16.1 二次根式 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

16.1 二次根式 一、二次根式的定义 形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。二次根式必须满足两个条件：一是含有二次根号；二是被开方数a必须是非负数。被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。 二、二次根式的性质 1.非负性：√a（a≥0）是一个非负数。 2.（√a）2=a（a≥0）。此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成√a的形式。 巩固课内例1:二次根式有意义 1．若函数有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是 ． 3．已知，且为偶数，求的值． 巩固课内例2:二次根式化简(根号外平方) 1．化简的结果是（    ） A． B．3 C． D．9 2． ；若 为非负数，则 ． 3．计算： （1）； （2）． 巩固课内例3:二次根式化简(根号内平方) 1．化简的结果是（   ） A．2 B． C． D．4 2．化简 ． 3．说出下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 类型一、二次根式有意义时求取值范围 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．有意义，则x的取值范围为 ． 3．求下列式子有意义的的取值范围 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 类型二、二次根式的认识 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 3．找出下列二次根式． (1)； (2)； (3)． 类型三、二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 2．当时，的值是 ． 3．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 类型一、二次根式的整数解 1．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 2．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 3．已知是整数，求自然数n的值． 类型二、二次根式的非负性 1．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．已知、是实数，且，求的值． 类型三、二次根式中的程序图 1．按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（    ） A． B．6 C． D． 2．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 ．．．．．． 输出 ．．．．．．． 那么当输入数据为8时，输出的数据是 3．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 类型一、二次根式的数轴化简 1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 2．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 3．已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 类型二、二次根式的移根化简 1．把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．把二次根式根号外面的因式移到根号内 类型三、复合二次根式的化简 1．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 2．计算的结果是 ． 3．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 1．二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 4．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 5．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 6．若x，y为实数，且，则 ． 7．求下列各个二次根式中x的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 8．通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 9．通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 10．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1 二次根式 一、二次根式的定义 形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。二次根式必须满足两个条件：一是含有二次根号；二是被开方数a必须是非负数。被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。 二、二次根式的性质 1.非负性：√a（a≥0）是一个非负数。 2.（√a）2=a（a≥0）。此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成√a的形式。 巩固课内例1:二次根式有意义 1．若函数有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 由被开方数为非负数，可得，再根据不等式的性质求解集即可求解． 【详解】解：函数有意义， ∴， ∴， 故选：D ． 2．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．已知，且为偶数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的非负性及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 由二次根式的非负性可确定x的取值范围，再根据x为偶数可确定x的值，然后对原式先化简再代入求值. 【详解】解：∵， ∴ 解得，， ∵为偶数，， ∴， ∴ ． 巩固课内例2:二次根式化简(根号外平方) 1．化简的结果是（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，一个数的算术平方根是正数，理解相关知识是解答关键． 根据负数的平方是正数，一个数的算术平方根是正数来求解． 【详解】解：． 故选：D． 2． ；若 为非负数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质，根据，可得答案； 【详解】解：， 当 为非负数，则， 故答案为：， 3．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1.5；（2）20 【分析】根据二次根式的乘方法则计算． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查二次根式的乘方，属于基础题型． 巩固课内例3:二次根式化简(根号内平方) 1．化简的结果是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行求解即可． 【详解】解：； 故选D． 2．化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 3．说出下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0.3；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据化简可得； （2）根据化简可得； （3）根据化简可得； （4）根据化简可得． 【详解】解：（1）原式＝0.3； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质：． 类型一、二次根式有意义时求取值范围 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据在实数范围内有意义，得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：在实数范围内有意义， ，解得， 故选：B． 2．有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 3．