第02讲 二次根式的运算（8个知识清单+10类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第02讲 二次根式的运算 课程标准 学习目标 1、最简二次根式2、二次根式的乘除法 3、分母有理化4、同类二次根式 5、二次根式的加减法6、二次根式的混合运算 7、二次根式的化简求值8、二次根式的应用 1.了解二次根式的运算法则，能够运用法则进行二次根式的运算. 2.了解最简二次根式、同类二次根式的概念，能够判断同类二次根式、将一个二次根式化为最简形式. 重点：理解二次根式的运算法则. 难点：根据二次根式的运算法则进行二次根式的运算. 知识点01 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【即学即练】 1．（2024春•合肥期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 知识点02二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【即学即练】 2．（2024春•金安区校级期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… （1）按照以上规律，写出第5个等式：； （2）按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 【分析】（1）根据等式的计算规律填空即可； （2）利用等式的计算规律写出猜想，再运用整式的计算证明即可． 【解答】解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… 第5个等式为：， 故答案为：； （2）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … ∴第n个等式为， 故答案为：． 证明：∵n为正整数， ∴左边＝＝右边， ∴结论成立． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，规律型：数字的变化类，解题关键是能够根据给出的等式发现规律，能够熟练运用多项式的乘法法则进行准确计算． 知识点03分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 【即学即练】 3．（2021春•鸠江区校级期末）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②•，③÷＝﹣b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】先根据题意判断出a，b的符号，再对各小题进行解答即可． 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴①＝，原计算错误； ②•＝＝1，正确； ③÷＝＝＝﹣b，正确。 故选：B． 【点评】本题考查的是分母有理化，根据题意判断出a＜0，b＜0是解题的关键． 知识点04同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【即学即练】 4．（2024春•濉溪县期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先将各项进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：A、＝2与是同类二次根式，符合题意； B、＝3与不是同类二次根式，不符合题意； C、＝2与不是同类二次根式，不符合题意； D、＝3与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的化简和同类二次根式，熟练掌握相关的定义是解题的关键． 知识点05二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【即学即练】 5．（2024春•铜官区期末）计算：3﹣+﹣． 【分析】先进行二次根式的化简，然后合并． 【解答】解：原式＝3﹣2+ ＝﹣． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及合并． 知识点06二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【即学即练】 6．（2024春•潘集区期中）计算： （1）； （2）． 【答案】： 【分析】（1）先运算乘法和除法，再运算加减，即可作答； （2）分别运用完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类，即可作答． 【解答】解：（1）原式＝ ＝； （2）原式＝ ＝； ＝． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 知识点07二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【即学即练】 7．（2023春•六安月考）先观察下列的计算，再完成练习． （1）； （2）； （3）． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知n是正整数，求的值： （3）计算：． 【分析】（1）根据分母有理化方法化简即可； （2）由题干中的例题过程归纳结果即可； （3）利用（2）中归纳的结果，进行化简求解即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝﹣2； （2）原式＝ ＝； （3）原式＝[++…++1） ＝（﹣1+﹣+…+ ﹣）×（+1） ＝（﹣1））×（+1） ＝（）2﹣12 ＝2022． 【点评】题目主要考查二次根式的化简求值及分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键． 知识点08二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【即学即练】 8．（2024春•全椒县月考）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积． 对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究． 古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式： S＝，其中p＝．① 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），给出了著名的秦九韶公式： S＝．② 若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的面积，从而可以解答本题． 【解答】解：S＝， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 题型01二次根式的乘法 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的化简和乘法，零指数幂．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的化简和乘法，零指数幂求解即可． 【详解】解： ． 题型02 二次根式的除法 4．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的加减以及除法运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5．（八年级下·安徽阜阳·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（八年级下·安徽马鞍山·期末）图中的小正方形边长为1，的三个顶点都在小正方形上，求： （1）三角形ABC的面积； （2）求三角形ABC边AB上的高CD的长．    【答案】（1）；（2）． 【知识点】二次根式的除法、勾股定理与网格问题 【分析】（1）利用割补法，把的面积转化为图形面积之差可得答案； （2）根据勾股定理先求解，再利用面积法求解AB上的高CD即可． 