1.2.4 二面角-【新课程寒假作业】2024-2025学年高二数学（通用版）

寒 假 作 业 新课程 1.2.2 空间中的平面与空间向量 1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6. ABC 7. 1 0 8. 11 姨 11 ， 11 姨 11 ， 3 11 姨 11 1 # 或 - 11 姨 11 ， - 11 姨 11 ， - 3 11 姨 11 1 1 9. （ 2 ， -4 ， -1 ） 或 （ -2 ， 4 ， 1 ） 10. 1 2 11. 略 1.2.3 直线与平面的夹角 第 1 课时 直线与平面夹角的定义 1. A 2. D 3. D 4. B 5. A 6. ABD 7. π 3 8. 7 姨 4 9. 10 姨 4 10. 10 姨 5 π 4 11. （ 1 ） 略 （ 2 ） 10 姨 5 第 2 课时 直线与平面的夹角的应用 1. B 2. B 3. C 4. D 5. D 6. CD 7. 7 姨 3 8. 15 姨 2 3 9. 5 3 10. ①③ 11. （ 1 ） 略 （ 2 ） ３ ５ 1.2.4 二 面 角 第 1 课时 二面角的定义 1. C 2. B 3. C 4. B 5. B 6. BCD 7. 60° 8. 2 11 姨 9. 1 4 10. 6 姨 3 11. （ 1 ） 略 （ 2 ） 42 姨 7 第 2 课时 二面角的应用 1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. ABD 7. 60° 8. π 3 9. 6 姨 6 ， 2 姨 2 2 & 10. - 9 16 ， 9 16 1 1 11. （ 1 ） 略 （ 2 ） 2 5 姨 5 1.2.5 空间中的距离 1. B 2. D 3. B 4. C 5. B 6. BC 7. 3 8. 3 姨 2 9. 3 17 姨 17 17 姨 17 10. 4 3 姨 3 11. 存在 ， AQ QD ＝ 1 3 第一章综合测试 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. A 8. B 9. 2 10. 45° 11. 平行 12. 1 13. （ 1 ） 3 姨 3 （ 2 ） ２ 3 姨 3 14. （ 1 ） 略 （ 2 ） 存在 ， 点 Q 是 EF 的中点 . 第二章 平面解析几何 2.1 坐 标 法 1. D 2. D 3. C 4. B 80 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 1. 一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面 ， 那么这两个二面角 （ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不确定 2. 若分别与一个二面角的两个面平行的向量为 m= （ -1 ， 2 ， 0 ）， n= （ 1 ， 0 ， -2 ）， 且 m ， n 都与二面角的棱垂直 ， 则该二面角的正弦值为 （ ） A. 1 5 B. 2 6 姨 5 C. 1 4 D. 15 姨 4 3. 在二面角 α鄄l鄄β 中 ， 平面 α 的一个法向量为 n 1 = 3 姨 2 ， - 1 2 ， - 2 姨 姨 # ， 平面 β 的一个 法向量为 n 2 = 0 ， 1 2 ， 2 姨 姨 姨 ， 则二面角 α鄄l鄄β 的大小为 （ ） A. 120° B. 150° C. 30° 或 150° D. 60° 或 120° 4. 如图 ， 设 AB 为圆锥 PO 的底面直径 ， PA 为母线 ， 点 C 在底面圆周 上 ， 若 △PAB 是边长为 2 的正三角形 ， 且 CO⊥AB ， 则二面角 P鄄AC鄄B 的正 弦值是 （ ） A. 6 姨 B. 42 姨 7 C. 7 姨 7 D. 7 姨 5. 如图 ， 在长方体 A 1 B 1 C 1 D 1 鄄A 2 B 2 C 2 D 2 中 ， A 1 A 2 =2A 1 B 1 =2B 1 C 1 ， A ， B ， C 分别是 A 1 A 2 ， B 1 B 2 ， C 1 C 2 的中点 ， 记直线 D 2 C 与 AD 1 所成的角为 α ， 平面 A 2 BCD 2 与平面 ABC 1 D 1 所成的二面角为 β ， 则 （ ） A. cosα=cosβ B. sinα=sinβ C. cosα>cosβ D. sinα<sinβ 6. （ 多选题 ） 如图 ， 正方体的棱长为 1 ， 线段 B 1 D 1 上有两个动点 E ， F ， 且 EF= 2 姨 2 ， 则下列结论正确的是 （ ） A. AC 与 BE 所成角为 45° B. 三棱锥 A鄄BEF 的体积为定值 C. EF∥ 平面 ABCD 1.2.4 二 面 角 能力 · 提升 夯实 · 基础 第 1 课时 二面角的定义 A B C P O 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 A 1 B 1 C 1 C 2 A 2 B 2 B C D 1 D 2 A D A B B 1 C 1 D 1 E C F A 1 19 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 D. 二面角 A鄄EF鄄B 是定值 7. 三棱锥 P鄄ABC 的两侧面 PAB ， PBC 都是边长为 2a 的正三角形 ， AC= 3 姨 a ， 则二面角 A鄄PB鄄C 的大小为 . 8. 在平面直角坐标系中 ， 设 A （ 3 ， 2 ）， B （ -2 ， -3 ）， 沿 y 轴把直角坐标平面折成 120° 的 二面角后 ， AB 的长为 . 9. 在平面 琢 内 ， 已知 AB⊥BC ， 过直线 AB ， BC 分别作平面 茁 ， 酌 ， 使锐二面角 琢鄄AB鄄茁 为 仔 ３ ， 锐二面角 琢鄄BC鄄酌 为 仔 ３ ， 则平面 茁 与平面 酌 所成的锐二面角的余弦值为 . 10. 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 点 P 是棱 AB 上的动点 （ P 点可以运动到端点 A 和 B ）， 设在运动过程中 ， 平面 PDB 1 与平面 ADD 1 A 1 所成的最小角为 琢 ， 则 cos琢= . 11. 如图 ， 在长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 点 E ， F 分别在棱 DD 1 ， BB 1 上 ， 且 2DE=ED 1 ， BF=2FB 1 . （ 1 ） 证明 ： 点 C 1 在平面 AEF 内 ； （ 2 ） 若 AB=2 ， AD=1 ， AA 1 =3 ， 求二面角 A鄄EF鄄A 1 的正弦值 . 拓展 · 探究 A 1 B 1 D 1 C 1 F E D C B A 第 11 题图 20 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 1. 如图 ， 在侧棱 AA 1 垂直底面 ABCD 的四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， P 是棱 DC 上的动点 . 记直线 A 1 P 与平面 ABCD 所成的角为 琢 ， 与直线 D 1 C 1 所成的角为 茁 ， 二面角 D 1 鄄AC鄄B 为 酌 ， 则 琢 ， 茁 ， 酌 的大小关系是 （ ） A. 琢<茁<酌 B. 茁<琢<酌 C. 琢<酌<茁 D. 酌<茁<琢 2. 如图 ， 在 Rt△ABC 中 ， D ， E 分别为 AB ， AC 边上的中点 ， 且 AB=4 ， BC=2. 现将 △ABC 沿 DE 折起 ， 使得 A 到达 A 1 的位置 ， 且二面角 A 1 鄄DE鄄B 为 60° ， 则 A 1 C= （ ） A. 2 2 姨 B. 3 C. 10 姨 D. 2 3 姨 3. 已知二面角 琢鄄l鄄茁 为 60° ， AB奂琢 ， AB⊥l ， A 为垂足 ， CD奂茁 ， C∈l ， ∠ACD=135° ， 则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 （ ） A. 1 4 B. 2 姨 4 C. 3 姨 4 D. 1 2 4. 如图 ， 将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起 ， 使得 C 点至 C′ ， E 点在线 段 AC′ 上 ， 若二面角 A鄄BD鄄E 与二面角 E鄄BD鄄C′ 的大小分别为 30° 和 45° ， 则 AE EC′ = （ ） A. 1 2 B. 6 姨 6 C. 2 姨 2 D. 6 姨 3 5. 如图 ， 已知 △ABC ， D 是 AB 的中点 ， 沿直线 CD 将 △ACD 折成 △A′CD ， 所成二面角 A′鄄CD鄄B 的平面角为 琢 ， 则 （ ） A. ∠A′DB≤琢 B. ∠A′DB≥琢 C. ∠A′CB≤琢 D. ∠A′CB≥琢 6. （ 多选题 ） 已知 △ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板 （ Rt△ACD 与 Rt△BCD ） 第 2 课时 二面角的应用 夯实 · 基础 C B A E C′ D A A′ D C B 第 4 题图 第 5 题图 C B E D A C B D E A 1 圯 第 2 题图 图 2 图 1 A 1 D 1 C 1 C B A D P B 1 第 1 题图 能力 · 提升 21 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 组成的三角形 ， 如图 1 所示 . 其中 ， ∠CAD=45° ， ∠BCD=60°. 现将 Rt△ACD 沿斜边 AC 进行 翻折成 △D 1 AC （ D 1 不在平面 ABC 上 ） . 若 M ， N 分别为 BC 和 BD 1 的中点 ， 则在 △ACD 翻折 过程中 ， 下列命题正确的是 （ ） A. 在线段 BD 上存在一定点 E ， 使得 EN 的长度是定值 B. 点 N 在某个球面上运动 C. 存在某个位置 ， 使得直线 AD 1 与 DM 所成的角为 60° D. 对于任意位置 ， 二面角 D 1 鄄AC鄄B 始终大于二面角 D 1 鄄BC鄄A 7. 《 九章算术 》 中 ， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 . 如图 ， 在鳖臑 P鄄ABC 中 ， PA⊥ 平面 ABC ， AB⊥BC ， 且 PA=AB=BC=1 ， 则二面角 A鄄PC鄄B 的大小是 . 8. 在正三角形 ABC 中 ， 过其中心 G 作边 BC 的平行线 ， 分别交 AB ， AC 于 B 1 ， C 1 ， 将 △AB 1 C 1 沿 B 1 C 1 折起到 △A 1 B 1 C 1 的位置 ， 使点 A 1 在平面 BB 1 C 1 C 上的射影恰是线段 BC 的中点 M ， 则二面角 A 1 鄄B 1 C 1 鄄M 的平面角的大小是 . 9. 如图 ， 已知直四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 为边长为 1 的正方形 ， AA 1 =2 ， M 为棱 CC 1 上一动点 ， 若二面角 M鄄BD鄄B 1 的平面角 兹∈ 仔 4 ， 仔 3 % & ， 则线段 CM 的长度的取值范 围为 . 10. 如图 ， 在四面体 D鄄ABC 中 ， AD=BD=AC=BC=5 ， AB=DC=6. 若 M 为线段 AB 上的动 点 （ 不包含端点 ）， 则二面角 D鄄MC鄄B 的余弦值取值范围是 . A D B C M 60° 45° 圯 A D B M C D 1 N 图 1 图 2 第 6 题图 A C B P D A B C M A 1 B 1 D 1 C 1 第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图 A C M D B 22 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 11. 如图 ， 边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 C C D 所在平面垂直 ， M 是 C C D 上 异于 C ， D 的点 . （ 1 ） 证明 ： 平面 AMD⊥ 平面 BMC ； （ 2 ） 当三棱锥 M鄄ABC 体积最大时 ， 求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 . 拓展 · 探究 A B C D M 第 11 题图 23