第07讲 锐角三角函数（6个知识点+10种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第07讲 锐角三角函数（6个知识点+10种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型强化 题型一、求角的正切值 1．（2024·江苏无锡·模拟预测） 的值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的正切值是 ． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． 题型二、正切的概念辨析 4．（九年级·江苏徐州·课后作业）在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 5．（2021·江苏无锡·二模）如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则 ． 6．（2021·江苏无锡·三模）如图，∠ABD＝∠CDB＝90°．P为线段BD上的一点，在图①中仅用圆规分别在AB、CD上作点E、F，使EF⊥PF，且EF＝PF． (1)在图①中仅用圆规作图，保留作图痕迹； (2)若∠BEP的正切值为，求PD：BE．（图②供问题（2）用） 题型三、已知正切值求边长 7．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，，点D在上，连接，使得，以为边向外作，若，，则边的长为 ． 9．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求点的坐标． 题型四、正弦的概念辨析 10．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 11．（2021·江苏苏州·一模）如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则 ． 12．（2022·江苏无锡·一模）（1）如图，点P为⊙O外一点，点A，B为⊙O上两点，连接线段PA，PB交⊙O于点D、E，已知．求证：． （2）如图，点P为⊙O外一点，点A，B为⊙O上两动点，请用无刻度的直尺和圆规作∠APB，使∠APB达到最大． 题型五、求角的正弦值 13．（23-24九年级下·江苏南通·期末）在中，若，，，则下列结论中正确的是（　） A． B． C． D． 14．（21-22九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ． 25．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）抛物线（b、c为常数）与x轴交于、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点．点P在该抛物线上且在x轴上方，设其横坐标为m． (1)直接写出b，c的值：_____，______； (2)连结、．当时，求m的值； (3)过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，两点的距离记为d．请直接写出根据d的不同取值所对应的点P个数情况．（补充说明：当两点重合时，记） 题型六、已知余弦求边长 16．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 17．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    18．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，中，以为直径的交于点E，平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型七、特殊三角形的三角函数 19．（2024·江苏盐城·一模）在下列四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级下·江苏常州·期末）计算： ． 21．（2024·江苏无锡·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 题型八、特殊角三角函数值的混合运算 22．（江苏扬州·二模）下列四个数中最大的数是（ ） A．2.5 B． C． D． 23．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）计算： ． 24．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）计算：． 题型九、根据特殊角三角函数值求角的度数 25．（2024·江苏南京·模拟预测）在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 题型十、三角函数综合 28．（2021·江苏扬州·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且，则直线AB与ON之间的距离d的范围是，则的度数可能是（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 29．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 30．（2024·江苏盐城·三模）已知：中，． 操作发现： 如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ． 猜想论证： 当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由． 类比探究： 如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值． 拓展提升： 如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ． 分层练习 一、单选题 1．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（    ） A．扩大100倍 B．缩小 C．不变 D．不能确定 2．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13m，若，则小车上升的高度是（   ） A．4米 B．5米 C．6米 D．12米 4．如图所示，四边形中，，是的平分线，且，，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的垂直平分线分别交于D，E两点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是锐角，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的面积比为（    ） A． B． C． D． 8．如图，AB是⊙O的直径，点E是半径OA的中点，过点E作DC⊥AB，交⊙O于点C、D，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA的大小为(　　) A．25° B．30° C．35° D．40° 9．如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线的图象上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线交于点B，连接AB，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．计算 ． 13．