求下列式子有意义的的取值范围 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)且； (3)； (4)； (5)全体实数； (6) 【分析】此题考查了二次根式和分式有意义的条件， （1）根据分式有意义的条件和被开方数非负得到，解不等式即可得到答案； （2）根据分式有意义的条件和被开方数非负得到，解不等式组即可得到答案； （3）根据分式有意义的条件和被开方数非负得到，解不等式组即可得到答案； （4）被开方数非负得到，又因为，即可得到答案； （5）由即可得到答案； （6）根据被开方数非负得到，解不等式组即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴有意义的的取值范围是； （2）由题意可得，， 解得且， ∴有意义的的取值范围是且； （3）由题意可得， 解得； ∴有意义的的取值范围是； （4）由题意可得，， ∵， ∴，即， ∴有意义的的取值范围； （5）∵， ∴有意义的的取值范围全体实数； （6）由题意可得， 解得， ∴有意义的的取值范围是 类型二、二次根式的认识 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】③④⑥ 【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：③④⑥． 3．找出下列二次根式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是二次根式 (2)是二次根式 (3)是二次根式 【分析】本题考查了二次根式的意义，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解此题的关键． （1）根据结合二次根式的意义判断即可得出答案； （2）根据结合二次根式的意义判断即可得出答案； （3）由题意得出，结合二次根式的意义判断即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是二次根式； （2）解：∵， ∴是二次根式； （3）解：∵， ∴， ∴是二次根式． 类型三、二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 2．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 类型一、二次根式的整数解 1．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 2．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 3．已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 类型二、二次根式的非负性 1．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据有意义，得出，进而化简已知等式得出，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 3．已知、是实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，求不等式组的解集，化简二次根式，先根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进一步可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型三、二次根式中的程序图 1．按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】判断出的大小关系，根据程序流程图，代入相应的代数式，进行求解即可． 【详解】解：∵，即：， 由流程图可得：； 故选A． 【点睛】本题考查程序流程图．按照程序流程图的顺序，进行计算求值，是解题的关键． 2．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 ．．．．．． 输出 ．．．．．．． 那么当输入数据为8时，输出的数据是 【答案】 【分析】观察数据可得输入的数据先求算术平方根，然后乘以，即可求解． 【详解】依题意，，，，…… ∴当输入数据为8时，输出的数据是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，数字类规律题，找到规律是解题的关键． 3．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 类型一、二次根式的数轴化简 1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【答案】 【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【详解】 解：由数轴可知：，，， ∴ ． 故答案为：． 3．已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，且，则，，，然后化简，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解：根据实数，，在数轴上对应点的位置可得：，且， ∴，，， ∴原式． 类型二、二次根式的移根化简 1．把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：, 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式性质，熟练掌握二次根式性质化简是解决问题的关键． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握是解题的关键，根据进行化简即可． 【详解】解：， 由于， ∴， 故答案为：． 3．把二次根式根号外面的因式移到根号内 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，首先根据既在根号下又在分母中，可得，所以原式可以化为，然后把根号外面的式子写到根号里面可得，把根号里面的部分约分即可． 【详解】解：既在根号下又在分母中， ， ， ． 类型三、复合二次根式的化简 1．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 3．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 1．二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：B． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质“”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 3．已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，即可求解； 【详解】解：， ， ； 故答案为：B 4．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得，求出答案即可． 【详解】根据题意，得， 解得． 故答案为：． 5．设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 6．若x，y为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式是解题的关键． 根据二次根式可得且，从而可得，，然后把，的值代入式子中进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 且， 解得：且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．求下列各个二次根式中x的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 (4) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件： （1）根据被开方数为非负数，进行求解即可； （2）根据被开方数为非负数，进行求解即可； （3）根据被开方数为非负数，进行求解即可； （4）根据被开方数为非负数，进行求解即可； 【详解】（1）解：，解得：； （2），解得：； （3）∵，故x为任意实数； （4），解得：． 8．通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 【答案】(1)①4，；② (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算,实数与数轴以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出； （2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简， 合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意①； ； 探究：对于任意非负有理数，． 故答案为：4，； ②； 探究：对于任意负有理数，． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：2，3，，； （2）解：观察数轴可知：，，，． ． 9．通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． （1）将7分成，利用完全平方公式即可求出结论； （2）由（1）可得，整理得，再将12分成，利用完全平方公式即可求出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 学科网（北京）股份有限公司 $$