第十六章 二次根式（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十六章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估算的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式胡运输，无理数的估算，估算确定出所求范围即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．估算的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和3之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，先根据二次根式的运算法则把化简，再对结果估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 故选B． 2．若估算的值在整数n和之间，则n= ． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 3．估计的值应在 ． 【答案】2和3之间 【分析】先计算出原式等于 ，可得，即可求解． 【详解】解：， ∵ ， ∴的值应在2和3之间． 故答案为：2和3之间． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 类型二、二次根式中的代数最值 【解惑】已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据是整数，即可求解． 【详解】解：， 当时， ，是整数， 故正整数的最小值为． 故选C． 【融会贯通】 1．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，能正确根据24分解质因数是解此题的关键． 先分解质因数，再根据为整数和为正整数得出答案即可． 【详解】解：， 是整数， 正整数的最小值是6． 故选：C． 2．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案． 【详解】解：原式， 均为正整数， 的最小值为1，此时m最小值为5， 的最小值为． 故答案为：5． 3．若是整数，则满足条件的自然数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的定义．熟练掌握二次根式的性质和定义是解题的关键． 根据二次根式的定义得出，然后由是整数可知是完全平方数，再分别列举出可能的情况，最后找出最小值即可． 【详解】解：是整数， ，且是完全平方数， ①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 满足条件的自然数的最小值是3． 故答案为：3． 类型三、二次根式中的数形结合最值 【解惑】阅读下列材料，回答问题： 如图， 点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离. 例如： 故代数式的值看作点（x，y）到点（1，-1）的距离. 已知：代数式 （1）该代数式的值可看作点（x，y）到点 、 的距离之和. （2）求出这个代数式的最小值, （3）在（2）的条件下求出此时y与x之间的函数关系式并写出x的值范围. 【答案】（1）（1，－8）, （－2，2）; （2）;（3） 【分析】（1）利用配方法将代数式中的被开方数配成完全平方式，再根据题中给出的两点之间距离的定义即可求出结果. （2）画出图形观察即可发现当点（x，y）与点（1，－8），（－2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，－8），（－2，2）的之间时，代数式的值最小； （3）利用待定系数法，列出二元一次方程组解出未知数的值即可. 【详解】解：（1）根据材料知： 所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，－8）的距离与点（x，y）到点（－2，2）的距离之和. （2）当代数式取最小值时,即点（x，y）与点（1，－8），（－2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，－8），（－2，2）的中间， ∴的最小值 （3）设过（x，y），且－2≤x≤1,（1，－8），（－2，2）的直线解析式为：y=kx+b则 解得：        ∴ 【点睛】本题主要考查了平面内两点之间的距离公式，认真阅计理解题意是解题的关键. 【融会贯通】 1．定义：平面直角坐标系中，点和点的距离为，例如：点和的距离为． (1)在平面直角坐标系中，点和点的距离是 ，点和点的距离是 ； (2)在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点M的对应点是，点N的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标； (3)已知在平面直角坐标系内两点坐标，，那么这两点之间距离公式为，求：的最小值． 【答案】(1)6；5 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了两点的距离公式及应用： （1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把变形为，则y可以看作是点到点和的距离之和，从而得到当点时，在以点和为端点的线段上时，点到点和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：点和点的距离是， 点和点的距离是； 故答案为：；5 （2）解：∵，的坐标是，， ∴， 解得：或12， ∴的坐标是或， 当的坐标是时，点M先向左平移6个单位，再向下平移8个单位到达点的位置， ∵，将线段平移到， ∴点的坐标为，即； 当的坐标是时，点M先向左平移6个单位，再向上平移8个单位到达点的位置， ∵，将线段平移到， ∴点的坐标为，即； 终上所述，点的坐标或； （3）解：∵， ∴， ∴y可以看作是点到点和的距离之和， ∴当点在以点和为端点的线段上时，点到点和的距离之和最小， 即y的最小值为点和之间的距离，为． 2．先阅读下列一段文字，再解答问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的横坐标为6，点的横坐标为，试求两点间的距离； (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3)8 【分析】 本题主要考查了两点的距离计算公式： （1）利用两点间距离公式计算即可； （2）根据两点横坐标差的绝对值，计算即可； （3）原式表示点到和的距离之和，由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小，据此求解即可． 【详解】（1） 解：∵， ∴． （2） 解：根据题意可知：点A，B在平行于x轴的直线上， ∴． （3） 解：∵表示点到和的距离之和， 又∵两点之间线段最短， ∴点在以和为端点的线段上时，原式值最小， ∴的最小值为： ． 3．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：    (1)已知点，试求C、D两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值是 ． 【答案】(1) (2)5或 (3) 【分析】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． （1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：根据两点的距离公式得，； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴； （3）解：∵看成点到两点和的距离之和， ∴的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， ∵当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， ∴的最小值为． 类型四、二次根式中的规律 【解惑】二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 【融会贯通】 1．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解： ． 2．观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 3．先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用与实数运算相关的规律题，利用二次根式的性质化简．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）由题意知，，然后求解作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴用n（n为正整数）表示的等式为； （3）解：由题意知，， ∴． 