第2章 一元二次方程（单元测试B卷）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第2章 《一元二次方程》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）在下列式子中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+x B．x2﹣5＝﹣x C．x2﹣6xy+8＝0 D． 2．（3分）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+8）2＝57 4．（3分）若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣4＝0的解，则多项式2024﹣4a﹣2b的值是（　　） A．1010 B．1014 C．2020 D．2028 5．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根，则此直角三角形的面积为（　　） A．2 B．3 C． D．6 6．（3分）关于x的方程2x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1，x2，式子的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 8．（3分）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220 C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220 9．（3分）若实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．5或﹣1 B．5 C．1或﹣5 D．1 10．（3分）如图，某学校计划用26m的围栏靠墙围成一个面积为80m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　） A．10m或5m B．8m C．10m D．5m 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）如果关于x的方程（k﹣1）x|k+1|﹣2x+1＝0是一元二次方程，则常数k的值是 　 　． 12．（3分）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众51.66万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为 　 　． 13．（3分）已知x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则 　 　． 14．（3分）已知关于x的方程ax2+bx+1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0的两根分别是 　 　． 15．（3分）小明为班级围建一个矩形蔬菜园ABCD，其中一边AD靠墙EF，墙可利用的最大长度为10m，篱笆长为24m，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为36m2时，BC的长为 　 　m； （2）记BC＝a m，若围成面积比36m2大的菜园，则a的范围为 　 　． 16．（3分）如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D从B点开始沿BC向B点以1cm/s的速度移动，点E从C点开始沿CA边向A点以2cm/s速度移动，如果D、E分别从B、A同时出发，那么 　 　秒后，线段DE将△ABC分成面积1：2的两部分． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）解方程： （1）（2x+3）2＝81； （2）x2﹣4x+1＝0； （3）2x2﹣5x﹣1＝0； （4）x（2x﹣5）＝4x﹣10． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0，有一个根为2，求a的值及方程的另一个根． 19．（8分）如图是某地下停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为40米，宽为22米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为648米2，求车道的宽度（单位：米）． 20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x+2﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求m的取值范围． 21．（10分）（1）解方程：x2﹣6x+5＝0； （2）小明在解关于x的方程x2﹣6x+c＝0时，过程如下： 第1步：移项，得x2﹣6x＝﹣c． 第2步：变形，得x（x﹣6）＝﹣c． 第3步：设mx﹣3，即x＝m+3，代入上式得（m+3）（m﹣3）＝﹣c， 所以m2﹣9＝﹣c，即m2＝9﹣c． 第4步：两边开平方，得m＝±． 第5步：代入x＝m+3，得x＝3±，即x1＝3． 你认为小明的做法从第 　 　步开始出现错误，原因是 　 　． 22．（10分）某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为28m，15m；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为510m2． （1）求安全区域的宽度； （2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 23．（12分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 24．（12分）综合实践——用矩形硬纸片制作纸盒．如图1，有一张长18cm，宽14cm的长方形硬纸片，剪去角上同祥大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 　　cm，宽为 　　cm； （2）若纸盒的底面积为96cm2，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明又拿来一张同样大小的矩形硬纸片，先在硬纸片的两个角各剪去一个和（2）中同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．请直接写出这个有盖纸盒的底面积是 　　cm2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 《一元二次方程》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 选择题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C B B D A B B 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）在下列式子中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+x B．