【详解】解：（1） （2）如图，过作于 ，    【点睛】本题考查的是利用割补法求网格三角形的面积，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么考查利用面积法求三角形的高，掌握以上知识是解题的关键． 题型03 求二次根式的值 7．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 8．（八年级下·安徽蚌埠·期中）当ａ＝－2时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【知识点】求二次根式的值 【分析】把a=-2代入二次根式，即可得解为2． 故答案为2. 【详解】解：当a=-2时，二次根式==2. 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，比较简单． 9．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）古希腊数学家海伦在他的菩作《度量论》中，讨论了许多几何图形的面积和体积计算问题，其中包括后来以他的名字命名的三角形面积公式.这个公式用字母表示，即：，.（其中a，b，c分别为三角形的三边长，S为三角形的面积）若王大爹承包了一块三角形田地，三边长分别为100m，120m，180m，每亩承包价格为600元，问王大斧应支付多少元的承包费用？（1亩则670平方米，结果保留到百元） 【答案】5100元 【知识点】求二次根式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据题干所给的方法计算出三角形周长的一半，再将其代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴王大爷的承包费用为：，                                     答：王大爷的承包费用为5100元． 【点睛】本题考查定义新运算，能够理解题干所给计算三角形面积的新方法，并且可以根据方法一步一步计算出三角形的面积是解决本题的关键． 题型04 利用二次根式的性质化简 10．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键． 先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴ ， 故选：B． 11．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若，则二次根式化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简，根据，被开方数，可得，，进而根据化简即可． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）先去绝对值，运用完全平方公式去括号，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： =． 题型05 复合二次根式的化简 13．（八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是(　　) A．① B．② C．③ D．没有错误 【答案】A 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵①，②， ∴③，以上推导错误的一步是：①， 应该为：∵，而， ∴③， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简是解题关键． 14．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 题型06化为最简二次根式 16．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的定义“如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式”是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：，故不是最简二次根式，A不符合题意； ，故不是最简二次根式，B不符合题意； ，故不是最简二次根式，C不符合题意； 是最简二次根式，D符合题意． 故选D． 17．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简二次根式得到，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式得到，则． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练的计算与化简二次根式的解本题的关键； （1）先求解，再代入公式计算即可； （2）先求解，，，再代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 题型07已知最简二次根式求参数 19．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 20．（八年级下·安徽·期中）如果与都是最简二次根式，且它们是同类二次根式，求正整数，的值． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出方程组求解即可． 【详解】解：∵与都是最简二次根式 方程组整理为： ： ∴ 把代入（1），得： ∴ 【点睛】本题考查了解方程组的问题，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义、加减消元法是解题的关键． 题型08已知字母的值，化简求值 21．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）设，则代数式的值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】先利用已知条件得，两边平方后得到，再整体代入中，逐步计算和代换，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 22．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了求代数式的值，将化为，再利用完全平方公式进行简便计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 23．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，求的值． 【答案】13 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 题型09已知条件式，化简求值 24．（八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】首先根据a＋b＝−8，和ab＝10确定a和b的符号，然后对根式进行化简，然后代入求解即可． 【详解】解： 原式= 则原式= 故答案为：. 【点睛】本题考查了根式的化简求值，正确确定a和b的符号是解决本题的关键． 25．（21-22八年级下·安徽安庆·期中）已知，，求的值． 【答案】18 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ab＝1，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式 的运用，正确求出，是解答本题的关键． 题型10比较二次根式的大小 26．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）比较大小： （填“>”或“<”“=”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，先比较两个二次根式的平方，进而即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 27．（八年级下·安徽滁州·阶段练习）试比较与的大小． 【答案】＜ 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】将与进行分母有理化，再进行作差运算，得到即可． 【详解】解：∵； ， ∴， ∵， ∴， 即＜． 【点睛】本题考查了无理数的比较大小，以及二次根式的分母有理化，解题的关键是将与进行分母有理化，再进行作差运算比较大小． 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据整式的运算法则以及二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】（A）原式，故选项A错误； （B）原式，故选项B错误； （C）原式，故选项C错误； （D）原式，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A．＝，故选项不符合题意； B．是最简二次根式，故选项符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了最简二次根式：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，满足上述条件的二次根式叫做最简二次根式．熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 3．下列二次根式化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，能与合并，符合题意； B、，不能与合并，不符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，不能与合并，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质、同类二次根式的概念是解题的关键． 4．估计的运算结果在哪两个整数之间（  ） A．0和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先根据二次根式的混合运算法则计算出结果，再根据无理数的估算方法估算出范围即可得答案． 【详解】， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，熟练掌握运算法则和估算方法是解题关键． 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方、同类项合并法则、二次根式性质、同底数幂的除法青藏判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的运算，二次根式的性质及合并同类项等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据合并同类项，积的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，逐一进行计算，即可得出结果． 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项正确，符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 7．把化成最简二次根式的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，先把被开方数化简，再把开方数的分子分母乘以3，然后再开方即可． 【详解】 故选B 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的除法、二次根式的性质是解题关键． 8．下列运算中，正确的是（　　） A．3a2 +2a2 =5a4 B．a9÷a3=a3 C． D．（﹣3x2）3=﹣27x6 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 3a2 +2a2 =5 a 2，故该选项不正确，不符合题意； B. a9÷a3=a6，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. （﹣3x2）3=﹣27x6，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键． 9．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，同类二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质化简，同类二次根式是解题的关键． 先对各选项利用二次根式的性质化简，然后利用同类二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：D． 10．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（    ） A．2a－b B．－3b C．b－2a D．3b 【答案】B 【分析】根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0，再把二次根式化简即可． 【详解】解：根据数轴可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0， ∴ = =-（a+b） =a-2b-a-b =-3b． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简，二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a，解题关键是先判断所求的代数式的正负性． 二、填空题 11．计算的结果等于 . 【答案】 【分析】利用完全平方公式根据二次根式的运算法则计算即可. 【详解】 = =12+12+6 =18+12. 故答案为18+12 【点睛】本题考查完全平方公式及二次根式的计算，熟练掌握运算法则并灵活运用完全平方公式是解题关键. 12．将化为最简根式是 ． 【答案】3 【分析】将18拆成，再开方即可． 【详解】解：. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，将被开方数化成完全平方数与某数乘积的形式是解题的关键． 13．如图，数轴上与1，对应的点分别是为A、B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则 ．    【答案】 【分析】由题意求出点C表示的数，再代入式中化简绝对值即可． 【详解】解：由题意知 ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，实数与数轴，数轴上两点间的距离，解题关键是结合数轴求出C点表示的数x的值． 14．在草稿纸上计算，，.观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： . 【答案】． 【分析】分别算出给出的三个算式的算术平方根，然后总结规律，再利用规律即可写出答案. 【详解】， ， ， ⋯⋯ 依此类推，=3⋯⋯3（n个3） 故答案为3⋯⋯3（n个3）. 【点睛】此题考查了算术平方根与数字规律的变化，通过对已知项的计算，总结出变化规律是解题的关键. 三、解答题 15．如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案； （2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为，， ∴原矩形木板的长为，宽为， ∴原矩形木板的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ∴剩余木料的周长为． 16．如图，在平面直角坐标系中有一等腰直角三角形． (1)【画图】将直角顶点C向右平移4个单位长度到点，连接，． (2)【求解】在（1）中，已知四边形为正方形，求等腰直角三角形的直角边AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）根据将直角顶点C向右平移4个单位长度到点C＇，作图即可； （2）根据正方形面积为四个等腰直角三角形的面积和，再由正方形面积公式列方程求解. 【详解】（1）解：如图， （2）解：由图形可知：正方形的面积为： ∴，∴ 17．如图，正方形的面积为48平方厘米，它的四个角是面积为3平方厘米的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的体积是多少?（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意，得到这个长方体的长为，宽为，高为，根据体积公式解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的乘法，体积计算，熟练掌握算术平方根，二次根式的乘法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为， 小正方形的边长为， 根据题意，得到这个长方体的长为，宽为，高为， 故体积为：． 18．如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：） 【答案】元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．先用正方形面积减去4个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解：通道的面积为 （平方米）， ∴购买地砖需要花费元． 19．计算： （1）. （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先把各项化成最简二次根式，再去括号合并同类二次根式即可. 【详解】解：（1） =； （2） =. 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的化简与加减运算法则是解题的关键. 20．如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号） (1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了算术平方根的定义，长方体的体积公式以及二次根式的运算． （1）根据算术平方根的定义求出大正方形和小正方形的边长，再根据底边边长的表示列式计算即可得解； （2）根据长方体的体积公式列式计算即可求出长方体盒子的体积． 【详解】（1）解：正方形的边长为，， 剪掉小正方形的边长为， 所以，长方体盒子的底面边长为． （2）长方体盒子的体积为． 21．若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=(a+b+c)． 记：Q=． (1)当a=4，b=5，c=6时，求Q的值； (2)当a=b时，设三角形面积为S，求证：S=Q． 【答案】(1)Q=；(2)证明见解析. 【分析】(1)先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算； (2)设底边c上的高为h，根据三角形的面积公式得到S=c•h=c，代入Q=得到Q=c，于是得到结论． 【详解】解：(1)∵a=4，b=5，c=6， ∴p=(a+b+c)=， ∴Q===； (2)∵a=b， ∴设底边c上的高为h， ∴h=， ∴S=c•h=c， ∵a=b， ∴p=(a+b+c)=a+c， ∴Q== = ∴S=Q． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积公式，正确的化简二次根式是解题的关键． 22．如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解． （1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，即可得答案； （2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高，即可得到答案． 【详解】（1）解∶ 长方体盒子的底面积   ； （2）解∶长方体盒子的体积 ． 23．【阅读下列材料】 我们知道：， 即， （当且仅当时，）． 进一步得到当时， ，即， （当且仅当时，） 【例】若，求的最小值． 解：， 的最小值为4． 【解决问题】 (1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________． (2)用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长），面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？ 【答案】(1)，； (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，理解题意是关键． （1）直接利用（当且仅当时，），再计算即可； （2）设垂直于墙的一边为xm，利用长方形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 当时，则， 解得：（舍去）， 即当时，， 故答案为：， （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， 此时， ∴或（舍去）． ∴， ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的运算 课程标准 学习目标 1、最简二次根式2、二次根式的乘除法 3、分母有理化4、同类二次根式 5、二次根式的加减法6、二次根式的混合运算 7、二次根式的化简求值8、二次根式的应用 1.了解二次根式的运算法则，能够运用法则进行二次根式的运算. 2.了解最简二次根式、同类二次根式的概念，能够判断同类二次根式、将一个二次根式化为最简形式. 重点：理解二次根式的运算法则. 难点：根据二次根式的运算法则进行二次根式的运算. 知识点01 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【即学即练】 1．（2024春•合肥期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 知识点02二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【即学即练】 2．（2024春•金安区校级期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… （1）按照以上规律，写出第5个等式：； （2）按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 知识点03分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 【即学即练】 3．（2021春•鸠江区校级期末）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②•，③÷＝﹣b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 知识点04同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【即学即练】 4．（2024春•濉溪县期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 知识点05二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【即学即练】 5．（2024春•铜官区期末）计算：3﹣+﹣． 知识点06二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【即学即练】 6．（2024春•潘集区期中）计算： （1）； （2）． 知识点07二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【即学即练】 7．（2023春•六安月考）先观察下列的计算，再完成练习． （1）； （2）； （3）． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知n是正整数，求的值： （3）计算：． 