第07讲 确定圆的条件 （3个知识点+9种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第07讲 确定圆的条件 （3个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点2．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点3．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型强化 题型一、判断确定圆的条件 1．（2023·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系内的三个点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 3．（2024·广东广州·一模）矩形中，，． (1)如图1，矩形的对角线，相交于点O． ①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上； ②在的劣弧上取一点E，使得，连接，求的面积． (2)如图2，点P是该矩形的边上一动点，若四边形与四边形关于直线对称，连接，，求面积的最小值． 题型二、求能确定的圆的个数 4．（2022九年级下·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 5．（九年级下·全国·单元测试）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 6．（20-21九年级下·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 题型三、三角形外接圆的概念辨析 7．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，点是边长为6的等边三角形内部一动点，连接，，，且满足，为的中点，过点作，垂足为，连接，则长的最小值是（　　）    A． B．2 C． D．3 8．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，连接，且，求四边形面积的最大值．小明过点作，交的延长线于点，连接，则的正弦值为 ，据此可得四边形的面积最大值为 ． 9．（2024·广东中山·模拟预测）已知抛物线，经过平面直角坐标系中的A、B、C三点，，，． (1)如图1，外接圆记作，则 度； (2)如图2，连接，点P是位于上方的抛物线的一动点，过P作x轴的垂线交于点E，交x轴于F点，当时，求P点的坐标； (3)如图，过M作于点N，是否存在P点，使得？若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 题型四、已知外心的位置判断三角形的形状 10．（2023九年级下·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 11．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 12．（2022·河北邯郸·二模）如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 题型五、确定圆心(尺规作图) 13．（2022·河北邯郸·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 14．（20-21九年级下·全国·课后作业）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是 15．（24-25九年级下·全国·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． (2)①在损矩形内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；如果没有，请说明理由． ②如图，直接写出符合损矩形的两个结论（不能再添加任何线段或点）． 题型六、判断三角形外接圆的圆心位置 16．（22-23九年级下·江西南昌·期末）如图，在中，是斜边上的中线，以为圆心，为半径画圆，则下列各点中，在内的是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点O 17．（2022·北京·一模）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ；    18．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 如图，正方形的边长为4，将绕点B逆时针旋转，旋转角等于α（），连接，，，过点A作，垂足为点G，连接． 【知识回顾】 （1）①________（用α的代数式表示） ②求的度数；=_________； 【性质探索】 （2）当时，求证：点G是的外心 ； （3）在旋转过程中，的值是否发生变化，若不发生变化，求出这个比值；若发生变化，说明理由． 【拓展延伸】 （4）①四边形面积的最大值． ②=________． 题型七、求三角形外心坐标 19．（20-21九年级下·湖北恩施·期中）已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（   ）． A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1) 20．（2021·广东广州·一模）如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ． 21．（2022·广东广州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点C（4，5）． (1)判断点C（4，5）是否在抛物线上； (2)直线AC与抛物线的对称轴交于点D，连接BC，BD． ①若，求抛物线的解析式； ②将直线AC沿x轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为E，F是线段AE上的一点，且EF=3AF．P是△ABC的外心，设过点P，F的直线l与x轴的夹角为α（0°<α<90°）．试判断α的大小是否发生变化，若不变，请求出tan α值；若发生变化，请说明理由． 题型八、求特殊三角形外接圆的半径 22．（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 23．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的半径为 ． 24．（23-24九年级下·四川成都·期中）如图①，点D为上方一动点，且． (1)在左侧构造，连接，请证明； (2)如图②，在左侧构造，在右侧构造，连接求证：四边形是平行四边形； (3)如图③，当满足，，．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形； （Ⅰ）求证：四边形是矩形； （Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段的最大值． 题型九、画圆(尺规作图) 25．（2020·河北邯郸·一模）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、； ③以点为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点； 正确的操作步骤是（ ）    A．②①③④ B．②①④③ C．①②④③ D．①④②③ 26．（全国·单元测试）到定点的距离为的点的轨迹是 ． 27．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 分层练习 一、单选题 1．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列命题正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．相等的圆心角所对的弧相等 3．平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为(   ) A．1个或3个 B．3个或4个 C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　） A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定 5．