精品解析：河北省保定市曲阳县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量检测 八年级 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、不轴对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 2. 在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点D，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和可得，点在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点．本题考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 【详解】解：，且， ， 点在线段的垂直平分线上， 即点为线段的垂直平分线与的交点． 观察四个选项，D选项符合题意， 故选：D． 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行解答即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、是最简二次根式，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选B. 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键. 4. 如图，在中，，AD、CE分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（ ） A 20° B. 30° C. 35° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据角平分线的定义即可得． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质（等边对等角）是解题关键． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 6. 已知关于x的分式方程，要使该方程的解为正数，则m不能取的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验． 先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到m的取值范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ∵， ∴； ∵该方程的解为正数， ∴， 解得：， 综上，且； ∴不能为7； 故选：D． 7. 如图，，，点M是射线上一个动点，当为直角三角形时，的长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定和性质以及勾股定理，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 根据题意，分情况讨论或分别为直角时，的长即可求解； 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： ， ， ； 当时，如图： ， ， 在中，由勾股定理得， 即 ， ， ； 综上所述，的长为 或； 故选：D 8. 已知=a，=b，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式． 【详解】 ． ∵a，b，∴原式． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及积的算术平方根的性质．积的算术平方根的性质：•（a≥0，b≥0）． 9. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】C 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E， 则DE=10，OE=CD=1，AE=． 在Rt△ADE中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10. 如图，与关于点成中心对称，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键； 根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，， ，， 根据勾股定理可得：， ； 故选：A 11. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系（ ） A. BD=AB B. BD=AB C. BD=AB D. BD=AB 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠BCD=∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BD=BC，BC=AB，进而可得答案. 【详解】∵∠ACB=90°，CD是高， ∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∵∠A=30°， ∴∠BCD=∠A=30°， ∴BD=BC，BC=AB， ∴BD=AB 故选C. 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边，等于斜边的一半，熟练掌握相关性质是解题关键. 12. 如图，在中，，，BD是的角平分线，过点D作交BC边于点E．若，则图中阴影部分面积为 （ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT，可得到阴影部分的面积等于△ADT的面积，再计算即可． 【详解】解：∵，BD是的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD=45°， ∵， ∴∠BDE=90°， ∴∠CBD=∠DEB=45°， ∴BD=DE， 将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT． ∴∠DEC=∠DBT=135°， ∴∠ABD+∠DBT=180°， ∴A，B，T共线， ∵AC=6，AD=2， ∴DC=DT=4， ∴图中阴影部分的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，旋转的性质及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，数轴上点A，B对应实数分别是，2，点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据点C在线段AB上运动，得到点C表示的数的取值范围，写出一个无理数即可． 【详解】解：∵点C在线段AB上运动， ∴点C表示的数在-1和2之间， ∴点C表示的数可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，无理数大小的估算，根据题意估算出点C表示的数的取值范围是解题关键． 14. 若代数式的值是常数2，则的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】先化简原式，再分，，三种情况讨论即可得出结论． 【详解】∵． ①若，则原式． ②若，则原式． ③若，则原式． 故的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简．分类讨论是解答本题的关键． 15. 如图，在锐角中，．点P是边上一个定点，点M、N分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、三角形内角和的知识，作点P关于的对称点D，G，连接分别交于E，F，连接交于M，交于N，连接．根据，，，可推出，由轴对称得，据此即可求解； 【详解】解：作点P关于的对称点D，G，连接分别交于E，F，连接交于M，交于N，连接． ∵的周长， ∴如上图所示，此时的周长最小； ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在 中，，以 为边，作 ，满足 为 上一点，连接 ，连接 ，① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】因为，且，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的；当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的；也可以通过线段的等量代换运算推导出③是正确的；设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故④是正确的． 【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，故①是正确的； 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故②是不正确的； ， ， ， ，故③是正确的， 设，则， ， ， ， ， ， ， ④是正确的； 故正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、二次根式的性质、运用平方差公式进行计算、熟练掌握二次根式的性质、分式的基本性质以及平方差公式是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，将的分子、分母同乘，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，即可将二次根式化简； （2）先将二次根式化简，再根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， ； 18. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分子、分母的因式分解． 因式分解约分，化成最简形式后代数计算即可求解． 【详解】解： ， 其中， 原式； 19. 已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等； （2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称， ∴△ABM≌△ACM， ∴AB=AC， 又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴△ABE≌△DCE， ∴AB=CD， ∴AC=CD； (2)∠F=∠MCD. 