x2﹣5＝﹣x C．x2﹣6xy+8＝0 D． 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：x2+x不是等式，则A不符合题意； x2﹣5＝﹣x符合一元二次方程的定义，则B符合题意； x2﹣6xy+8＝0含有两个未知数，则C不符合题意； 2x20不是整式方程，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x， x2﹣1﹣3x＝0， 即x2﹣3x﹣1＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+8）2＝57 【分析】先把常数项移到等式的右边，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方式，据此即可作答． 【解答】解：原方程移项得：x2+8x＝﹣7， x2+8x+16＝﹣7+16， （x+4）2＝9， 故选：A． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 4．（3分）若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣4＝0的解，则多项式2024﹣4a﹣2b的值是（　　） A．1010 B．1014 C．2020 D．2028 【分析】先把x＝2代入一元二次方程可得4a+2b＝4，再把2024﹣4a﹣2b变形为2024﹣（4a+2b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝2代入方程ax2+bx﹣4＝0得4a+2b﹣4＝0， ∴4a+2b＝4， ∴2024﹣4a﹣2b＝2024﹣（4a+2b）＝2024﹣4＝2020． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根，则此直角三角形的面积为（　　） A．2 B．3 C． D．6 【分析】求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解， 【解答】解：解方程x2﹣5x+6＝0得，x1＝2，x2＝3， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两根， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为2和3， ∴此直角三角形的面积为， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． 6．（3分）关于x的方程2x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程2x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×m＞0， 解得m． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．（3分）已知一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1，x2，式子的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 【分析】求出x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣2再整体代入计算即可． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣2， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确，． 8．（3分）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220 C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220 【分析】设每个文创产品降价x元，这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，根据题意列方程即可． 【解答】解：根据题意得，（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220， 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润＝销售量×单位利润． 9．（3分）若实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．5或﹣1 B．5 C．1或﹣5 D．1 【分析】把x2+y2看作一个整体，先把原式变形为（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5＝0，进而分解因式得到[（x2+y2）2﹣5][（x2+y2）+1]＝0，再证明x2+y2+1＞0，从而得到（x2+y2）2﹣5＝0，即x2+y2＝5． 【解答】解：原方程移项得：（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5＝0， ∴[（x2+y2）2﹣5][（x2+y2）+1]＝0， ∵x2≥0，y2≥0， ∴x2+y2+1＞0， ∴（x2+y2）2﹣5＝0， ∴x2+y2＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是关键． 10．（3分）如图，某学校计划用26m的围栏靠墙围成一个面积为80m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　） A．10m或5m B．8m C．10m D．5m 【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（26﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为80m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（26﹣2x）米， 根据题意得：（26﹣2x）x＝80， 整理得：x2﹣13x+40＝0， 解得：x1＝5，x2＝8． 当x＝5时，26﹣2x＝16＞15， ∴x＝5舍去． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）如果关于x的方程（k﹣1）x|k+1|﹣2x+1＝0是一元二次方程，则常数k的值是 　﹣3　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出k﹣1≠0且|k+1|＝2，求出k的值即可． 【解答】解：由已知可得，k﹣1≠0且|k+1|＝2， 解得：k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义及绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．