类型五、二次根式中的根式有理化 【解惑】阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【答案】(1) (2) (3)选①，；选②， 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式； （2）先求出，，得到，再代入求解即可； （3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解； 选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 【融会贯通】 1．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)的有理化因式是________；的有理化因式是________； (2)观察下面的变形规律，请你猜想：________． ，，… (3)利用上面的方法，请化简： 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)9 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及二次根式的化简，分母有理化，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． （1）根据材料中的定义及二次根式的乘法可以得到解答； （2）根据材料中给出的规律解答； （3）根据（2）得到的规律将式子化简变形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解： ， ， ， … 通过观察可得： 故答案为：； （3）解： ． 2．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：原式 （3）解： 3．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 类型六、二次根式中的新定义 【解惑】定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）由题意得：，化简即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； 【融会贯通】 1．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义得到计算即可． （2）根据定义得到，代入方程计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故x的值为． 【点睛】本题考查了新定义运算，分母有理化，解一元一次方程，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键． 2．在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，． 关于取整运算有部分性质如下： ① ②若n为整数，则 请根据以上材料，解决问题： (1)______；若，，则______； (2)记，求． 【答案】(1)3， (2)43 【分析】本题考查新定义、二次根式的混合运算、分母有理数，（1）根据定义直接求解即可； （2）先进行分母有理化，找出无理数的取值范围，再根据定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：3，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 3．定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由定义直接可得答案； （2）先化简m、n，求出m+n、m-n，mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案； （3）方程的两边同时乘以，得到，两式相加即可求解． 【详解】（1）解：＋的对偶式是， 故答案为：； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵①， ∴， ∴， ①+②得： 20-x=25， ∴x=-5， 经检验，x=-5是原方程的解， ∴原方程的解是x=-5． 【点睛】本题考查二次根式的及相关的运算，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． 类型七、海伦——秦九韶公式 【解惑】人教版初中数学教科书八年级下册第页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为，，，则可求得其面积．，其中为半周长，即；若一个三角形的三边长，，分别为，，，请利用该公式求该三角形面积． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查二次根式的运算，平方差公式，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 先将，，分别代入，求出值，再将，，，值分别代入，根据二次根式的运算和平方差公式计算即可． 【详解】解：当若一个三角形的三边长，，分别为，，时， 代入，可得， 再将，，，分别代入中， 可得， 即， 解得， 答：该三角形面积为． 【融会贯通】 1．我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先由题意得出，再根据海伦公式计算即可得出答案； （2）先求出，，，再由秦九韶公式即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 由海伦公式，得； （2）解：∵，，， ∴，，， 由秦九韶公式，得． 2．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)9， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接代入求解即可； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 3．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把三角形的三边的长代入p，然后代入S，计算即可得解； （2）把三角形的三边的长代入S，计算即可得解． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解： ． 【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算． 类型八、整数部分与小数部分 【解惑】在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，主要通过构造“拟对象”、逐步扩充元素、逐步扩充范围、放缩逼近、合力逼近等方式解决问题．例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你根据阅读内容回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么_________，__________； (2)的整数部分是_________，小数部分是_________； (3)已知的小数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)2， (3)1 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键． （1）从2的平方开始计算，发现2的平方等于4，3的平方等于9，5在两数之间，进而得到的近似值． （2）这个数减去整数部分，差就是小数部分，可得答案． （3）估算出与的取值范围，故可得出x与y的值，代入代数式进行计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ，， 故答案为：2，3； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故答案为：2，； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【融会贯通】 1．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分是． （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 2．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是－1，请解答以下问题： (1)的小数部分是________，的小数部分是________； (2)若，其中x为正整数，，求的值； (3)若表示不超过x的最大整数，如：，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、分母有理化，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）估算出、的大小，即可得出答案； （2）估算出，结合题意得出，，代入计算即可得解； （3）分别求出，，，，的值，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为； ∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，其中x为正整数，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∴． 