（1）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝ ； （2）已知α为锐角，且cos（90°﹣α）＝，则a＝ ； （3）若tan（α+10°）＝1，则锐角a＝ ． 14．正六边形的边长为，面积为，那么关于的函数关系式是 ． 15．如图，点G是正方形边上的一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，过点E作，过点G作，和交于点F，延长交于点H，连接，以和为边作矩形．记的面积为，的面积为，矩形的面积为，若，，则 ．    16．如图，以为圆心，半径为的圆与反比例函数的图象交于，两点，则点到轴的距离为 ，的长度为 . 17．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F．若点F是CD的中点，则tan∠BAP= ． 18．如图，点P 是正方形的中心，过点P 的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形． 连接， 记和的面积分别为，设； （1）若A，B，Q 三点共线，则 （2）正方形和的面积之比为 ． （用含k 的代数式表示） 三、解答题 19．计算： 20．物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米． (1)请确定a，c的值． (2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值． 21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点， 于D．若，，求公路的转弯处的长．（结果保留π） 22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)画出，点C在方格纸上的格点上，的面积是3，有一个锐角的正切值为； (2)在（1）的条件下，画出矩形（字母顺序为逆时针），点F和点G都在方格纸上的格点上，矩形一组对边平行于，直接写出矩形的面积． 23．长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； (2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 24．问题提出 (1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ． 问题探究 (2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值． 问题解决 (3)如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．                25．如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E在BC边上(点E不和BC的端点重合)，且BE＝BC，连接AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE． （1）求证：OF＝OG； （2）用含的代数式表示tan∠OBG的值； （3）如图2，当∠GEC＝90°时，求的值． 26．将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点 (I)过边上的动点 (点不与点，重合)作交于点，沿着折叠该纸片，点落在射线上的点处． ①如图，当为中点时，求点的坐标； ②连接，当为直角三角形时，求点坐标： (Ⅱ)是边上的动点(点不与点重合)，将沿所在的直线折叠，得到，连接，当取得最小值时，求点坐标(直接写出结果即可)．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 锐角三角函数（6个知识点+10种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型强化 题型一、求角的正切值 1．（2024·江苏无锡·模拟预测） 的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了求一个角的正切值，熟记是解题的关键． 【详解】解：依题意， 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的正切值是 ． 【答案】3 【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 由勾股定理得，， ． 在中，． 故答案为：3． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、两直线平行同位角相等、求角的正切值 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 题型二、正切的概念辨析 4．（九年级·江苏徐州·课后作业）在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【知识点】正切的概念辨析 【分析】利用∠A的大小没有变进行判断． 【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 5．（2021·江苏无锡·二模）如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【知识点】正切的概念辨析、根据旋转的性质求解、反比例函数与几何综合 【分析】过点B′作B′D⊥x轴于点D，根据BA⊥OB于点B及图形旋转的性质求出∠B′BD的度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB′的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D， ∵BA⊥OB于点B， ∴∠ABD＝90°． ∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置， ∴∠ABB′＝60°， ∴∠B′BD＝90°−60°＝30°． ∵点B′的坐标为（1，1）， ∴OD＝ B′D＝1， ∴BB′＝2B′D＝2，BD＝ ∴，AB＝BB′＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化−旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得出A点坐标是解答此题的关键． 6．（2021·江苏无锡·三模）如图，∠ABD＝∠CDB＝90°．P为线段BD上的一点，在图①中仅用圆规分别在AB、CD上作点E、F，使EF⊥PF，且EF＝PF． (1)在图①中仅用圆规作图，保留作图痕迹； (2)若∠BEP的正切值为，求PD：BE．（图②供问题（2）用） 【答案】(1)见解析 (2)2：7 【知识点】正切的概念辨析、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题 【分析】（1）以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F，再以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作； 【小问2分析】 连接EF、FP、EF，作EG⊥CD于G，设BP＝x，PD＝y，证明△EGF≌△FDP，推出GF＝DP＝y，推出EB＝GD＝x+2y，在Rt△EBP中，求出，BP：PD＝3：2，得到PD：BE＝2：7． 【详解】（1）如图①，（一）以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F．