（3分）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众51.66万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为 　51.66（1+x）2＝58　． 【分析】利用增长率模型a（1+x）2＝b列出一元二次方程即可． 【解答】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x， 根据题意得51.66（1+x）2＝58． 故答案为：51.66（1+x）2＝58． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：熟悉增长率模型列方程是解决问题的关键． 13．（3分）已知x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则 　﹣5　． 【分析】先根据完全平方公式进行配方，再根据非负数的性质求出x，y的值，再代入计算． 【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝（x+2）2+（y﹣3）2＝0， ∴x＝﹣2，y＝3， ∴， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特征和非负数的性质是解题的关键． 14．（3分）已知关于x的方程ax2+bx+1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0的两根分别是 　x3＝0，x4＝1　． 【分析】设t＝x+1可得at2+bt+1＝0，再根据方程的解的定义可得t1＝1，t2＝2，最后确定方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0的两根即可． 【解答】解：设t＝x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0可化为at2+bt+1＝0， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0的两根为x1＝1，x2＝2， ∴关于t的方程at2+bt+1＝0的两根为t1＝1，t2＝2， ∴x+1＝1或x+1＝2， 解得x3＝0，x4＝1， ∴方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0的两根分别是x3＝0，x4＝1． 故答案为：x3＝0，x4＝1． 【点评】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． 15．（3分）小明为班级围建一个矩形蔬菜园ABCD，其中一边AD靠墙EF，墙可利用的最大长度为10m，篱笆长为24m，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为36m2时，BC的长为 　6　m； （2）记BC＝a m，若围成面积比36m2大的菜园，则a的范围为 　6＜a≤10　． 【分析】（1）设BC＝x m，则AB m，根据围成的菜园面积为36m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）根据围成面积比36m2大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为10m，即可确定a的取值范围． 【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB m， 根据题意得：x•36， 整理得：x2﹣24x+108＝0， 解得：x1＝6，x2＝18（不符合题意，舍去）， ∴当围成的菜园面积为36m2时，BC的长为6m． 故答案为：6； （2）根据题意得：a•36， 即a2﹣24a+108＜0， 解得：6＜a＜18， 又∵墙可利用的最大长度为10m， ∴a≤10， ∴a的范围为6＜a≤10． 故答案为：6＜a≤10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次不等式． 16．（3分）如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D从B点开始沿BC向B点以1cm/s的速度移动，点E从C点开始沿CA边向A点以2cm/s速度移动，如果D、E分别从B、A同时出发，那么 　2或4　秒后，线段DE将△ABC分成面积1：2的两部分． 【分析】设t秒后，线段DE将△ABC分成面积1：2的两部分，根据题意表示出BP、BQ的长，再分两种情况，分别根据三角形的面积公式列方程即可． 【解答】解：设t秒后，线段DE将△ABC分成面积1：2的两部分， 根据题意，知CD＝BC﹣AP＝（6﹣t）cm，CE＝2t cm． ∵线段DE将△ABC分成面积1：2的两部分， ∴S△CDES△ABC或S△CDES△ABC， 则根据三角形的面积公式，得（6﹣t）•2t6×8，或（6﹣t）•2t6×8， 整理得：t2﹣6t+8＝0或t2﹣6t+16＝0（无实数解）， 解得t1＝2，t2＝4， 即2或4秒后，线段DE将△ABC分成面积1：2的两部分． 故答案为：2或4． 【点评】考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）解方程： （1）（2x+3）2＝81； （2）x2﹣4x+1＝0； （3）2x2﹣5x﹣1＝0； （4）x（2x﹣5）＝4x﹣10． 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程直接开平方得：2x+3＝±9， x1＝3，x2＝﹣6； （2）原方程移项得：x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， ， ，； （3）∵b2﹣4ac＝33， ∴， ∴，； （4）原方程整理得x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， ∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0， ∴，x2＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0，有一个根为2，求a的值及方程的另一个根． 【分析】把x＝2代入方程求出a可得结论，再利用因式分解法求出另一个根． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0，有一个根为2， ∴4+2a+a﹣1＝0， ∴a＝﹣1， ∴方程为x2﹣x﹣2＝0， 设一个根x1＝2，另一个根为x2， ∵x1x2＝﹣2， ∴x2＝﹣1． ∴a＝﹣1，另一个根为﹣1． 【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义． 19．（8分）如图是某地下停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为40米，宽为22米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为648米2，求车道的宽度（单位：米）． 