3．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 类型九、复合二次根式化简 【解惑】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 2．观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 【答案】(1)， (2)；理由见解析 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用； （1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可； （2）由题意知，，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵， ∴ 即， ∴ 3．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：. 例如化简： 解：首先把化为， 这里，， 由于，， 所以， 所以 （1）根据上述方法化简： （2）根据上述方法化简： （3）根据上述方法化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据题意把题目中的无理式转化成的形式，然后仿照题意化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （3）∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键． 类型十、拓展——基本不等式 【解惑】阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 【融会贯通】 1．阅读理解：若a、b都是非负实数，则，当且仅当时，“=”成立． 证明：∵， ∴， ∴，当且仅当时，“=”成立． (1)已知，求的最小值； (2)求代数式：的最小值； 【答案】(1)2 (2)4 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方式．解题的关键是正确理解题目所给的结论． （1）根据题目所给结论，进行解答即可； （2）将原式整理为，再根据题目所给的结论进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ∵， ∴当且仅当时，即时，， 即， ∴的最小值为2． （2）解：， ∵， ∴， ∴当且仅当时，即时， ， 即， ∴的最小值为4． 2．阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时： ∵，∴． ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)请直接写出答案：当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)若 ，求y的最小值； (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)，； (2) (3)25 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，等高三角形的面积问题，正确理解已知结论，并灵活运用是解题关键． （1）结合已知结论求解即可； （2）由可知，，再结合已知结论求解即可； （3）设，由等高三角形可知：， 进而得到，再根据四边形面积，结合已知结论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，， ， ， 当时，的最小值为；当时，的最大值为， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：设， ，， 由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积， 当且仅当时，取等号， 四边形面积的最小值为25． 3．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)6， (2) (3)60米 【分析】本题考查了配方法的应用，二次根式的应用，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 又， ，当且仅当时取等号． 的最小值为6； ， ， ， 又， ，当且仅当时取等号． ， 的最大值为． 故答案为：6；； （2）解：， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为， 的最小值为， 即的最小值为； （3）解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类二次根式的法则，二次根式的乘除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 2．估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再算加减，然后再估算出的值的范围，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在到之间， 故选：C． 3．实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 4．已知，则值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值性质的应用以及实数混合运算，由二次根式定义可知，，所以，故方程为，可得，代入即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 5．已知为实数，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件和算术平方根，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用算术平方根的意义求解． 根据二次根式和分式有意义的条件得出x，y的值，代入求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 即且， 所以， 又∵，即 ∴， 故， 故答案为：3． 6．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 7．先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 8．阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算及实数大小比较，先平方得，求出，比较大小得，即可求解；能熟练进行无理数运算及大小比较是解题的关键． 【详解】解：设， 两边平方得 ， 所以， 又因为， 所以． 9．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ∴， ∴． 10．如图，点为所在平面内的一点，连接，． (1)如图，点为外一点，点在边的延长线上，连接．若，，，求的度数： (2)如图，点为内一点，若，，求证：； (3)如图，在（）的条件下，延长交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，角度和差，线段和差，等腰三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，，然后证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （）延长交于点，过作于点，交延长线于点，设，通过角度和差求出，，然后证明，由全等三角形的性质可得，，再证明即可； （）延长交于点，过作于点，交延长线于点，过作于点，则，根据等腰三角形的性质得，从而可求，然后由勾股定理和直角三角形的性质，线段和差即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于点，过作于点，交延长线于点， ∴， ∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长交于点，过作于点，交延长线于点，过作于点，则， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∵， 同（）理得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， 由（）得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估算的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【融会贯通】 1．估算的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和3之间 2．若估算的值在整数n和之间，则n= ． 3．估计的值应在 ． 类型二、二次根式中的代数最值 【解惑】已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．8 【融会贯通】 1．