（二）以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作； （2）连接EF、FP、EF，过点E作EG⊥CD于G，设BP＝x，PD＝y， ∴FD＝DB＝x+y． ∵∠EGF＝∠EFP＝∠D＝90°， ∴∠EFG+∠PFD＝90°， ∵∠PFD+∠DPF＝90°， ∴∠EFG＝∠DPF， ∵EF＝FP， ∴△EGF≌△FDP（AAS）， ∴GF＝DP＝y， ∴EB＝GD＝x+2y， 在Rt△EBP中，， ∴x：y＝3：2，即PD：BE＝2：7． 【点睛】本题主要考查了圆规作图与锐角三角函数，解决问题的关键是用全等三角形作图与计算。（1）题是根据FD=BD=EG用圆规画图，（2）题关键是证明△EFG≌△FPD，结合，推出PD：BE＝2：7． 题型三、已知正切值求边长 7．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题． 【详解】解：过点C作的延长线于点， 与是等高三角形， 设 ， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8．（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，，点D在上，连接，使得，以为边向外作，若，，则边的长为 ． 【答案】 【知识点】已知正切值求边长、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查解直角三角形，过点A作边的垂线，构造全等三角形，再根据结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：过点A作边的垂线，垂足为M， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例的解析式为； (2)点C的坐标为． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知正切值求边长 【分析】（1）过点B作轴于点M，由，设，则，由勾股定理求出x的值，得到点B的坐标，代入即可求解； （2）设点C的坐标为，则．设直线的解析式为：，将B点坐标代入的函数关系式，可得，令得到，联立，解得两个x的值，点的横坐标为，由列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点M， 在中，， 设，则． 又，． ． 又 ， ∴点B的坐标是， ∴反比例的解析式为； （2）解：设点C的坐标为，则．设直线的解析式为：， 又∵点在直线上，将点B的坐标代入直线解析式中， ． ． ∴直线的解析式为：． 令，则． ． 联立得，解得， 即点的横坐标为， 又． ． ． ． ． 经检验，是原方程的解． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、分式方程、一元二次方程和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 题型四、正弦的概念辨析 10．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解． 【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度， 铁球距地面的高度． 故选：B． 【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键． 11．（2021·江苏苏州·一模）如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则 ． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、正弦的概念辨析、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】过点D作DM⊥CA，交CA的延长线于点M，DM交于点P，由∠ACO=∠DCM，得，解得：DM=，进而即可求解． 【详解】过点D作DM⊥CA，交CA的延长线于点M，DM交于点P，此时面积最小， ∵二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点， ∴A(-2，0)，C(0，-4)，即：OA=2，OC=4，AC=， ∵点坐标为， ∴OD=2， ∵∠ACO=∠DCM， ∴sin∠ACO=sin∠DCM，即：， ∴DM=CD×=6×=． ∵面积最小值为5， ∴，解得：R=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，添加辅助线，找出面积最小值为5时，点P的位置，是解题的关键． 12．（2022·江苏无锡·一模）（1）如图，点P为⊙O外一点，点A，B为⊙O上两点，连接线段PA，PB交⊙O于点D、E，已知．求证：． （2）如图，点P为⊙O外一点，点A，B为⊙O上两动点，请用无刻度的直尺和圆规作∠APB，使∠APB达到最大． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】正弦的概念辨析、切线的性质定理、圆周角定理 【分析】（1）连接AE、BD，如图（1），先根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA，再根据圆周角定理得到∠DAE＝∠EBD，所以∠BAE＝∠ABD，然后利用弧线段所对的弦相等得到结论； （2）先作PO的垂直平分线得到OP的中点，然后以OP为直径作⊙C交⊙O于A、B，则PA、PB为⊙O的切线，此时∠APB最大． 【详解】解：（1）证明：连接AE、BD，如图（1）， ∵AP＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∵∠DAE＝∠EBD， ∴∠BAE＝∠ABD， ∴， ∴BE＝AD； （2）如图（2），∠APB为所作． 如图（3），PA切⊙O于A，A1为⊙O上异于A的另一点，OQ⊥PA1， ∴∠PAO＝90°，∠PQO＝90°， ∴sin∠APO＝，sin∠QPO＝， ∵在0~90°时，正弦值越大，角度越大，且OA＞OQ， ∴∠APO＞∠A1PO， ∴PA、PB与⊙O相切时，∠APB最大． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，三角函数的应用． 题型五、求角的正弦值 13．（23-24九年级下·江苏南通·期末）在中，若，，，则下列结论中正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，，， ，，，，． 故选：A． 14．（21-22九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正弦值 【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再求出，最后根据结合锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】如图，连接， ∵是斜边上的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 25．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）抛物线（b、c为常数）与x轴交于、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点．点P在该抛物线上且在x轴上方，设其横坐标为m． (1)直接写出b，c的值：_____，______； (2)连结、．当时，求m的值； (3)过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，两点的距离记为d．请直接写出根据d的不同取值所对应的点P个数情况．