江西省南昌中学三经路校区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024~2025学年度第一学期南昌中学三经路校区 高二期末考试数学试卷 命题人： 刘娟 审题人：刘娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为(    ) A. B. C. D. 2.空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于(    ) A. B. C. D. 3.已知事件，相互独立，且，，那么(    ) A. B. 4 C. 6 D. 4.经过对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 识图能力 由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为，则可预测其识图能力为 A. 8 B. 6 C. 2 D. 1.9 5.学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为人．参考数据6，，） A. B. 2 C. 954 D. 477 6.若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在  (    ) A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 8.在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是  (    ) A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 的渐近线与圆相切 D. 满足的直线有条 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.关于的展开式，下列说法正确的是(    ) A. 各项的系数之和为0 B. 二项式系数的和为 C. 展开式共有2026项 D. 展开式中常数项为-1 10.下列选项正确的是(    ) A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则4 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量满足，，，，则 11.如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则(    ) A. 直线与平面平行 B. 直线与平面所成的角为 C. 点与点到平面的距离之比为1：2 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为      ． 13.托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是      ． 14.已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是     ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.分 已知点和圆：． 求经过点的圆的切线方程； 若是圆上一动点，由所得写出的取值范围． 16.分 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度“十分关注”与“比较关注”，学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”． 根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关 学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率． 附：，其中． 17.分 如图：在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． 求证：平面； 求二面角的平面角的余弦值； 若点满足, 求点到平面的距离． 18.分 为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折．  方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元． 若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率． 若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算． 19.分 已知双曲线 的实轴长为2，且经过点，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合。 求双曲线和抛物线的方程； 过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线相交所得弦为，，取弦，的中点分别为，，试探究直线是否过定点,若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 2024-2025学年上学期高二期末数学测试卷参考答案 一、单选题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D A D B C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 三、填空题： 12．  (   ,0)  13. 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：圆的方程可化为，圆心，半径．1分 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 3分 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或． 8分 设，则，可以看作点与连线的斜率， 由知，的取值范围  13分 16. 解：由题意可得列联表： 男 女 合计 十分关注 比较关注 合计 ． 7分 没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关． 8分 由题意，8人中男生2人，女生人． 10分 记“人中至少有1名男生”为事件， 则．  15分 17. 证明： 取  中点，连接、 ，、分别为  、 的中点，    且  ，   与  平行且相等，为  中点，   与  平行且相等， 四边形 为平行四边形，   ，   平面 ， 平面  ，  平面  ； 5分 （2）解法1：由图可知二面角的平面角为钝角 6分 过点作,垂足为点，连接， 则为所求二面角的平面角的补角 7分  中 ，, 易求得，且， 则， 于是， 9分 所以所求二面角的平面角的余弦值为 10分 解法2： 直三棱柱     平面，又、  平面，  、  ，   即  ，  、、两两垂直， 分别以  为  轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则  ，  ，  ，  ，  ，  ， ，则  ，  ， 易知平面  的法向量为  ， 设平面  的法向量为  ， 则  ，即  ， 令 ，则  ， 设二面角  的平面角为  ， 则  ， 9分 由图知  为钝角，  ； 10分 (3) 由 ，得点为三等分点且 ，由等体积法： ,得  ,解得 点到平面的距离为 ，  15分  （本题用其他方法做对答案亦按步骤给分） 18.解：由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则． 甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率为． 6分 若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，． 则，，． 故的分布列为 元． 11分 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则． 由已知，可得，故， 元． 16分 由上知：，故丙选择方案一更划算．  17分 19. 解：，则，将点坐标代入的方程：，解得, 所以双曲线方程为：； 4分 右焦点（2，0）为抛物线的焦点，则， 所以抛物线的方程为：， 6分 (2)由题意可以设，， 设，．将直线方程与抛物线方程联立 化简得：，则，， 8分 所以， )=，得点坐标 同理可得： ，，点坐标 10分 则 所以直线的方程为： 12分 令，得，所以直线过定点． 17分 高二数学第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$