在中，点是的外心，则点（    ） A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等 C．是三条高线的交点 D．是三条角平分线的交点 6．下列命题中，正确的个数是（    ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，，，过点的圆的圆心在边上，点是优弧（不与点重合）上的一点，则（  ）    A． B． C． D． 8．下列说法： （1）所有的黄金矩形都相似； （2）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； （3）方程2x（x-1）=x-1的解为x=； （4）平面内任意3个点确定一个圆 其中正确的说法的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，为边长为的菱形的对角线，，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿向终点C和A运动，连接和，求面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 二、填空题 11．一个圆的面积为2π cm2，则它的周长为 cm(用含π的式子表示) 12．直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为 ． 13．如图，若点O为的外心，，则 ，若，则 . 14．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且使D点不会在⊙A外，点B不会在⊙A内，则⊙A半径r的可能整数值为 ． 15．平面内到点A的距离等于5cm的点的轨迹是 ． 16．如图，在中，，，，为斜边上的两个点，且，，则的外接圆的半径是 ． 17．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其做法是： （1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C； （2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D； （3）连接BD、BC． 下列说法正确的是： （把所有正确的序号都写出来） ①∠CBD＝30°； ②S△BDC＝AB2；③点C是的外心；④sin2A+cos2D＝1 18．如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转90°得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②为的外心；③；④．其中正确结论的序号是 ． 三、解答题 19．如图，在下列（边长为1）的网格中，已知的三个顶点，，在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个点，并写出点的坐标． （1）经过，，三点有一条抛物线，请在图1中描出点，使点落在格点上，同时也落在这条抛物线上；则点的坐标为______； （2）经过，，三点有一个圆，请用无刻度的直尺在图2中画出圆心；则点的坐标为______． 20．已知△ABC，请按以下要求完成本题： （1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．    21．【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连接AB、AC． (1)在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由． (2)若BC＝2，求弦AC的最大值． (3)【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 　 　． 22．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 23．某班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表： 观察表格：根据表格解答下列问题： 0 1 2 1 -3 -3 （1）__________._____________.___________. （2）在下图的直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象，直接写出当取什么实数时，不等式成立； （3）该图象与轴两交点从左到右依次分别为、，与轴交点为，求过这三个点的外接圆的半径. 24．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） (1)如图①，已知在中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图②，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积； (3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形． 25．（1）如图1，在四边形中，，对角线，若，求的长． （2）陕北羊肉在全国远近闻名，某养殖场准备在以，为围档的旧农场中，建设一个新的山羊养殖基地，如图2，六边形为新养殖基地的鸟瞰图，点A位于点B的正北方，已知米，，且点C位于点B的东边，设计要求将点B，E分别设为入口，点E位于点C的正北方向，点A的正东方向，．根据设计要求，求六边形的面积的最小值及此时的长． 26．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，AC′并延长交直线DE于点P，过点D，B分别作DF⊥AP于F，BK⊥AP于K． （1）求∠FDP的度数 （2）连接BP，试证明BP＝AF． （3）连接BC，若正方形ABCD的边长是，请直接写出△BCP面积的最大值 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 确定圆的条件 （3个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点2．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点3．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型强化 题型一、判断确定圆的条件 1．（2023·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、判断确定圆的条件 【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选A． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键． 2．（2023九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系内的三个点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【知识点】判断确定圆的条件、坐标与图形 【分析】判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 【点睛】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．（2024·广东广州·一模）矩形中，，． (1)如图1，矩形的对角线，相交于点O． ①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上； ②在的劣弧上取一点E，使得，连接，求的面积． (2)如图2，点P是该矩形的边上一动点，若四边形与四边形关于直线对称，连接，，求面积的最小值． 【答案】(1)①见解析；② (2)8 【知识点】解直角三角形的相关计算、判断确定圆的条件、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）①根据矩形的性质，得到，得到点A，B，C在以O为圆心，为半径的圆上，根据矩形的性质，得，判定点D在以O为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆； ②过点E作在于点D，根据，得到，结合，，得到，设，则，利用勾股定理计算x，利用面积公式解答即可． （2）根据折叠的性质，得到，根据，得到，当点C，D，H三点共线时，最小，此时面积的为，最小． 