（补充说明：当两点重合时，记） 【答案】(1)2，3 (2) (3)当时，m的值只有1个，故点P只有1个，当时，m的值只有2个，故点P只有2个，当时，m的值只有3个，故点P只有3个 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）求出，得到直线的表达式为，即可求解； （3）利用待定系数法求直线的表达式为，再分当时，点P在点Q的左侧，当时，点P在点Q的右侧两种情况讨论，最后画出图象，分析图象即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，与y轴交于点， ∴， 解得，， 故答案为：2，3； （2）解：如图，作点A关于y轴对称点，连接，过点A作于点N， 则， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 联立方程组得，， 解得，（舍）或， ∴； （3）解：∵，， ∴， 设直线的表达式为， 得，， 解得，， ∴直线的表达式为， 当时，，即， 当时，点P在点Q的左侧，， 当时，点P在点Q的右侧，， 如图所示：点、、、， 故当时，m的值只有1个，故点P只有1个， 当时，m的值只有2个，故点P只有2个， 当时，m的值只有3个，故点P只有3个． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 题型六、已知余弦求边长 16．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】已知余弦求边长、三角形的分类 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E    ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 17．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    【答案】 【知识点】已知余弦求边长、根据矩形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，中，以为直径的交于点E，平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】已知余弦求边长、证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图，连接，由平分，可得，由，可得，则，，，进而结论得证； （2）由，可得，可求，则，，由，可求，由为直径，可得，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∴，， ∵， 解得，， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，切线的判定，正弦，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，切线的判定，正弦，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型七、特殊三角形的三角函数 19．（2024·江苏盐城·一模）在下列四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊三角形的三角函数、无理数 【分析】此题考查了无理数，锐角三角函数，根据无限不循环小数是无理数进行判断即可. 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 是负整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数， 故选：D 20．（23-24九年级下·江苏常州·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．（2024·江苏无锡·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4；（2） 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后计算加减． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型八、特殊角三角函数值的混合运算 22．（江苏扬州·二模）下列四个数中最大的数是（ ） A．2.5 B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】实数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小. 【详解】∵ ∴ ∴最大的数是2.5 故选A. 【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握实数的大小比较法则，即可完成． 23．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】直接代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 24．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、实数的混合运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的运算，原式第一项利用算术平方根的意义计算，第二项利用绝对值的代数意义，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项零指数幂法则计算，再进行加减计算即可得到结果． 【详解】解： ． 题型九、根据特殊角三角函数值求角的度数 25．（2024·江苏南京·模拟预测）在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，如图，过作于，由勾股定理求解，再利用锐角的余弦即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 26．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解 (2) 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵， ∴， 由（1）可得四边形是菱形， ∴， 在中，， 即， ∴． 题型十、三角函数综合 28．（2021·江苏扬州·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且，则直线AB与ON之间的距离d的范围是，则的度数可能是（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【知识点】三角函数综合、作角平分线(尺规作图) 【分析】过点B作BE⊥ON于点E，由题意易得OP平分∠MON，则易得AB=OB=6，当时，则有，即，当时，则有，即，进而问题可求解． 【详解】解：过点B作BE⊥ON于点E，如图所示： 由题意得OP平分∠MON， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴AB=OB=6， ∵直线AB与ON之间的距离d的范围是， ∴当时，则有，即，当时，则有，即， ∴， ∴符合题意的只有C选项； 故选C． 【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图、平行线的性质及三角函数，熟练掌握角平分线的尺规作图、平行线的性质及三角函数是解题的关键． 29．