6.2.3&6.2.4组合与组合数（共2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3 组合＋6.2.4 组合数 第 六 章 计 数 原 理 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 2.排列数：把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，符号 : 1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 区别：一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数； 排列数是所有排列的个数，它是一个数. 3.排列数公式： 4.全排列：排列数公式中，即有 规定： 章节导读 0 6.1分类加法、分步乘法 6.2排列与组合 6.3二项式定理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 二项式定理 二项式系数的性质 排列数 组合 组合数 排列 学习目标 1 2 3 了解组合与组合数的定义，并能区别组合与组合数． 记住组合数的公式及性质，并能运用公式求简单组合数． 通过运用计数原理分析并解决具体的组合问题，掌握组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数． 0 读教材 0 阅读课本P21-P25，5分钟后完成下列问题： 1.组合的定义是什么？组合与排列的区别是什么？ 我们一起来探究组合与组合数吧！ 2.组合数的定义与公式是什么？与排列数公式有什么联系？ 01 03 02 目录 1 组合的定义 2 组合数公式 学习过程 3 题型训练 新知探究 1 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：从甲、乙、丙3名同学 中选出2名去参加某天一项活动， 有多少种不同的选法？ 思考1：将具体问题背景舍去，上述问题可以概括为？ 列举：甲乙、甲丙、乙丙， 共有3种. 列举：甲乙、甲丙、乙丙、乙甲、丙甲、丙乙、6种. 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列. 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组 新知探究 1 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：从甲、乙、丙3名同学 中选出2名去参加某天一项活动， 有多少种不同的选法？ 思考2：这两个问题有何不同？ 列举：甲乙、甲丙、乙丙， 共有3种. 列举：甲乙、甲丙、乙丙、乙甲、丙甲、丙乙、6种. 组合问题 组合与元素顺序无关 问题1：要考虑顺序 问题2：不要考虑顺序 排列问题 排列与元素顺序有关 新知探究 1 探究1 通过以上例子，你能归纳排列和组合之间的对应关系吗？ 甲乙 甲乙，乙甲 甲丙 甲丙，丙甲 乙丙 乙丙，丙乙 组合 排列 组合和排列的关系： n个不同元素 m个元素 m个元素的全排列 第一步 组合 第二步 排列 构造排列可以分成两步完成，先取后排；组合是排列中的第一个步骤. 因此组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果. 1 新知1－－组合的定义 排列 组合 “组合”与“排列”的联系与区别 排列 组合 相同点 不同点 完成这件事情 共分几步 从n个不同元素中取出m个元素 元素的顺序有关 元素的顺序无关 第一步、取 第二步、排 仅一步、取 AB和BA是不同的排列 AB和BA是相同的组合 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 一般地，从个不同元素中取出 个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 1 思考：判断下列两类问题是排列问题还是组合问题？ 问题1：从1，3，7，14这4个数中任取2个不同的数相减， 可得多少个不同的差？ 问题3：平面内有A，B，C，D，E共5个点，以其中2个点为端点的向量共有多少个？ 问题2：从1，3，7，14这4个数中任取2个不同的数相加， 可得多少个不同的和？ 问题4：平面内A，B，C，D，E共5个点，任何三点不共线，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？ 排列 排列 组合 组合 新知1－－组合的定义 问题1和3：要考虑顺序 问题2和4：不用考虑顺序 学以致用 例1 在A，B，C，D 四位候选人中. (1)若选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果？ 学以致用 例2 在A，B，C，D 四位候选人中. (2)若选举两人一起收作业，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； 学以致用 例3 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？ 请写出所有组合. 解：先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合 逐个写出来，如图所示： 由此可得所有的组合： ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种. 学以致用 例4 从5名同学中推选4人去参加一个会议，则推选方法种数是（ ） A.10 B.5 C.4 D.1 B 解：组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法，故选B. 思路点拨 判断排列问题、组合问题的一般思路： (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中 取出m(m≤n)个不同的元素即可. (2)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关， 与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. (3)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何， 这两个组合就是相同的组合. 01 03 02 目录 学习过程 1 组合的定义 2 组合数公式 3 题型训练 新知探究 2 问题：你能根据排列数的定义，总结出组合数的定义吗？ 组合数 排列数 把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的 排列数， 符号 : 从个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的 组合数， 用符号表示. 