精品解析：安徽省安庆市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末综合素质调研九年级数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线 与x轴交点的情况是（ ） A. 有交点 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个交点 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，为半径画弧交射线于点，连接，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于、两点，最后，以为圆心“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形中，，若，则等于（ ） A. 2︰7 B. 5︰7 C. 3︰7 D. 2︰5 9. 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20 分本） 11. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是__________． 12. 已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，大小关系是___________． 13. 如图，分别是的边上的点，，若，则_______． 14. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有________（直接填写序号）． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分，请在题卷的相应区域答题．） 15. 计算：． 16. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图． （1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、） 18. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图是以的边为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作交于点D，已知，，求的长． 20. 如图在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图象的任意一点，若，求点P的坐标． 21. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 22. 如图，在斜坡底部点处安装一个的自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米 （1）求抛物线的解析式； （2）斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米 ①记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值斜坡可视作直线； ②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，直接写出自动喷水装置应向后平移即抛物线向左)多少米? 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末综合素质调研九年级数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）定义即可求出答案. 【详解】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，解题的关键在于熟练掌握相关定义. 2. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 3. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 4. 抛物线 与x轴交点的情况是（ ） A. 有交点 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题，熟练掌握“当时，抛物线与x轴有两个交点，当时，抛物线与x轴有一个交点，当时，抛物线与x轴没有有交点”是解题的关键． 根据，得出抛物线与x轴有两个交点． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴有两个交点． 故选：D． 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 6. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，确定在同一个圆上，根据量角器量角及圆周角定理即可得到． 【详解】解：令圆心为，连接，如图所示： 以量角器的直径为斜边画直角三角形， 在上， 量角器上点对应的读数是， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，读懂题意，掌握量角器量角的方法及圆周角定理求解是解决问题的关键． 7. 在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，为半径画弧交射线于点，连接，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于、两点，最后，以为圆心“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出． 根据作图可知，，，设，则，，求出，得出，即可得出结论． 【详解】解：根据作图可知，，， 设，则， 根据勾股定理可得：， ， ， 以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，故正确． 故选：A． 8. 如图，四边形中，，若，则等于（ ） A. 2︰7 B. 5︰7 C. 3︰7 D. 2︰5 【答案】D 【解析】 【分析】过D作交于G，交于H，根据平行四边形的性质先求出，从而得到的长，再根据相似三角形的性质可求出的值． 【详解】解：过D作交于G，交于H． 则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质定理，属于综合题，有一定难度，注意将分割计算是解答本题的关键． 9. 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解． 【详解】解：解：设该抛物线的解析式为， 由题意可得，点A的坐标为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， ∴这两盏灯的水平距离是：（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解． 10. 如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，过点F作，交于点P，过点H作，交于点Q，根据平行线分线段成比例可知，再由三角形中位线的性质，结合D，E是边的三等分点，得到，然后由，得到，进而由，，得到，从而证明，再结合三角形的面积关系可得答案． 【详解】解：如图，过点F作，交于点P，过点H作，交于点Q， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴， ∴， ∵D，E是边的三等分点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，． ∴， ∴， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20 分本） 11. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据坡比求出AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键． 12. 已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，大小关系是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数位于第二、四象限，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点和的纵坐标的大小即可． 【详解】解：反比例函数的比例系数为， 反比例函数图象位于第二、四象限； 第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点在第二象限，点和在第四象限， 最大， ，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 13. 如图，分别是的边上的点，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有________（直接填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解决问题的关键．根据抛物线开口向上，可知；根据对称轴为直线，可求出；根据抛物线与y轴交点位于x轴下方，可判断，从而可判断①；由抛物线的对称性，可求出与x轴另一个交点为，代入抛物线解析式，结合，即可判断②；由图象可知当时，随的增大而增大，故③错误；根据可知，结合根的判别式可判断④；根据题意可求出，即得出⑤正确． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴为直线， 则， 抛物线与y轴交点位于x轴下方， 则， ∴，所以①正确； ②∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴另一个交点为， ∴． ∵， ∴， ∴，所以②正确； ③当时，图象在对称轴右侧，开口向上，随的增大而增大，所以③错误； ④∵关于的一元二次方程没有实数根， 又∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵， ∴，所以④正确； ⑤对于任意实数， 总有 ，所以⑤正确． 综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分，请在题卷的相应区域答题．） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，然后化简计算即可； 【详解】 ． 16. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【小问1详解】 解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； 【小问2详解】 由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图． （1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转： （1）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可； （2）根据旋转方式找到A、B、C对应点、、的位置，然后描出、、，最后顺次连接、、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图是以的边为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作交于点D，已知，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理，由是直径，可得，由，可得，则，，求，然后由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得， 由勾股定理得，， ∴的长为． 20. 如图在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图象的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2）不等式的解集为或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先通过一次函数求出点A坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）求出点B的坐标，根据图像求解即可； （3）根据图像求出，再根据求出，即可求出 【小问1详解】 解：把点代入直线得： ∴点A的坐标为：， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 即反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：由（1）得：点A的坐标为：， 同理可求，点B的坐标为：， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点C的坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P的纵坐标为3时，则，解得， 当点P的纵坐标为时，则，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键． 21. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）厘米 （2）7.9厘米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴， ∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约． 22. 如图，在斜坡底部点处安装一个的自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米 （1）求抛物线的解析式； （2）斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米 ①记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值斜坡可视作直线； ②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，直接写出自动喷水装置应向后平移即抛物线向左)多少米? 【答案】（1）抛物线为 （2）①的最大值为；②喷射架应向后移动3米 【解析】 【分析】此题考查了二次函数在实际问题中的应用； （1）根据当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，设设水流形成的抛物线为，代入点求出二次函数的解析式，即可求解； （2）①先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解； ②设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解． 【小问1详解】 由题可知：当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米 可设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 抛物线为 【小问2详解】 ①由题可知点坐标为 设直线的解析式为，把点的坐标代入得： 解得 直线解析式为： 的最大值为 ②设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为 将点代入得： 解得：或舍去 喷射架应向后移动米 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $