第二章 平面解析几何综合测试-【新课程寒假作业】2024-2025学年高二数学（通用版）

高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 17. （ 1 ） 实轴长 2 6 姨 ， 虚轴长 2 6 姨 ， 离心率 2 姨 ， 左焦点 （ -2 3 姨 ， 0 ）， 右焦点 （ 2 3 姨 ， 0 ） （ 2 ） 略 18. （ 1 ） x 2 9 - y 2 9 =1 （ 2 ） e= 2 姨 . （ 3 2 姨 ， 0 ）， （ -3 2 姨 ， 0 ） . 2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 1. C 2. A 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. C 9. ABD 10. AC 11. BCD 12. AC 13. 3 14. 3 2 15. 2 姨 2 16. 1 8 17. （ 1 ） 最小值为 7 2 ， 点 P 的坐标为 （ 2 ， 2 ） （ 2 ） 2 2.7.2 抛物线的几何性质 1. D 2. B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. B 9. B 10. B 11. A 12. B 13. - 3 4 14. （ 0 ， -4 ） 15. 1 16. x 2 =4y 或 x 2 =8y 17. （ 1 ） p=2 （ 2 ） 略 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 1. C 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. ACD 8. CD 9. ±1 10. 4 11. 6 12. 4 2 姨 13. （ 1 ） x 2 =4y （ 2 ） -24 第二章综合测试 1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. A 8. C 9. AC 10. AC 11. CD 12. BCD 13. -2 14. 4 3 姨 15. x 2 +y 2 +4x-3y=0 16. ［ 1 ， 2 姨 ） 17. （ 1 ） x 2 2 +y 2 =1 （ 2 ） 存在 ， x 2 +y 2 = 2 3 18. （ 1 ） x 2 4 +y 2 =1 （ y≠0 ） （ 2 ） 1 19. （ 1 ） x 2 9 + y 2 8 =1 （ 2 ） 存在 ， P - 7 2 ， ± 19 姨 2 2 $ 20. （ 1 ） y 2 =8x （ 2 ） 17 姨 17 21. （ 1 ） p 为真时 ， m>1 ； q 为真时 ， 0<m<2. （ 2 ） 0<m≤1 或 m≥2 22. （ 1 ） x 2 4 +y 2 =1 （ 2 ） 略 第三章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 基本计数原理 1. D 2. D 3. B 4. B 5. B 6. ABD 7. 15 8. 42 9. 9 10. 242 11. （ 1 ） 480 种 （ 2 ） n=5 3.1.2 排列与排列数 1. C 2. A 3. D 4. C 5. D 6. ABCD 83 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 一 、 单选题 1. 若 A （ 4 ， 3 ）， B （ 5 ， a ）， C （ 6 ， 5 ） 三点共线 ， 则 a 的值为 （ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 2. 如图 ， F 1 ， F 2 分别是双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的左 、 右焦 点 ， A ， B 是双曲线 C 上关于坐标原点 O 对称的两点 （ 点 A 在第一象限 ）， 直线 BF 1 与双曲线 C 的另一个交点为 M ， 且 AF 1 ⊥BF 1 ， ｜MF 1 ｜=｜AF 1 ｜ ， 则 C 的渐近线方程为 （ ） A. y=± 6 姨 2 x B. y=± 3 2 x C. y=± 2 姨 3 x D. y=± 2 3 x 3. 圆 x 2 +y 2 -2x=0 和圆 x 2 +y 2 +4y=0 的公切线条数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 直线 x+y+2=0 被圆 x 2 +y 2 +4x-4y+4=0 截得的弦长等于 （ ） A. 2 姨 B. 2 C. 2 2 姨 D. 4 2 姨 5. 过直线 2x+y-8=0 和直线 x-2y+1=0 的交点且与直线 4x-3y-7=0 平行的直线是 （ ） A. 3x+4y+17=0 B. 4x-3y-6=0 C. 3x+4y-17=0 D. 4x-3y+18=0 6. 已知定点 M （ 2 ， 0 ）， N （ -2 ， 0 ）， P 是椭圆 x 2 9 + y 2 5 =1 上的动点 ， 则 9 ｜PM｜ + 1 ｜PN｜ 的最小值 为 （ ） A. 2 B. 7 3 C. 8 3 D. 3 7. 已知 F 1 ， F 2 为双曲线 C ： x 2 -y 2 =1 的左 、 右焦点 ， 点 P 在 C 上 ， 且 ｜PF 1 ｜=2 ｜PF 2 ｜ ， 则 cos∠F 1 PF 2 = （ ） A. 3 4 B. 4 5 C. 3 5 D. 1 2 8. 抛物线 y 2 =2px 过点 A （ 2 ， 4 ）， F 为焦点 ， 定点 B 的坐标为 （ 8 ， -8 ）， 则 ｜AF｜ ∶ ｜BF｜ 值 为 （ ） A. 1 ∶ 4 B. 1 ∶ 2 C. 2 ∶ 5 D. 3 ∶ 8 二 、 多选题 9. 已知抛物线 E ： y 2 =4x 的焦点为 F ， 准线为 l ， 过 F 的直线与 E 交于 A ， B 两点 ， C ， D 分别为 A ， B 在 l 上的射影 ， 且 ｜AF｜=3｜BF｜ ， M 为 AB 的中点 ， 则下列结论正确的是 （ ） 第二章综合测试 x y O A B F 1 F 2 M 第 2 题图 63 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 A. ∠CFD=90° B. △CMD 为等腰直角三角形 C. 直线 AB 的斜率为 ± 3 姨 D. △AOB 的面积为 4 10. 已知圆 M ： （ x+cos兹 ） 2 + （ y-sin兹 ） 2 =1 ， 直线 l ： y=kx. 下列命题中 ， 正确的命题是 （ ） A. 对任意实数 k 和 兹 ， 直线 l 和圆 M 有公共点 B. 对任意实数 兹 ， 必存在实数 k ， 使得直线 l 与圆 M 相切 C. 对任意实数 k ， 必存在实数 兹 ， 使得直线 l 与圆 M 相切 D. 存在实数 k 与 兹 ， 使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3 11. 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 +y 2 -4x+1=0 ， 则下列说法错误的是 （ ） A. y-x 的最大值为 6 姨 -2 B. x 2 +y 2 的最大值为 7+4 3 姨 C. y x 的最大值为 3 姨 2 D. x+y 的最大值为 2+ 3 姨 12. 已知 A 1 ， A 2 是椭圆 C ： x 2 4 + y 2 3 =1 长轴上的两个顶点 ， 点 P 是椭圆上异于 A 1 ， A 2 的任 意一点 ， 点 Q 与点 P 关于 x 轴对称 ， 则下列四个命题中正确的是 （ ） A. 直线 PA 1 与 PA 2 的斜率之积为定值 - 4 3 B. PA 1 1% ·PA 2 1% <0 C. △PA 1 A 2 的外接圆半径的最大值为 7 3 姨 6 D. 直线 PA 1 与 QA 2 的交点 M 在双曲线 x 2 4 - y 2 3 =1 上 三 、 填空题 13. 抛物线 y 2 =ax 的准线方程为 x= 1 2 ， 则 a= . 14. 抛物线 y 2 =16x 的焦点与双曲线 x 2 4 - y 2 m 2 =1 （ m>0 ） 的右焦点重合 ， 则该双曲线的虚轴长 等于 . 15. 若直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点为 A ， B ， 则以线段 AB 为直径的圆的一般方 程为 . 16. 若直线 l ： y=x+b 与曲线 C ： y= 1-x 2 姨 有两个不同的公共点 ， 则实数 b 的取值范围是 . 64 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 四 、 解答题 17. 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的短轴长为 2 ， 且其离心率为 2 姨 2 . （ 1 ） 求椭圆 C 的标准方程 . （ 2 ） 过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别相交于 P ， Q 两点 ， 是否存在圆 心在原点的定圆与直线 PQ 总相切 ？ 若存在 ， 求定圆的方程 ； 若不存在 ， 请说明理由 . 18. 已知 △ABC 的两个顶点坐标是 B （ -2 3 姨 ， 0 ）， C （ 2 3 姨 ， 0 ）， △ABC 的周长为 8+ 4 3 姨 ， O 是坐标原点 ， 点 M 满足 O O$ A =-2A O$ M . （ 1 ） 求点 M 的轨迹 E 的方程 ； （ 2 ） 设不过原点的直线 l 与曲线 E 交于 P ， Q 两点 ， 若直线 OP ， PQ ， OQ 满足 k 2 PQ =k OP · k OQ ， 求 △OPQ 面积的最大值 . 19. 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的离心率为 1 3 ， 长轴长为 6. （ 1 ） 求椭圆 C 的标准方程 . （ 2 ） 是否存在点 P 在圆 M ： （ x-1 ） 2 +y 2 =25 上 ， 过点 P 作直线 l 1 ， l 2 与椭圆 C 相切 ， 分别记 直线 l 1 ， l 2 的斜率为 k 1 ， k 2 ， 有 k 1 · k 2 =-1 ？ 若存在 ， 求出点 P 的坐标 ； 若不存在 ， 请说明理由 . 65 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 20. 已知动点 P 到定点 M （ 2 ， 0 ） 的距离比它到 y 轴的距离大 2. （ 1 ） 求动点 P 的轨迹方程 ； （ 2 ） 求动点 P 到直线 l ： 8x-2y+3=0 距离的最小值 . 21. 已知命题 p ： 方程 x 2 +y 2 -2x-m+2=0 表示圆 ； 命题 q ： 方程 x 2 m + y 2 m-2 =1 表示双曲线 . （ 1 ） 分别求出 p ， q 为真命题时实数 m 的取值范围 ； （ 2 ） 若在命题 p 和命题 q 中有一个为真命题 ， 另一个为假命题 ， 求实数 m 的取值范围 . 22. 如图 ， 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的离心率为 3 姨 2 ， 过椭圆的焦点且与长轴 垂直的弦长为 1. （ 1 ） 求椭圆 C 的方程 ； （ 2 ） 设点 M 为椭圆上位于第一象限内一动点 ， A ， B 分别为椭圆的左顶点和下顶点 ， 直 线 MB 与 x 轴交于点 N ， 直线 MA 与 y 轴交于点 D ， 求证 ： 四边形 ABND 的面积为定值 . x y A B O N M D 第 22 题图 66