>叫做,的数量积,记作，即||||cos<,>. 知识点05空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 知识点06空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 知识点07基底 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底. 题型01空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【例1】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 【变式3】（23-24高二上·湖北·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 题型02 由空间向量共线求参数或值 【例2】（24-25高二上·四川·期末）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．2 C． D．10 【变式1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式2】（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【变式3】（24-25高二上·浙江台州·期中）向量与共线，且方向相同，则 . 题型03 空间共线向量定理的推论及应用 【例3】（22-23高二上·河南·阶段练习）如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【变式3】（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 题型04 空间向量共面求参数 【例4】（24-25高二上·安徽·期中）已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式1】（24-25高二上·四川广安·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【变式3】（24-25高二上·福建福州·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标 . 题型05 空间共面向量定理的推论及应用 【例5】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广西·期末）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【变式3】（2022高二上·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 题型06 空间向量的数乘运算和空间向量数乘运算的几何表示 【例6】（24-25高二上·广东潮州·期中）如图在四面体中，分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为点，，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【变式3】（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 题型07 求空间向量的数量积和空间向量数量积的应用 【例7】（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【变式2】（24-25高二上·辽宁·期末）已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则 ， . 【变式3】（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 题型08 用空间基底表示向量 【例8】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东·阶段练习）在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则 ． 【变式3】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）如图所示，已知正四面体的棱长为1，记，　 (1)若点分别为和的中点，求间的距离. (2)（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值. 题型09 空间向量基本定理及其应用 【例9】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 【变式1】（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 【变式3】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 2．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·天津滨海新·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）在下列命题中，错误的有（    ） A．若共线，则所在的直线平行； B．若所在的直线是异面直线，则一定不共面； C．若三向量两两共面，则三向量一定也共面； D．已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 8．（24-25高二上·广西·期末）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 四、解答题 9．（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正四面体中，已知是线段的中点，在上，且    (1)试用向量，，表示向量； (2)若正四面体的边长为2，求的值. 10．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 11．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 12．（24-25高二上·浙江丽水·期中）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 13．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期中）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的模长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，在三棱锥中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 5．（24-25高二上·四川绵阳·期中）下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（   ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，满足，则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．设为空间的一组基底，且，则四点共面 6．（24-25高二上·陕西安康·期中）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二上·广东韶关·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是 .    8．（24-25高二上·浙江·期中）已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 四、解答题 9．（23-24高二上·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 10．（24-25高二上·四川达州·期中）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，.设，，.    (1)用，，表示； (2)求的长度. 11．（24-25高二上·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 12．（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 13．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其运算 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的加减运算和空间向量加减运算的几何表示 2 题型02 由空间向量共线求参数或值 5 题型03 空间共线向量定理的推论及应用 6 题型04 空间向量共面求参数 9 题型05 空间共面向量定理的推论及应用 11 题型06 空间向量数乘运算和空间向量数乘运算的几何表示 14 题型07 求空间向量的数量积和空间向量数量积的应用 18 题型08 用空间基底表示向量 22 题型09 空间向量基本定理及其应用 25 分层练习 29 夯实基础 29 能力提升 39 知识点01空间向量的线性运算 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 知识点02共线定理 对于空间中任意的两个向量，若存在实数，使得，则与共线. 知识点03共面定理 两个不共线的向量，若存在唯一的有序实数对（x，y），使得，则向量与向量，共面. 知识点04数量积运算 已知两个非零向量,,则||||cos<,>叫做,的数量积,记作，即||||cos<,>. 