理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA， ∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF， ∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α， 设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β， ∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β， ∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β， ∴∠F=∠MCD. 【点睛】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键. 20. 在研究二次根式化简时，遇到了这样一个问题：化简，过程如下： ． 根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式结合二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：依题意，则有 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 21. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作DH⊥AB于H．只要证明CD=DH，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 ∠ABC的平分线如图所示． 【小问2详解】 作DH⊥AB于H． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD=DH=3， ∴△ABC的面积=S△BCD+S△ABD=BC•CD+AB•DH=×3BC+×3AB=×3（BC+AB）=×3×16=24． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 22. “欲穷千里目，更上一层楼”下面我们利用数学知识计算，到底要登上多少层楼才能“穷千里目”，如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，为直立于地面的某高层建筑，A、B、O在同一条直线上，为站在楼顶处的视线，、与地球半径构成了．设，地球半径为，楼每层高约为，求楼至少要多少层才能“穷千里目”．（参考数据：） 【答案】层 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意求得。即可求解 【详解】解：在直角三角形中， ，， ∴， ∵， ∴.， ∴楼的层数为. 答:楼至少要层才能“穷千里目”. 23. 永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： (方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成； (方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天； (方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工． （1）请你求出完成这项工程的规定时间； （2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由． 【答案】（1）30天； （2）选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工． 【解析】 【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为天，然后根据“甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工”列分式方程求解即可； （2）根据题意可知有方案一和方案三符合条件，然后分别求出方案一和方案三的工程款，然后比较即可解答． 【小问1详解】 解：设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为天 由题意得：，解得: 经检验: 是原分式方程的解. 答:完成这项工程的规定时间为30天. 【小问2详解】 解：如期完工时，只有方案一和方案三符合条件 方案一工程款: (万元) 方案三工程款： (万元) ∵ ∴选择方案三． 答:选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、列代数式计算等知识点，灵活运用分式方程解决实际问题是解答本题的关键． 24. 如图1和图2，在中，，，，点P从点A出发沿折线匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持．（设点P的运动时间为t秒） （1）如图1，点在上时，_________，_________；（用含t的代数式表示） （2）如图2，点在边上，时，_________，_________； （3）如图2，点在边上，若，求证：； （4）当时，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）， （3）见解析 （4）3或 【解析】 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，即有，即可求解； （2）利用三角形外角的性质定理可得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （3）当时，点在上运动，当为等腰三角形时，分为三种情况：①当时；②当时；③当时，结合等腰三角形的性质即可作答． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：，． 【小问3详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴； 【小问4详解】 解：依题意，当时，点在上运动， ①当时，， 则是等腰直角三角形，则 ∵ ∴ ∴， 则是等腰直角三角形， 又 ∴； ②当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； ③当时，则， ∴, 又∵ ∴ 则点、与点重合，不能构成三角形， 故此情形不存在； 综上所述，的长为3或． 【点睛】本题考查了列代数式，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义与性质，全等三角形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末质量检测 八年级 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，如果要用尺规作图方法在上确定一点D，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，AD、CE分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 70° 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知关于x分式方程，要使该方程的解为正数，则m不能取的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 7. 如图，，，点M是射线上一个动点，当为直角三角形时，的长为（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知=a，=b，则=（　　） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 10. 如图，与关于点成中心对称，，，，（ ） A B. C. D. 11. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系（ ） A. BD=AB B. BD=AB C. BD=AB D. BD=AB 12. 如图，在中，，，BD是的角平分线，过点D作交BC边于点E．若，则图中阴影部分面积为 （ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，数轴上点A，B对应的实数分别是，2，点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以是________（写出一个即可）． 14. 若代数式的值是常数2，则的取值范围是______. 15. 如图，在锐角中，．点P是边上的一个定点，点M、N分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是______． 16. 如图，在 中，，以 为边，作 ，满足 为 上一点，连接 ，连接 ，① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有__________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值，其中． 19. 已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 20. 在研究二次根式的化简时，遇到了这样一个问题：化简，过程如下： ． 根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 21. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 22. “欲穷千里目，更上一层楼”下面我们利用数学知识计算，到底要登上多少层楼才能“穷千里目”，如图，圆弧代表地球剖面一部分，圆心为O，为直立于地面的某高层建筑，A、B、O在同一条直线上，为站在楼顶处的视线，、与地球半径构成了．设，地球半径为，楼每层高约为，求楼至少要多少层才能“穷千里目”．（参考数据：） 23. 永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： (方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成； (方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天； (方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工． （1）请你求出完成这项工程的规定时间； （2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由． 24. 如图1和图2，在中，，，，点P从点A出发沿折线匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持．（设点P的运动时间为t秒） （1）如图1，点在上时，_________，_________；（用含t代数式表示） （2）如图2，点在边上，时，_________，_________； （3）如图2，点在边上，若，求证：； （4）当时，若为等腰三角形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$