【分析】设车道的宽度为x米，则停车位所占区域的面积等同于长为（40﹣x）米、宽为（22﹣x）米的矩形的面积，根据停车位的占地面积为648米2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设车道的宽度为x米，则停车位所占区域的面积等同于长为（40﹣x）米、宽为（22﹣x）米的矩形的面积， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝648， 整理得：x2﹣62x+232＝0， 解得：x1＝4，x2＝58（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为4米． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x+2﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求m的取值范围． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）用m表示出方程的根，再结合方程的根为非负数即可解决问题． 【解答】证明：（1）因为一元二次方程为x2+（m﹣3）x+2﹣m＝0， 所以Δ＝（m﹣3）2﹣4×1×（2﹣m）＝m2﹣6m+9﹣8+4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2， 又因为（m﹣1）2≥0， 所以该方程总有两个实数根． 解：（2）x2+（m﹣3）x+2﹣m＝0， （x﹣1）（x+m﹣2）＝0， 则x1＝1，x2＝﹣m+2． 因为该方程的实数根均为非负数， 所以﹣m+2≥0， 解得m≤2， 故m的取值范围是：m≤2． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 21．（10分）（1）解方程：x2﹣6x+5＝0； （2）小明在解关于x的方程x2﹣6x+c＝0时，过程如下： 第1步：移项，得x2﹣6x＝﹣c． 第2步：变形，得x（x﹣6）＝﹣c． 第3步：设mx﹣3，即x＝m+3，代入上式得（m+3）（m﹣3）＝﹣c， 所以m2﹣9＝﹣c，即m2＝9﹣c． 第4步：两边开平方，得m＝±． 第5步：代入x＝m+3，得x＝3±，即x1＝3． 你认为小明的做法从第 　4　步开始出现错误，原因是 　9﹣c可能小于0，而负数没有平方根　． 【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可； （2）由于9﹣c可能小于0，所以m2＝9﹣c不能两边开方． 【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝0， （x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝5，x2＝1； （2）小明的做法从第4步开始出现错误，原因是9﹣c可能小于0，而负数没有平方根． 故答案为：4，9﹣c可能小于0，而负数没有平方根． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法． 22．（10分）某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为28m，15m；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为510m2． （1）求安全区域的宽度； （2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【分析】（1）设小路的宽度为x米，根据总面积为510m2列方程求解即可； （2）设每次降价的百分率为a，根据等量关系列方程45（1﹣a）2＝36.45，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设安全区域的宽度为x米， 由题意得：（28+2x）（15+2x）＝510， 整理得2x2+43x﹣45＝0， 解得x1＝1，（不符合题意，舍去）． 答：安全区域的宽度为1米； （2）设每次降价的百分率为a， 由题意得：45（1﹣a）2＝36.45， 解得a1＝1.9（舍去），a2＝0.1＝10%， 答：每次降价的百分率为10%． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键． 23．（12分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【分析】（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组，根据该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为30%； （2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组， 由题意得：（50﹣m﹣30）（150+10m）＝3060， 整理得：m2﹣5m+6＝0， 解得：m1＝2（不符合题意，舍去），m2＝3， 答：该哑铃组每组应降价3元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（12分）综合实践——用矩形硬纸片制作纸盒．如图1，有一张长18cm，宽14cm的长方形硬纸片，剪去角上同祥大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 　　cm，宽为 　　cm； （2）若纸盒的底面积为96cm2，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明又拿来一张同样大小的矩形硬纸片，先在硬纸片的两个角各剪去一个和（2）中同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．请直接写出这个有盖纸盒的底面积是 　　cm2． 【分析】（1）由题意分别列式计算即可； （2）设剪去的正方形的边长为x cm，则纸盒底面长方形的长为（18﹣2x）cm，宽为（14﹣2x）cm，根据纸盒的底面积为96cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）求出有盖纸盒底面长方形的长和宽，即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意可知，纸盒底面长方形的长18﹣2﹣2＝14（cm），宽为14﹣2﹣2＝10（cm）， 即纸盒底面长方形的长为14cm，宽为10cm， 故答案为：14，10； （2）设剪去的正方形的边长为x cm，则纸盒底面长方形的长为（18﹣2x）cm，宽为（14﹣2x）cm， 由题意得：（18﹣2x）（14﹣2x）＝96， 整理得：x2﹣16x+39＝0， 解得：x1＝3，x2＝13（不符合题意，舍去）， 答：剪去的正方形的边长为3cm； （3）由（2）可知，剪去的正方形的边长为3cm， 则有盖纸盒底面长方形的长为14﹣2×3＝8（cm），宽为（18﹣2×3）＝6（cm）， ∴这个有盖纸盒的底面积＝8×6＝48（cm2）， 故答案为：48． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$