【详解】（1）①∵矩形， ∴，， ∴点A，B，C在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点D在以O为圆心的同一个圆上， 故A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上； ②如图，过点E作在于点D， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得（舍去）， ∴的面积． （2）根据折叠的性质，得到， ∵， ∴， ∴当点C，D，H三点共线时，最小， 此时面积的为，最小． 【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键． 题型二、求能确定的圆的个数 4．（2022九年级下·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 5．（九年级下·全国·单元测试）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 【答案】3 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线． 6．（20-21九年级下·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【知识点】确定圆心(尺规作图)、求能确定的圆的个数 【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 题型三、三角形外接圆的概念辨析 7．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，点是边长为6的等边三角形内部一动点，连接，，，且满足，为的中点，过点作，垂足为，连接，则长的最小值是（　　）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、 三角形外接圆的概念辨析、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据已知得出，则点在的外接圆的上运动，当时，有最小值，延长与交于点，勾股定理求得的长，进而求得的最小值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点在的外接圆的上运动， 当时，有最小值，延长与交于点， ∴， ∴ ∵，为的中点， ∴，    故选：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题． 8．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，连接，且，求四边形面积的最大值．小明过点作，交的延长线于点，连接，则的正弦值为 ，据此可得四边形的面积最大值为 ． 【答案】 / 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、 三角形外接圆的概念辨析、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，外接圆，四边形面积的计算．根据题意可知：，，为等边三角形，根据平行线的性质可得，即可求出，即可根据得出答案；先推出，可得，由，结合勾股定理可得的值，作的外接圆，过点作，连接，，设半径为，延长交于点，可知，当与重合时，最大，求解即可得出答案． 【详解】，， ∴， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， ∴设，， ∴， ； 如图∵， ， 边上的高）， 求最大值，即求面积最大，为定值，则当边上高最长时即为所求， 可作的外接圆，过点作，连接，，设半径为，延长交于点， 与是同弧所对的圆心角、圆周角， ， ，， ，， ∵， ， ， ， ∴， 当与重合时，最大， ． 故答案为：． 9．（2024·广东中山·模拟预测）已知抛物线，经过平面直角坐标系中的A、B、C三点，，，． (1)如图1，外接圆记作，则 度； (2)如图2，连接，点P是位于上方的抛物线的一动点，过P作x轴的垂线交于点E，交x轴于F点，当时，求P点的坐标； (3)如图，过M作于点N，是否存在P点，使得？若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3)存在，点P的横坐标为和 【知识点】坐标与图形、 三角形外接圆的概念辨析、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）由点、的坐标知，，则，即可求解； （2）首先求出抛物线解析式为，直线解析式为，设，则，过作于点，然后表示出，，即可求解； （3）表示出，，则，即可求解． 【详解】（1）由点、的坐标知，， 则， ， 则， 故答案为：45； （2）设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线解析式为， 由点、的坐标得，直线解析式为， 设，则， ， ，，轴， ，，， 过作于点， 则， ， 则，， ，即， 解得：， 则点； （3）点， ，， 则， 解得， 点的横坐标为和． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到圆的基本性质、面积的计算、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 题型四、已知外心的位置判断三角形的形状 10．（2023九年级下·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 11．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 12．（2022·河北邯郸·二模）如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证； （2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可； ②根据锐角三角形外心的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②． ∵的外心在其内部， ∴为锐角三角形， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键． 题型五、确定圆心(尺规作图) 13．（2022·河北邯郸·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 14．（20-21九年级下·全国·课后作业）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是 【答案】（﹣2，﹣1） 【知识点】坐标与图形、确定圆心(尺规作图) 【分析】根据外心的定义作图即可． 【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O， 则点O即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键． 15．（24-25九年级下·全国·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． (2)①在损矩形内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；如果没有，请说明理由． ②如图，直接写出符合损矩形的两个结论（不能再添加任何线段或点）． 【答案】(1) (2)①在损矩形内存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，O是线段的中点．②四边形是圆内接四边形；． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、圆周角定理、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查的是新定义的含义，圆的内接四边形的性质； （1）根据新定义的含义可得答案； （2）①如图，取的中点，连接，，证明即可，②根据圆的内接四边形可得其性质． 【详解】（1）解：根据定义可得： 在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段； （2）解：①如图，取的中点，连接，， ∵， ∴， ∴在损矩形内存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，O是线段的中点． ②性质1：四边形是圆内接四边形； 性质2：． 题型六、判断三角形外接圆的圆心位置 16．（22-23九年级下·江西南昌·期末）如图，在中，是斜边上的中线，以为圆心，为半径画圆，则下列各点中，在内的是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点O 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：因为三角形是直角三角形 又是斜边上的中线 故三点均在上，只有点在内 故选：D 【点睛】本题考查直角三角形的“斜中半”定理．掌握定理结论是解题关键． 17．（2022·北京·一模）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ；    【答案】 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、坐标与图形 【分析】先根据点A的坐标建立坐标系，再根据圆心一定是线段和线段垂直平分线的交点进行画图求解即可． 【详解】解：如图所示，建立坐标系， 由图可知该圆弧所在圆的圆心坐标是， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，确定圆心的位置，熟知圆心一定在圆中弦的垂直平分线上是解题的关键． 18．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 如图，正方形的边长为4，将绕点B逆时针旋转，旋转角等于α（），连接，，，过点A作，垂足为点G，连接． 【知识回顾】 （1）①________（用α的代数式表示） ②求的度数；=_________； 【性质探索】 （2）当时，求证：点G是的外心 ； （3）在旋转过程中，的值是否发生变化，若不发生变化，求出这个比值；若发生变化，说明理由． 【拓展延伸】 （4）①四边形面积的最大值． ②=________． 【答案】（1）①，②，，（2）见详解，（3）不变，，（4）①16 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据旋转，可得，，结合三角形内角和定理可得，问题可作答，②利用，再根据，可作答； （2）结合（1）的结论，先求出，再证明，进而可得，则有，问题得证； （3）证明，即可作答； （4）①连接，交交于点O，根据，可得，则点G在以O为圆心，为半径的圆上，根据，可得当的面积最大时，的面积也就最大，显然当点G与点B重合，即旋转角时，的面积最大，问题随之得解；②过点B作于N点，根据点G在以O为圆心，为半径的圆上，且，可得，可得是等腰直角三角形，即有，再根据是等腰直角三角形，可得，即可得，根据，可得，问题即可得解． 【详解】解：（1）①∵正方形， ∴，， ∵旋转， ∴，， ∴，， ∴， ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，②，； （2）在（1）中，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据旋转：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G是的外心； （3）不变，，理由如下： 如图， 在（1）中，已求出， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）①连接，交交于点O，如图， ∵， ∴， 在正方形中，， 即， 则点G在以O为圆心，为半径的圆上，如图， ∵，， ∴当的面积最大时，的面积也就最大， 显然当点G与点B重合，即旋转角时，的面积最大， 当点G与点B重合，则有， ∴， ∴的面积的最大值为16； ②过点B作于N点，如图， ∵点G在以O为圆心，为半径的圆上，且， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据旋转有：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理以及旋转的性质等知识，难题的难点是确定题中的隐圆，判断出点G、点E的轨迹，是解答本题的关键． 题型七、求三角形外心坐标 19．（20-21九年级下·湖北恩施·期中）已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（   ）． A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1) 【答案】A 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】利用坐标系结合网格得出线段AB以及线段BC的垂直平分线交点，即为△ABC对应的圆心． 【详解】解：如图所示：△ABC对应的圆心坐标是（2，0）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了垂径定理推论以及三角形外接圆圆心位置确定方法，正确掌握三角形外接圆作法是解题关键． 20．（2021·广东广州·一模）如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】先根据点的坐标可得是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点即可得． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 则外接圆的圆心坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点是解题关键． 21．（2022·广东广州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点C（4，5）． (1)判断点C（4，5）是否在抛物线上； (2)直线AC与抛物线的对称轴交于点D，连接BC，BD． ①若，求抛物线的解析式； ②将直线AC沿x轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为E，F是线段AE上的一点，且EF=3AF．P是△ABC的外心，设过点P，F的直线l与x轴的夹角为α（0°<α<90°）．试判断α的大小是否发生变化，若不变，请求出tan α值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)在 (2)①；②α的大小不发生变化， 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求三角形外心坐标、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）直接把C的坐标代入解析式进行检验即可； （2）①先求解抛物线与x轴的两个交点坐标，再求解AC的解析式，表示出D的坐标，再利用面积公式列方程，再解方程即可；②如图，过作轴于 过作轴于 先求解三角形的外心的坐标 再求解的解析式为 求解 再利用相似三角形的性质求解F的坐标，设为 求解PF的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线， 在抛物线上． （2）解：①令 则 解得： 设为 解得： 所以AC为 抛物线的对称轴为： 整理得： 解得： 经检验：不符合题意， 所以 所以抛物线为： ②如图，过作轴于 过作轴于 为的外心， 分别为的垂直平分线，而为抛物线的对称轴， 为 为： 则 设 设为 解得： 所以直线为： 为的中点， 解得： 所以直线为： 即 关于轴对称， 为 解得： 则 代入直线 即 设为 解得： 所以为 当时， 而 所以 综上：的大小不变，且 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，三角形外接圆的圆心的坐标的确定，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度较大，对学生的要求高，特别是对计算能力的要求高，细心是解题的关键． 题型八、求特殊三角形外接圆的半径 22．（2023九年级·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ， ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 23．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、两点间的距离公式，假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为，设点，由三角形外接圆的性质得，得出，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为， 设点， 由图可得：，， 由三角形外接圆的性质得， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径为， 故答案为：． 24．（23-24九年级下·四川成都·期中）如图①，点D为上方一动点，且． (1)在左侧构造，连接，请证明； (2)如图②，在左侧构造，在右侧构造，连接求证：四边形是平行四边形； (3)如图③，当满足，，．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形； （Ⅰ）求证：四边形是矩形； （Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、求特殊三角形外接圆的半径、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意得，，进而可得，即可求证； （2）分别证、，即可求证； （3）（Ⅰ）由（1）（2）可得，即可推出，即可求证；（Ⅱ）作的外接圆，圆心为O，可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， （2）证明：由（1） ∵， ∴，， ∴， 由（1）同理可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：（Ⅰ）由（1）（2）可得 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形 （Ⅱ），理由如下： 由（Ⅰ）得 作的外接圆，圆心为O ∵ ∴ ∴圆心O为定点，且半径 ∴ 求得 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形以及矩形的判定、三角形与圆的综合问题，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 题型九、画圆(尺规作图) 25．（2020·河北邯郸·一模）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、； ③以点为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点； 正确的操作步骤是（ ）    A．②①③④ B．②①④③ C．①②④③ D．①④②③ 【答案】B 【知识点】画圆(尺规作图) 【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆， ∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴正确的操作步骤是②①④③ 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点． 26．（全国·单元测试）到定点的距离为的点的轨迹是 ． 【答案】以点为圆心，为半径的圆 【知识点】画圆(尺规作图) 【分析】根据到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，据此即可解答． 【详解】到定点A的距离为9cm的点的轨迹是：以A为圆心，以9cm为半径的圆． 故答案是：以A为圆心，以9cm为半径的圆． 【点睛】此题考查点的轨迹，正确理解圆的定义是解题关键． 27．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、画圆(尺规作图)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可； （2）连接，设的交点为D，得到，根据的半径为，是直径，是等边三角形，计算即可． 本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键． 【详解】（1）根据基本作图的步骤，作图如下： 则点A，B，C是求作的的圆周三等分点． （2）连接，设的交点为D， 根据垂径定理得到， ∵的半径为，是直径，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 分层练习 一、单选题 1．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、判断三边能否构成直角三角形 【分析】由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，由直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形，10是斜边长， 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点， 三角形外接圆的半径斜边的一半， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半是解决问题的关键． 2．下列命题正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【知识点】判断确定圆的条件、 三角形外接圆的概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解、垂径定理的推论 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故错误，不合题意； B、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故正确，符合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误，不合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，三角形的外心，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 3．平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为(   ) A．1个或3个 B．3个或4个 C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个 【答案】C 【详解】试题分析：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑． （1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆； （2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆； （3）当四个点共圆时，只能确定一个圆． 故选C． 考点：确定圆的条件 点评：分类讨论问题是初中数学的重点也是难点，在中考压轴题中极为常见，一般难度较大，需特别注意. 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　） A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点． 【详解】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点， ∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 5．在中，点是的外心，则点（    ） A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等 C．是三条高线的交点 D．是三条角平分线的交点 【答案】B 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查三角形的外心，理解三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是解决问题的关键． 【详解】解：∵点是的外心， ∴点是的三条边的垂直平分线的交点， 即：点到的三个顶点距离相等， 故选：B． 6．下列命题中，正确的个数是（    ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断确定圆的条件、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、 求圆弧的度数 【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义分别判断即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； （2）等弧所对的圆周角相等，故正确； （3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （4）直径所对的圆周角是直角，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义，属于基础知识，要熟悉课本中的性质定理． 