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4， 点A的坐标为， ， 当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点， 由对称性质可知，， 当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为， 由对称性质可知，， 作于点，有， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况． 30．（2024·江苏盐城·三模）已知：中，． 操作发现： 如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ． 猜想论证： 当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由． 类比探究： 如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值． 拓展提升： 如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ． 【答案】操作发现：，；猜想论证：成立，证明见解析；类比探究：；拓展提升：的最大值为． 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题 【分析】操作发现：根据旋转的性质和三角形的判定与性质可得当时，，进而得到，，即可得到与的数量关系； 猜想论证：过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，可得，即可证明； 类比探究：过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，进而得到，最后根据三角函数求出的值即可； 拓展提升：在旋转过程中，当时，，，此时的值最大，，根据三角函数求出即可． 【详解】操作发现：如图，当时，又旋转可得：，，， ， ， 此时，， ， 即， 故答案为：，； 猜想论证：成立，证明如下： 如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， 又， ， ， ， ； 类比探究： 如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 由论证猜想得， 又，， ， ， ，， ， 在中，， ； 拓展提升：在旋转过程中，当时，，，此时的值最大， ， ， ，， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查了三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 分层练习 一、单选题 1．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（    ） A．扩大100倍 B．缩小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、求角的正弦值 【分析】分别求出扩大前后sinA的值，由此即可得到答案． 【详解】解：设Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边的长分别为a、c，则扩大100倍后的对边和斜边的长分别为100a，100c， ∵扩大前，扩大后， ∴sinA的值不变， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求正弦值和分式的性质，熟练掌握直角三角形正弦值=对边÷斜边是解题的关键． 2．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的余弦值 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形，然后利用网格及勾股定理确定三边长，即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， ∵， ， 故选：B． 3．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13m，若，则小车上升的高度是（   ） A．4米 B．5米 C．6米 D．12米 【答案】B 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】根据正弦的定义列式计算,得出答案． 【详解】解：设小车上升的高度是xm， ∵sinα， ∴， 解得:x=5． 故选择:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用类型中的坡度坡角问题,准确理解定义,列出式子． 4．如图所示，四边形中，，是的平分线，且，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理求出AC的长，从而∠B的正切值即可得解． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA， 又∵是的平分线 ∴∠DCA=∠ACB， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD=6， 过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=AC， ∵∠DCA=∠ACB，∠BAC=∠DEC， ∴△ABC∽△EDC， ∴，即， ∴BC=12， 在直角△ABC中，AC= ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理以及求锐角三角函数，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长度是解题的关键． 5．如图，在中，的垂直平分线分别交于D，E两点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、求角的正切值、特殊三角形的三角函数 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，特殊角的三角函数，正切函数的定义解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，特殊角的三角函数，正切函数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ． ． ， ． 在中，． 故选：A． 6．已知是锐角，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查三角函数的定义，熟记特殊角三角函数的定义是解决本题的关键．由题干条件即可得出的度数，从而即可得到的值． 【详解】解：是锐角，， ， ， 故选：D． 7．如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、正切的概念辨析 【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答． 【详解】如图， 设、分别与交于点、 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 由图可知： ， ∴ ， 即与的相似比为 ， ∴与的面积比为 故选：D． 【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比． 8．如图，AB是⊙O的直径，点E是半径OA的中点，过点E作DC⊥AB，交⊙O于点C、D，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA的大小为(　　) A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【知识点】圆周角定理、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】由题意利用sin∠CDO＝，求得∠CDO＝30°，继而可得∠DOA＝60°，然后根据圆周角定理即可求得答案． 