知识点08二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【即学即练】 8．（2024春•全椒县月考）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积． 对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究． 古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式： S＝，其中p＝．① 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），给出了著名的秦九韶公式： S＝．② 若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 题型01二次根式的乘法 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 题型02 二次根式的除法 4．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（八年级下·安徽阜阳·期中）计算： ． 6．（八年级下·安徽马鞍山·期末）图中的小正方形边长为1，的三个顶点都在小正方形上，求： （1）三角形ABC的面积； （2）求三角形ABC边AB上的高CD的长．    题型03 求二次根式的值 7．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（八年级下·安徽蚌埠·期中）当ａ＝－2时，二次根式的值是 ． 9．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）古希腊数学家海伦在他的菩作《度量论》中，讨论了许多几何图形的面积和体积计算问题，其中包括后来以他的名字命名的三角形面积公式.这个公式用字母表示，即：，.（其中a，b，c分别为三角形的三边长，S为三角形的面积）若王大爹承包了一块三角形田地，三边长分别为100m，120m，180m，每亩承包价格为600元，问王大斧应支付多少元的承包费用？（1亩则670平方米，结果保留到百元） 题型04 利用二次根式的性质化简 10．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 11．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若，则二次根式化简的结果为 ． 12．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）计算： (1) (2) 题型05 复合二次根式的化简 13．（八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是(　　) A．① B．② C．③ D．没有错误 14．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 题型06化为最简二次根式 16．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 18．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 题型07已知最简二次根式求参数 19．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 20．（八年级下·安徽·期中）如果与都是最简二次根式，且它们是同类二次根式，求正整数，的值． 题型08已知字母的值，化简求值 21．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）设，则代数式的值为（   ） A．6 B．5 C． D． 22．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 23．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，求的值． 题型09已知条件式，化简求值 24．（八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，，则的值是 ． 25．（21-22八年级下·安徽安庆·期中）已知，，求的值． 题型10比较二次根式的大小 26．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）比较大小： （填“>”或“<”“=”）． 27．（八年级下·安徽滁州·阶段练习）试比较与的大小． 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A． B． C． D． 3．下列二次根式化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．估计的运算结果在哪两个整数之间（  ） A．0和 B．和 C．和 D．和 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．把化成最简二次根式的结果是(    ) A． B． C． D． 8．下列运算中，正确的是（　　） A．3a2 +2a2 =5a4 B．a9÷a3=a3 C． D．（﹣3x2）3=﹣27x6 9．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 10．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（    ） A．2a－b B．－3b C．b－2a D．3b 二、填空题 11．计算的结果等于 . 12．将化为最简根式是 ． 13．如图，数轴上与1，对应的点分别是为A、B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则 ．    14．在草稿纸上计算，，.观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： . 三、解答题 15．如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 16．如图，在平面直角坐标系中有一等腰直角三角形． (1)【画图】将直角顶点C向右平移4个单位长度到点，连接，． (2)【求解】在（1）中，已知四边形为正方形，求等腰直角三角形的直角边AC的长． 17．如图，正方形的面积为48平方厘米，它的四个角是面积为3平方厘米的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的体积是多少?（结果保留根号） 18．如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：） 19．计算： （1）. （2）. 20．如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号） (1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 21．若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=(a+b+c)． 记：Q=． (1)当a=4，b=5，c=6时，求Q的值； (2)当a=b时，设三角形面积为S，求证：S=Q． 22．如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 23．【阅读下列材料】 我们知道：， 即， （当且仅当时，）． 进一步得到当时， ，即， （当且仅当时，） 【例】若，求的最小值． 解：， 的最小值为4． 【解决问题】 (1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________． (2)用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长），面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$