7．如图，在中，，，过点的圆的圆心在边上，点是优弧（不与点重合）上的一点，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定圆心(尺规作图)、圆周角定理、利用垂径定理求解其他问题 【分析】根据垂径定理找出圆心，再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求出答案． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接， 为等腰三角形， ， ， ， 则． 故选：B．    【点睛】本题考查了圆的垂径定理性质及圆周角定理的知识点，根据圆的垂径定理性质确定圆心是解题的关键，本题容易误认为B点就是圆心，解题时要注意． 8．下列说法： （1）所有的黄金矩形都相似； （2）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； （3）方程2x（x-1）=x-1的解为x=； （4）平面内任意3个点确定一个圆 其中正确的说法的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】圆 【详解】试题分析：根据黄金矩形的定义可知：所有的黄金矩形都相似，所以（1）正确；因为在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧可能是优弧，也可能是劣弧，所以（2）不一定正确；2x（x-1）=x-1，2x（x-1）-（x-1）=0，所以（x-1）（2x-1）=0，所以x=1或x=，所以（3）错误；因为不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以（4）错误；故选A． 考点：相似多边形、圆的性质、一元二次方程的解、确定圆的条件． 9．如图，为边长为的菱形的对角线，，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿向终点C和A运动，连接和，求面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正切值求边长、确定圆心(尺规作图)、利用垂径定理求值、利用菱形的性质求线段长 【分析】由题意易得，易证△ABM≌△BCN，则有，进而可得，然后可知点P的运动轨迹是一个圆弧，则当为等腰三角形时，的面积最大，进而问题可求解． 【详解】解：由M，N点的速度相同可知， ∵四边形是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°， ∴（SAS）， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵为定长，， ∴点P的运动轨迹为一个圆弧，在上运动，圆心Q的位置为AB、BP的垂直平分线的交点，点P在以Q为圆心QB为半径的圆上，由优弧AB的圆周角为120°可得劣弧AB所对的圆心角度数为120°，过点Q作QH⊥AB，交AB于点E，于点H，连接BQ，如图所示： ∴当点P与点H重合时，此时△ABP的面积为最大， 又∵，∠APB=120°， ∴，∠BQE=60°， ∴， ∴EH=1， ∴边上的高为1， ∴的面积最大值为； 故选D． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质及三角函数，熟练掌握圆的基本性质及三角函数是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、的垂直平分线，其交点即为点，进而求得圆的半径，从而求得原点到上一点的最短距离． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ， 点， ， 则原点到上一点的最短距离为：， 故选：A． 二、填空题 11．一个圆的面积为2π cm2，则它的周长为 cm(用含π的式子表示) 【答案】2π 【分析】首先根据圆的面积公式，求出圆的半径是多少；然后根据圆的周长公式，求出这个圆的周长为多少即可． 【详解】解：设圆的半径是rcm， 则πr2=2π， 解得r=， 所以它的周长为： ． 故答案为2π 【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 12．直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为 ． 【答案】cm 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】利用勾股定理解得直角三角形的斜边，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，得出其外接圆的半径． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm， 直角三角形的斜边为： cm， 这个直角三角形的外接圆半径为： cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13．如图，若点O为的外心，，则 ，若，则 . 【答案】 【分析】已知点O是△ABC的外心，那么∠A、∠BOC即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOC的度数． 【详解】解：由于点O是△ABC的外心，所以在△ABC的外接圆⊙O中， ∠A、∠BOC同对着弧BC； 由圆周角定理得：，则2∠A=140°， 若，则． 故答案为140°，． 【点睛】本题考查三角形外心的有关知识以及圆周角定理的相关知识，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 14．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且使D点不会在⊙A外，点B不会在⊙A内，则⊙A半径r的可能整数值为 ． 【答案】7． 【详解】试题分析：根据矩形的性质可得，AB=CD=8，AD=BC=6，又因点D在⊙A内，点B在⊙A外，所以6＜r＜8，即可得⊙A半径r的整数值为7． 考点：矩形的性质；点和圆的位置关系． 15．平面内到点A的距离等于5cm的点的轨迹是 ． 【答案】以A为圆心5cm为半径的圆 【知识点】判断确定圆的条件 【分析】根据圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的所有点的集合,即可解题. 【详解】解：由圆的定义可知, 平面内到点A的距离等于5cm的点的轨迹是以A为圆心5cm为半径的圆. 【点睛】本题考查了圆的定义,属于简单题,熟悉圆的概念是解题关键. 16．如图，在中，，，，为斜边上的两个点，且，，则的外接圆的半径是 ． 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】设∠DCE=x，∠ACD=y，根据等腰三角形的性质求出∠ACE、∠BDC，根据三角形内角和定理求出∠DCE=45°，根据三角形的外接圆和外心的概念求出答案． 【详解】 设∠DCE=x,∠ACD=y,则∠ACE=x+y,∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y， ∵AE=AC， ∴∠ACE=∠AEC=x+y， ∵BD=BC， ∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−x−y+x=90°−y， 在△DCE中,∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°， ∴x+(90°−y)+(x+y)=180°， 解得x=45°， ∴∠DCE=45°， ∵AC=6，BC=8， ∴AB= =10， ∵AE=AC=6，BD=BC=8， ∴DE=4,又∠DCE=45°, 如图，作直径CH，连接HE， ∴∠CEH=90°,又∠CHE=∠DCE=45°，CE=4， ∴CH=4， 即△DCE的外接圆的直径4， ∴△DCE的外接圆的半径为2. 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形的外接圆与外心的性质. 17．