【详解】∵点E是半径OA的中点， ∴OE＝OD， ∵CD⊥AB， ∴∠OED=90°， ∴sin∠CDO＝， ∴∠CDO＝30°， ∴∠DOA＝60°， ∴∠DFA＝∠DOA＝×60°=30°， 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角函数等，熟练掌握圆周角定理的内容是解题的关键． 9．如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、切线的性质定理、求角的正弦值 【分析】设直线x＝﹣5交x轴于，可知，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，推出当直线与相切时，的面积最小，作于，求出的值，即可解题． 【详解】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于， 由题意得， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当直线与相切时，的面积最小， 是切线，点是切点， 作于 故选：D． 【点睛】本题考查切线的性质、正切、勾股定理、正弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线的图象上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线交于点B，连接AB，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长、求角的正切值 【分析】过点分别向轴做垂线，垂足分别为，证明，根据已知条件求得，进而根据即可求得答案，注意 【详解】解：如图，过点分别向轴做垂线，垂足分别为 轴，轴 ，在中，设，则 故选C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，反比例函数的几何意义，掌握三角形相似的性质是解题的关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】1 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，将的值代入，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 12．计算 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值，结合二次根式的混合运算进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 13．（1）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝ ； （2）已知α为锐角，且cos（90°﹣α）＝，则a＝ ； （3）若tan（α+10°）＝1，则锐角a＝ ． 【答案】 30° 20° 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出即可； （2）根据特殊角的三角函数值求出90°-α的度数，即可求出答案； （3）求出tan（α+10°）=，根据特殊角的三角函数值求出α+10°=30°，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵sinA=， ∴∠A=30°， ∵∠C=90°， ∴∠B=60°， ∴cosB=． 故答案为：； （2）∵cos（90°-α）=， ∴90°-α=60°， ∴α=30°． 故答案为：30°； （3）∵tan（α+10°）=1， ∴tan（α+10°）=， ∴α+10°=30°， ∴α=20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键． 14．正六边形的边长为，面积为，那么关于的函数关系式是 ． 【答案】. 【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C；连接OA，则在直角△OAC中，∠O=30°，OC是边心距，OA即半径．再根据三角函数即可求解． 【详解】解：过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA， 在直角△OAC中，∠O=30°，OC是边心距，OA即半径 边长为a的正六边形的面积=6×边长为a的等边三角形的面积s=6××a×（a×sin60°）=． 故答案为：S＝． 考点：正多边形和圆． 15．如图，点G是正方形边上的一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，过点E作，过点G作，和交于点F，延长交于点H，连接，以和为边作矩形．记的面积为，的面积为，矩形的面积为，若，，则 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、已知正切值求边长 【分析】证明四边形是矩形，，，，，可得，证明四边形为正方形，可得，设，可得，结合，可得，，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴四边形是矩形，， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，解得：（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，灵活的运用以上知识解题是关键． 16．如图，以为圆心，半径为的圆与反比例函数的图象交于，两点，则点到轴的距离为 ，的长度为 . 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求弧长、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】作AC⊥x轴，设A的坐标是：（a，b），在直角△OAC中，利用勾股定理以及A满足反比例函数的解析式，即可得到关于a，b的方程组求得A的坐标，从而求得∠AOC的度数，进而得到∠AOB的度数，利用弧长的计算公式即可求解． 【详解】 解：作AC⊥x轴，设A的坐标是：（a，b），（其中a＞0，b＞0）， 根据题意得： ab=,a2+b2=4, 解得：a＝1,b=. 则AC=1，OC=， 在Rt△AOC中，tan∠AOC=， 则∠AOC=30°，同理，OB与y轴正半轴的夹角是30°， 则∠AOB=90°-30°-30°=30°， 则的长度是：=． 故答案为：1；. 【点睛】本题是反比例函数与三角函数、弧长的计算的综合题，正确求得圆周角的度数是关键． 17．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F．若点F是CD的中点，则tan∠BAP= ． 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】首先根据点F是CD的中点，结合正方形的性质可得出△EDF≌△PCF，则设CF=x，BP=y，从而分别表示出PF和EP，再结合垂直平分这个条件建立关于x，y的等式，通过变形整体求出的值，最后根据题意判断合理的结果即可． 【详解】∵点F是CD的中点， ∴DF=CF， 又∵∠PFC=∠EFD，∠C=∠EDF=90°， ∴△EDF≌△PCF(ASA)， ∴CP=DE，PF=EF， 设CF=x，BP=y， 则CD=2CF=2x，CP=DE=BC-BP=2x-y， ∴， ， ∵EH垂直平分AP， ∴AE=EP， 即：， 整理得：， 即：， 令，则， ∴， 解得：或， ， ∵点P在正方形ABCD的BC边上， ∴， 即：， ∴取符合题意，此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求角的正切值，涉及到全等三角形的判定与性质，以及换元法求解一元二次方程等知识点，灵活结合正方形的性质，以及整体思想建立方程并求解是解题关键． 