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．24 2．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 3．若是整数，则满足条件的自然数的最小值是 ． 类型三、二次根式中的数形结合最值 【解惑】阅读下列材料，回答问题： 如图， 点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离. 例如： 故代数式的值看作点（x，y）到点（1，-1）的距离. 已知：代数式 （1）该代数式的值可看作点（x，y）到点 、 的距离之和. （2）求出这个代数式的最小值, （3）在（2）的条件下求出此时y与x之间的函数关系式并写出x的值范围. 【融会贯通】 1．定义：平面直角坐标系中，点和点的距离为，例如：点和的距离为． (1)在平面直角坐标系中，点和点的距离是 ，点和点的距离是 ； (2)在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点M的对应点是，点N的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标； (3)已知在平面直角坐标系内两点坐标，，那么这两点之间距离公式为，求：的最小值． 2．先阅读下列一段文字，再解答问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的横坐标为6，点的横坐标为，试求两点间的距离； (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 3．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：    (1)已知点，试求C、D两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值是 ． 类型四、二次根式中的规律 【解惑】二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【融会贯通】 1．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 2．观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 3．先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 类型五、二次根式中的根式有理化 【解惑】阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【融会贯通】 1．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)的有理化因式是________；的有理化因式是________； (2)观察下面的变形规律，请你猜想：________． ，，… (3)利用上面的方法，请化简： 2．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 3．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 类型六、二次根式中的新定义 【解惑】定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【融会贯通】 1．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 2．在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，． 关于取整运算有部分性质如下： ① ②若n为整数，则 请根据以上材料，解决问题： (1)______；若，，则______； (2)记，求． 3．定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 类型七、海伦——秦九韶公式 【解惑】人教版初中数学教科书八年级下册第页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为，，，则可求得其面积．，其中为半周长，即；若一个三角形的三边长，，分别为，，，请利用该公式求该三角形面积． 【融会贯通】 1．我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 2．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 3．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积． 类型八、整数部分与小数部分 【解惑】在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，主要通过构造“拟对象”、逐步扩充元素、逐步扩充范围、放缩逼近、合力逼近等方式解决问题．例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你根据阅读内容回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么_________，__________； (2)的整数部分是_________，小数部分是_________； (3)已知的小数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【融会贯通】 1．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 2．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是－1，请解答以下问题： (1)的小数部分是________，的小数部分是________； (2)若，其中x为正整数，，求的值； (3)若表示不超过x的最大整数，如：，，求的值． 3．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 类型九、复合二次根式化简 【解惑】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【融会贯通】 1．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 2．观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 3．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：. 例如化简： 解：首先把化为， 这里，， 由于，， 所以， 所以 （1）根据上述方法化简： （2）根据上述方法化简： （3）根据上述方法化简： 类型十、拓展——基本不等式 【解惑】阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【融会贯通】 1．阅读理解：若a、b都是非负实数，则，当且仅当时，“=”成立． 证明：∵， ∴， ∴，当且仅当时，“=”成立． (1)已知，求的最小值； (2)求代数式：的最小值； 2．阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时： ∵，∴． ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)请直接写出答案：当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)若 ，求y的最小值； (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 3．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当时，求的最小值． 解：，又 ，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　　；当时，的最大值为 　　． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 3．实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则值等于 ． 5．已知为实数，，则 ． 6．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 7．先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 8．阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 9．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算∶_____． (2)计算：； (3)若，求的值． 10．如图，点为所在平面内的一点，连接，． (1)如图，点为外一点，点在边的延长线上，连接．若，，，求的度数： (2)如图，点为内一点，若，，求证：； (3)如图，在（）的条件下，延长交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$