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其做法是： （1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C； （2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D； （3）连接BD、BC． 下列说法正确的是： （把所有正确的序号都写出来） ①∠CBD＝30°； ②S△BDC＝AB2；③点C是的外心；④sin2A+cos2D＝1 【答案】①②③ 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三角形外接圆的圆心位置、互余两角三角函数的关系 【分析】①根据尺规作图的过程即可得结论； ②根据①和勾股定理即可得结论； ③根据直角三角形的外接圆的性质即可得结论； ④根据锐角三角函数即可得结论． 【详解】解：①根据题意的作图过程，可知 是等边三角形，∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝30°． 故①正确． ②∵∠ABD＝90°，∠CBD＝30°． ∴2AB＝AD， 根据勾股定理，得 ∵BC是的中线， ∴S△ABC＝S△BCD＝ 故②正确． ③∵点C是直角三角形ABD斜边AD的中点， ∴点C是的外心． 故③正确． ④在Rt中， ∴sin2A+cos2D＝≠1． 故④不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了尺规作图、三角形的外接圆、直角三角形、勾股定理、三角形的面积、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识． 18．如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转90°得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②为的外心；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【知识点】解直角三角形的相关计算、 三角形外接圆的概念辨析、根据正方形的性质与判定证明、全等三角形综合问题 【分析】由旋转的性质得，可得； ①由正方形的性质得，即，进而可得； ②可知，进而可得，，即点为直角三角形斜边的中点，为的外心； ③先证明，可得，根据进而可得； ④先证明，可得，即，故可求解． 【详解】解：①由正方形的性质得， 平分， ， ，， ，故①正确； ②， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角三角形， ∴为的外心；故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④， ， ， ， ， ，故④错误， 综上，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大，灵活运用这些知识解题是关键． 三、解答题 19．如图，在下列（边长为1）的网格中，已知的三个顶点，，在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个点，并写出点的坐标． （1）经过，，三点有一条抛物线，请在图1中描出点，使点落在格点上，同时也落在这条抛物线上；则点的坐标为______； （2）经过，，三点有一个圆，请用无刻度的直尺在图2中画出圆心；则点的坐标为______． 【答案】（1） ；（2）答案见解析，． 【知识点】无刻度直尺作图、判断三角形外接圆的圆心位置、线段垂直平分线的性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的对称性、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得抛物线的对称轴在的中垂线上，点D、A是抛物线是关于对称轴对称的两点，即可求解； （2）由题意得点是三边垂直平分线的交点，作出的垂直平分线即可求解． 【详解】解：（1）由图可得：， 由题意得，抛物线的对称轴在的中垂线上， 即：对称轴为直线， ∵使点落在格点上，同时也落在这条抛物线上 ∴点D、A是抛物线上关于对称轴对称的两点， ∴点D， 故答案为：； （2）由题意得：点是三边垂直平分线的交点， 如图所示，点即为所求： 则， 故答案为： 20．已知△ABC，请按以下要求完成本题： （1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．    【答案】（1）见解析；（2）60° 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】（1）分别作出AB与AC的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O即可； （2）连接BD．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC． 【详解】解：（1）如图所示：    （2）连接BD． ∵AD是直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°， 又∵∠D=∠ACB=40°， ∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键． 21．【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连接AB、AC． (1)在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由． (2)若BC＝2，求弦AC的最大值． (3)【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 　 　． 【答案】(1)不变，45°，理由见详解 (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、求特殊三角形外接圆的半径、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可说明； （2）AC的最大值为直径，有直角三角形OBC求出半径OC的长度即可； （3）与第（2）问类似，MN为的中位线，AC最大时，可知MN最大，作的外接圆，AC最大值为直径，因此求出的外接圆的半径即可． 【详解】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下： ∵，∠BOC＝90°， ∴； （2）当AC为⊙O的直径时，AC最大， 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°， 根据勾股定理，得， ∵OB＝OC， ∴， ∴， 即AC的最大值为； （3）如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON， 则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2， ∴OB＝， ∵M、N分别是AB、BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN＝AC， ∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝， ∴MN最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的相关知识，有等弧或同弧的圆周角等于圆心角的一半，有动点问题，有直角三角形求直角边，也有普通三角形求外接圆的半径，熟练掌握同弧或等弧中的圆周角与圆心角的关系是解本题的关键． 22．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【知识点】确定圆心(尺规作图)、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图： （1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米． 【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 23．某班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表： 观察表格：根据表格解答下列问题： 0 1 2 1 -3 -3 （1）__________._____________.