18．如图，点P 是正方形的中心，过点P 的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形． 连接， 记和的面积分别为，设； （1）若A，B，Q 三点共线，则 （2）正方形和的面积之比为 ． （用含k 的代数式表示） 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、求角的正切值 【分析】（1）如图1，连接，，则，，证明，则，，，是等腰直角三角形，同理可得，，证明四边形是正方形，则，，设，，，由题意知，，，由这4个四边形拼成正方形，可得，则，由A，B，Q 三点共线，可得，则，即，可求，由勾股定理得，，即，可求，由勾股定理得，，，则，可求，根据，求解即可； （2）由（1）可知，，，则，即，由题意知，正方形的边长为，的边长为，根据正方形和的面积之比为，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，， ∵和将正方形分割成4个相同的四边形， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理可得，， ∴四边形是正方形， ∴，， 设，，， 由题意知，，， ∵这4个四边形拼成正方形， ∴， ∴， ∵A，B，Q 三点共线， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，，即， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，，， ∴，即， 由题意知，正方形的边长为，的边长为， ∴正方形和的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切，勾股定理是解题的关键． 三、解答题 19．计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及实数的运算，代入特殊角的三角函数值求解即可，正确记忆特殊角的三角函数值是关键． 【详解】解： ． 20．物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米． (1)请确定a，c的值． (2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求角的正切值 【分析】本题考查二次函数的应用，关键用待定系数法求出函数解析式. （1）把 代入解析式，解方程组求出，的值; （2）先根据（1）中，值求出函数解析式，再把代入解析式求出，再根据直角三角函数求出的值； 【详解】（1）解：由题意可知 ，代入函数解析式得 得 解得 ， ； （2）解：由（1）得函数解析式为 把代入， 解得 则； 21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点， 于D．若，，求公路的转弯处的长．（结果保留π） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、求弧长、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】先由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程，解得，再解直角三角形得到，则，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的长， ∴公路的转弯处的长为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，求弧长，解直角三角形，正确求出是解题的关键． 22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)画出，点C在方格纸上的格点上，的面积是3，有一个锐角的正切值为； (2)在（1）的条件下，画出矩形（字母顺序为逆时针），点F和点G都在方格纸上的格点上，矩形一组对边平行于，直接写出矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 【知识点】矩形的判定定理理解、画旋转图形、求角的正切值、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了网格线作图；涉及三角形面积、解直角三角形、矩形的判定等知识； （1）的面积是3，底，根据三角形的面积公式可知的高是2，由一个锐角的正切值为，可得点的位置； （2）由题意可知，、为矩形的对角线，且，过点、作的平行线，再过点、作、的垂线，交于、点，故矩形即为所求； 熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图所示；的面积是3，底，根据三角形的面积公式可知的高是2，由一个锐角的正切值为，可得点的位置； （2）由题意可知，、为矩形的对角线，且，过点、作的平行线，再过点、作、的垂线，交于、点，故矩形即为所求； ∴矩形的面积为： 故矩形的面积为． 23．长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； (2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【答案】(1)轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米 (2)小星下降的高度为168米 【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、已知正弦值求边长、已知余弦求边长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义和含的直角三角形性质解直角三角形，矩形的判断和性质． （1）过点B作于点G，根据余弦定义得到； （2）设与交于点H，根据含的直角三角形性质和矩形性质，得到，根据正弦定义得到，即得． 【详解】（1）如图，过点B作于点G， ∵在中，，，， ∴； ∴轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米； （2）如图，设与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中， ，，， ∴， ∴． 故小星下降的高度为168米． 24．问题提出 (1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ． 问题探究 (2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值． 问题解决 (3)如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．                【答案】（1）5；（2）18；（3）（3－9）km． 【知识点】三角函数综合、其他问题(圆的综合问题) 【详解】【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据已知条件可得△AOB是等边三角形，由此即可得半径； （2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MN即为MP的最大值，根据垂径定理求得OM的长即可求得MN的最大值； （3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂，则P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度， 根据题意正确画出图形，得到点P的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值. 