知识点05空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 知识点06空间向量基本定理 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 知识点07基底 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底. 题型01空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【例1】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】利用向量的加减运算求解. 【详解】. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】运用空间向量的加法减法法则，结合  线性运算的几何表示计算即可 。 【详解】在中，， 在中，， 故 . 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 【答案】 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算分别计算即可求解. 【详解】（1） . （2） 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·湖北·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可. 【详解】（1）， （2） ， ． 题型02 由空间向量共线求参数或值 【例2】（24-25高二上·四川·期末）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得结果. 【详解】依题意可得，解得，， 所以. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·浙江台州·期中）向量与共线，且方向相同，则 . 【答案】14 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，， 所以， 故答案为：. 题型03 空间共线向量定理的推论及应用 【例3】（22-23高二上·河南·阶段练习）如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用、空间向量的加减运算 【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以. 故选：C. 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 【答案】D 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用 【分析】利用反例或共线向量定理可得正确的选项. 【详解】如果，则， 不成立，故A错误， 如果，则，故平行，但不成立， 因为无意义，故B错误. 对于C，不成立，因为是向量，而是实数，故C错误. 对于D，由向量共线定理可得： 向量与非零向量平行等价于存在实数k，使， 故D成立， 故选：D. 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 【变式3】（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 题型04 空间向量共面求参数 【例4】（24-25高二上·安徽·期中）已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据共面向量定理结合题意设，然后将向量的坐标代入列方程可求得结果. 【详解】由题意得，，即， 所以，解得. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·四川广安·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】由空间向量的基本定理求解即可； 【详解】由题意可得， 因为四点共面，所以存在实数使得， 即， 所以，解得， 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】向量共面定理建立等式，解方程求出的值. 【详解】∵共面， ∴一定存在，使得， 即，解得， 故答案为：5 【变式3】（24-25高二上·福建福州·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】由四点共面得到对应向量共面，建立等量关系，求得的关系式，写出其中一个满足要求得点坐标即可. 【详解】点在平面内，所以四点共面， 则， 所以， 所以，则， 所以满足即可 令，满足， 所以符合题意的点的坐标可以为. 故答案为：（答案不唯一） . 题型05 空间共面向量定理的推论及应用 【例5】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、探求命题为真的充要条件 【分析】由四点共面的充要可得，求解即可. 【详解】是平面外任意一点，且， 若，，，四点共面的充要条件是，即. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据题意，延长，，至点，，，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到，，，四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，    延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·广西·期末）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【答案】 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】直接利用空间向量共面定理的推论列方程求解即可. 【详解】在四面体中，因为四点共面，， 所以，解得. 故答案为： 【变式3】（2022高二上·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】设，首先用表示，然后可得用表示出，从而证明三向量共面，得四点共面． 【详解】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面 题型06 空间向量的数乘运算和空间向量数乘运算的几何表示 【例6】（24-25高二上·广东潮州·期中）如图在四面体中，分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，如下图所示：    因为为的中点，为的中点， 则， 则. 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为点，，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】先表示出，根据可求出结果. 【详解】因为， ， 所以， 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【答案】；. 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据是的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果. 【详解】因为是的中点，所以，所以； 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 题型07 求空间向量的数量积和空间向量数量积的应用 【例7】（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·辽宁·期末）已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则 ， . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值1，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值. 【详解】因为， 由于，所以， 问题等价于当且仅当时，取到最小值1， ， 则，解得. 故答案为：；. 【变式3】（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得； （2）由两边平方后可得. 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 题型08 用空间基底表示向量 【例8】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算，结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】由题意可得： 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】由空间向量基本定理求解即可. 【详解】解：由，点为的中点， 可得， 又，． 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·山东·阶段练习）在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则 ． 【答案】 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，点在上，且，所以， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）如图所示，已知正四面体的棱长为1，记，　 (1)若点分别为和的中点，求间的距离. (2)（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）由，通过平方即可求解； （2）由异面直线夹角的向量法求解即可. 【详解】（1） 所以 所以 即间的距离为 （2）由（1）知，，， 又， 所以 =×=， 又|， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为. 