___________. （2）在下图的直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象，直接写出当取什么实数时，不等式成立； （3）该图象与轴两交点从左到右依次分别为、，与轴交点为，求过这三个点的外接圆的半径. 【答案】（1），，；（2）或；（3） 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、根据交点确定不等式的解集 【分析】(1)直接将(1，1)代入求出a即可，进而将x=2代入求出y，再分别将(0, -3) ，(2， -3)代入求出b，c的值; (2)再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集. (3)根据题意求得外接圆的圆心的坐标为(1，1)，进而求得圆的半径,即可求得圆的面积. 【详解】解：(1)∵过(1,1) ∴ 当x=2时， ∵过，，， ∴ 解得 故答案为，，； （2）如图所示： 当或时，. （3）由（2）可知,则作、 的垂直平分线的交点, ∴外接圆的半径， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、抛物线与轴交点、三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 24．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） (1)如图①，已知在中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图②，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积； (3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形． 【答案】(1)三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 (2)在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 (3)见解析 【知识点】已知正切值求边长、画圆(尺规作图)、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识： （1）先求出的值，即可求出的面积； （2）先找出感应灯B亮的区域，然后求出面积； （3）分别以直径画圆，围成区域即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的面积为：， ∴该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为； （2）解：在中，，为边上的高， ∴，即垂直平分， ∴上任意一点到点B与点C的距离都相等， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 作的垂直平分线，交于点E，如图： 则上任一点到点A与点B的距离都相等，， ∴由题意可知：在该三角形内能使感应灯B亮的区域是四边形， 在中，， ∴， ∴ ， ∴在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为． （3）觖：分别以为直径画圆，围成区域（实线所围区域）即为所求． 25．（1）如图1，在四边形中，，对角线，若，求的长． （2）陕北羊肉在全国远近闻名，某养殖场准备在以，为围档的旧农场中，建设一个新的山羊养殖基地，如图2，六边形为新养殖基地的鸟瞰图，点A位于点B的正北方，已知米，，且点C位于点B的东边，设计要求将点B，E分别设为入口，点E位于点C的正北方向，点A的正东方向，．根据设计要求，求六边形的面积的最小值及此时的长． 【答案】（1）；（2）当为米时，六边形的面积的最小值为平方米 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质与判定求线段长、判断三角形外接圆的圆心位置、根据旋转的性质求解 【分析】（1）将绕点按顺时针方向旋转得到．先证明三点共线，再根据勾股定理求出，得出，即可得出的值； （2）连接，．证明四边形为正方形，得出，将绕点按逆时针方向旋转得到，点对应点为，点对应点为．由旋转性质，得，，．求出，将绕点按顺时针方向旋转得到，点对应点为．由旋转性质，得，，，连接，得到等边，作的外接，圆心为点，半径为20米，过点作，垂足为，连接，根据，得出当与重合时，存在最大值，最大值为20米，然后求出结果即可． 【详解】解：（1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到． ， ， ， 三点共线， 由旋转性质，可得，， 在中，， ， ， ． （2）如图2，连接，． ∵点E位于点C的正北方向，点A的正东方向， ∴，， ∵ ∴四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ． 将绕点按逆时针方向旋转得到，点对应点为，点对应点为． 由旋转性质，得，，． ， ， ， ， 又， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到，点对应点为． 由旋转性质，得，，， ，， 连接，得到等边，米， 作的外接，圆心为点，半径为20米，过点作，垂足为，连接， ∵米， ∴， ∴米， ， ， 当与重合时，存在最大值，最大值为20米， 此时为等腰直角三角形，米， 的最小值为平方米，平方米， 当为米时，六边形的面积的最小值为平方米． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外接圆，等边三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，AC′并延长交直线DE于点P，过点D，B分别作DF⊥AP于F，BK⊥AP于K． （1）求∠FDP的度数 （2）连接BP，试证明BP＝AF． （3）连接BC，若正方形ABCD的边长是，请直接写出△BCP面积的最大值 ． 【答案】（1）45°；（2）见解析；（3） 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、四边形中的线段最值问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明∠CDE=∠C'DE和∠ADF=∠C'DF，可得∠FDP'=∠ADC=45°； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP=DP'，可得DP+BP=PP′=AP，可得结论； （3）作正方形的外接圆，圆心为O，说明点P在圆O上，根据BC不变可得当点P距离BC最大时，△BPC的面积最大，连接OP，与BC交于点Q，求出PQ的长即可解决问题． 【详解】解：（1）由对称得：CD=C'D，∠CDE=∠C'DE， 在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°， ∴AD=C'D， ∵F是AC'的中点， ∴DF⊥AC'，∠ADF=∠C'DF， ∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'=∠ADC=45°； （2）如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'， ∴∠PAP'=90°， 在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90°， ∴∠DAP'=∠BAP， 由（1）可知：∠FDP=45°， ∵∠DFP=90°， ∴∠APD=45°， ∴∠P'=45°， ∴AP=AP'，DP=PF， 在△BAP和△DAP'中， ， ∴△BAP≌△DAP'（SAS）， ∴BP=DP'， ∴DP+BP=PP′=AP， ∴DP+BP=PF+BP=AP， ∴BP=（AP-PF）=AF； （3）作正方形的外接圆，圆心为O， 由（2）得：∠APD=45°，又∠AOD=90°， ∴点P在圆O上， 在△BPC中，BC=， ∴当点P距离BC最大时，△PBC的面积最大， 连接OP，与BC交于点Q， 则当点P位于弧BC的中点时，点P到BC的距离PQ最大， ∵OC=AC=， ∴OP=OC=1， 而OQ=， ∴PQ=OP-OQ=， 此时△BPC的面积为=． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和辅助圆解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$