【详解】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB， ∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC， ∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=5， 故答案为5；    （2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP， 显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝＝5，MN＝18， ∴PM的最大值为18；      （3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂ 由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，    如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°， ∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3， BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3， ∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3－3， ∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂， ∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂， ∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°， ∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝P´A＝3－9， 所以PE＋EF＋FP的最小值为3－9km． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键. 25．如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E在BC边上(点E不和BC的端点重合)，且BE＝BC，连接AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE． （1）求证：OF＝OG； （2）用含的代数式表示tan∠OBG的值； （3）如图2，当∠GEC＝90°时，求的值． 【答案】（1） 证明见解析；（2）；（3）． 【知识点】全等三角形的性质、根据正方形的性质与判定证明、由平行判断成比例的线段、求角的正切值 【分析】（1）由正方形的性质可得AO＝BO，AC⊥BD，由余角的性质可得∠FAO＝∠FBG，由“ASA”可证△AOF≌△BOG，可得OF＝OG； （2）根据第一问条件推导出FG∥BC∥AD，从而由平行线分线段成比例得到，通过已知条件可推断AG＝GC，设GC＝，并表示其他线段即可解决问题； （3）根据第二问结论，使OG用OC来表示，进而使GC用BC来表示，另根据BE＝BC可得EC＝BC，从而用BC表示CG，列出方程即可解决问题. 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，AO⊥BO， 由∵AE⊥BG，∴∠OAF＝∠OBG， ∴Rt△AOF≌Rt△BOG， ∴OF＝OG； （2） 连接FG， ∵OF＝OG，AC⊥BD， ∴∠OGF＝45°＝∠OCB，∴FG∥BC∥AD， ∴， ∵BE＝BC＝AD， ∴AG＝GC， 设GC＝，则AG＝，AC＝， ∴OB＝OC＝AC＝， OG＝OC－GC＝， ∴tan∠OBG＝＝； （3）解：如图， 当∠GEC＝90°时，∵∠GCE＝45°， ∴△GEC是等腰直角三角形， ∴GC＝EC， ∵tan∠OBG＝＝， ∴OG＝OB＝OC， ∴GC＝OC－OG＝OC ＝BC， 又∵BE＝BC， ∴EC＝BC－BE＝BC， ∴BC＝BC， 即：， 解得：或(舍去)， 故． 【点睛】本题四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等思想，通过题目本身条件用同一线段表示不同线段是本题的关键． 26．将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点 (I)过边上的动点 (点不与点，重合)作交于点，沿着折叠该纸片，点落在射线上的点处． ①如图，当为中点时，求点的坐标； ②连接，当为直角三角形时，求点坐标： (Ⅱ)是边上的动点(点不与点重合)，将沿所在的直线折叠，得到，连接，当取得最小值时，求点坐标(直接写出结果即可)．    【答案】（I）①；②点坐标为或；（II） 【知识点】一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题、已知正切值求边长 【分析】（I）①过点E做EH⊥OA ，交OA于点H，由D为OB中点结合DE∥OA，可得出DE为△BOA的中位线，再根据点A、B的坐标即可得出点E的坐标； ②根据折叠的性质结合角的计算可得出∠AEF=60°≠90°，分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况考虑，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出点E的坐标； （II）根据三角形的三边关系，找出当点A′在y轴上时，BA′取最小值，根据折叠的性质可得出直线OP的解析式，再根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标． 【详解】（I）过点E做EH⊥OA ，交OA于点H，    ①∵， ， ∴． ∵为中点， ∴D点的坐标为， ∴为的中位线， ∴点为线段的中点， 又∵， ∴EH为的中位线， ∴点H为线段OA的中点， ∴点H的坐标为， ∴点的坐标为． ②∵点，点， ∴，OB=3 ∴， ∴∠B=30°， 由折叠可知:． ∴， ∴． ∵是直角三角形， ∴或 （i）当时，如图1所示    ． 在中，， ∴，， ∵， ∴，． 在中， ，． ∴， ∵， ∴，． ∵． ∴点的坐标为； (ii)当时，如图2所示．    ∵， ∴， ∴． 在中， ，， ∴， ∵， ∴，． 在中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点的坐标为． 综上所述:当为直角三角形时，点坐标为或． （II）由折叠可知:， ∴，， 又∵， ∴当点在轴上时，取最小值，如图3所示．    ∵ ∴ ∴直线的解析式为 设直线的解析式为， 将、代入中， ，解得：， ∴直线的解忻式为． 联立直线、的解析式成方程组， ，解得：， ∴．当取得最小值时，点坐标为． 【点睛】本题考查了三角形的中位线、待定系数法求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、勾股定理以及折叠的性质，解题的关键是：（I）①找出DE为△BOA的中位线；②分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况求点E的坐标；（II）根据三角形三边关系找出BA′取得最小值点A′的位置. 学科网（北京）股份有限公司 $$