题型09 空间向量基本定理及其应用 【例9】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量加减运算的几何表示 【分析】先根据空间向量基本定理用向量，，表示向量，进而求得，，的值，即可求得的值. 【详解】由空间向量基本定理可得 又由题干，则，故. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量数量积的应用 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 【答案】/ 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以为基底，用基向量表示，再空间向量基本定理待定系数即可. 【详解】在平行六面体中, 因为点M是的中点，点是上的点, 所以 . 又， 由空间向量基本定理得，， 则. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量数量积的应用 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 解得． 故选：B. 2．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论． 【详解】因为， 所以， 又，，，， 所以． 故选：A． 3．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形应用空间向量的加减法及数乘运算即可求解. 【详解】依题意，. 故选：D. 4．（22-23高二上·天津滨海新·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示，然后由向量加减法运算可得结果. 【详解】因为是平行四边形，所以， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）在下列命题中，错误的有（    ） A．若共线，则所在的直线平行； B．若所在的直线是异面直线，则一定不共面； C．若三向量两两共面，则三向量一定也共面； D．已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 【答案】ABC 【分析】根据向量共线、共面的判定与性质逐一判断正误. 【详解】对于A，若共线，则有可能在同一条直线上，A错误； 对于B，即使所在的直线是异面直线，也可以通过平移的方式使得向量共面，B错误； 对于C，如图所示，    在四面体P-ABC中，向量两两共面，但三个向量并不共面，C错误； 对于D，由空间向量的基本定理可知D正确； 故选：ABC. 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意得，再利用与共线的单位向量为，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以与向量共线的单位向量为或， 故选：AD. 三、填空题 7．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 8．（24-25高二上·广西·期末）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量共面定理的推论，即可求得答案. 【详解】因为四点共面，， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正四面体中，已知是线段的中点，在上，且    (1)试用向量，，表示向量； (2)若正四面体的边长为2，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据空间向量的数量积的计算公式，准确计算，即可求解.    【详解】（1）解：因为点是线段的中点，在上，且, 根据向量的线性运算法则，可得： ， 即. （2）解：因为正四面体的边长为，且， 可得，且， 由（1）可得知 . 10．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形重心的向量表示及向量运算可证结论； （2）利用向量模长的公式可求答案. 【详解】（1）证明：因为G是的重心，所以， 则， 即. （2）由（1）得， 所以， ，即． 11．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； （2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 12．（24-25高二上·浙江丽水·期中）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 13．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东广州·期中）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法将转化为与已知向量相关的形式，再根据向量的模长公式进行计算. 【详解】在平行六面体中，. 因为以顶点为端点的三条棱的长度都为，则. 又因为两两夹角为，根据向量点积公式（这里），可得： ； ； . 将上述值代入的表达式中： . 因为，根据向量的模长公式，所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将表示为，然后通过空间向量的加减以及数乘运算逐步将表示为的线性组合，由此可得结果. 【详解】由题意知 ． 故选：C． 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，在三棱锥中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若分别是中点，连接，应用空间向量数量积的运算律，将、作转化，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若分别是中点，连接， 若，则，可得， 所以， 即， 所以，即， 所以，充分性成立； 若，则 ， 所以，即，必要性成立， 故选：B 二、多选题 5．（24-25高二上·四川绵阳·期中）下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（   ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，满足，则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．设为空间的一组基底，且，则四点共面 【答案】ABC 【分析】利用单位向量判断A；利用共线向量的知识判断B；利用平面的法向量的定义可判断C；利用点共面的判定定理可判断D. 【详解】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确； 对于B，非零向量，满足，则有，故B正确； 对于C，由平面的法向量的定义可知与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，由且，故不共面. 故选：ABC. 6．（24-25高二上·陕西安康·期中）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．（24-25高二上·广东韶关·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是 .    【答案】2 【分析】根据向量的线性运算直接表示各向量，利用转化法可得向量数量积. 【详解】， ； 由题意易知， 则，， 则 ． 故答案为：2 8．（24-25高二上·浙江·期中）已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】2 【分析】由可得存在一点，使得，即可得，再利用相应比例关系可得对应体积. 【详解】如下图所示： 由可得； 即, 可得，即； 又，由空间向量基本定理可得在平面内存在一点，使得； 所以，，可得， 由三棱锥的体积为3，可得三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间向量的共面定理得出点与点的比例关系，再根据对应比例求得相应三棱锥的体积. 四、解答题 9．（23-24高二上·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可； （3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解. 【详解】（1）如图，   . （2） , . （3） . 10．（24-25高二上·四川达州·期中）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，.设，，.    (1)用，，表示； (2)求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将转化为与已知向量、、相关的表达式，再根据向量关系进行代换； （2）涉及向量的模长公式.在求出的向量表达式后，利用向量模长公式计算其长度. 【详解】（1）因为. 又因为，且. 所以. （2）由（1）知. 首先计算. 根据向量运算法则. 因为底面为正方形，，所以，. 又，所以. 由于，且， . 而，所以. 那么. 根据向量的模长公式，所以. 11．（24-25高二上·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算化简即可得解； （2）用，，表示出向量，再由空间向量数量积公式计算即可. 【详解】（1） （2）， ， . 12．（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 13．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$