2 新知2－－组合数及其公式 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数， 叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. 取出元素个数 元素总数 组合的 第一个字母 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如: 从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为； 从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为； 新知探究 2 探究2：我们前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用它们的这种关系， 由排列数求出组合数公式呢？ 关系：构造排列可以分成两步完成，先取后排；组合是排列中的第一个步骤. 因此组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果. ①从3个不同元素a, b, c中取出2个元素： 组合 ab 排列 ac bc ac ca bc cb ab ba 由此可得 ab, ac, bc 3个不同的组合 新知探究 2 探究2：我们前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用它们的这种关系， 由排列数求出组合数公式呢？ ②从4个不同元素a, b, c, d 中取出3个元素: 组合 排列 由此可得 abc abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 2 新知2－－组合数及其公式 组合数公式 求“从个元素中取个元素的排列数”，由以下两个步骤得到： 第1步：从个元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步：将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，有. ，这里，，并且. 因为 规定 规定 规定 学以致用 例1 从1，3，7，14这4个数中任取2个不同的数相加，可得多少个不同的和？ 解: F1:公式法 和的个数就是从4个不同元素中取出2个元素的组合数，即 解: F2:列举法 选法有：1＋3＝4；1＋7＝8； 1＋14＝18；3＋7＝10； 3＋14＝17；7＋14＝21； 学以致用 例2 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 解：从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数有： 56 学以致用 例2 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 解：从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个， 取法种数有： 21 学以致用 例2 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球， 取法种数有： 35 学以致用 例3 平面内这4个点中任何3个点都不在一条直线上， 写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数？ 解：F1:与顺序无关是组合问题，从另一个方面考虑问题，可以转化为从4个点中抽出一个点，以剩下的三个点组成一个三角形. 抽出的方法有4种，剩下的三个点组成的三角形也有4个.△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个. 4个 解: F2:公式法 题目就是从4个不同元素中取出3个元素的组合数，即 思路点拨 写出有关问题的组合的一般思路： 注意：确定列举时要不重不漏. 1. 由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置.如写出后，不必再交换位置为，因为它们是同一组合， 2. 画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏. 01 03 02 目录 学习过程 3 题型训练 1 组合的定义 2 组合数公式 3 例1 计算：(1)；(2)；(3)；(4). 解：根据组合数公式，可得 (1)； (2)； (3)； (4). 题型1－－组合的性质1 观察(1)和(1)，(1)和(4)的结果你有什么发现？ 组合数性质： 补充－－组合的性质1 该性质反映了组合数的对称性. 组合是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法). 因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样. 即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数 ，也就是 组合数性质1： 证明：因为，所以= 直观解释： 补充－－组合的性质2 组合数性质2： 证明：因为+= 直观解释： 该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能. 如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法. 由分类加法计数原理，得 3 例2 若10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ 解：组合问题：甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话， 所以一共有:通话. 题型2－－两类计数原理的综合应用 3 例3 求证： 证明： 题型1－－两类计数原理的综合应用 例4 求证： 证明：∵ ， ∴原式成立. 课堂小结 组合 AB和BA是相同的组合 一般地，从个不同元素中取出 个元素作为一组， 叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 组合数 从个不同元素中取出个 元素的所有不同组合的个数， 叫做从个不同元素中取出个元素 的组合数，用符号表示. 取出元素个数 元素总数 组合的 第一个字母 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 课堂小结 组合数公式 ，这里，，并且. 因为 规定 规定 规定 组合数性质1： 组合数性质2： 解：从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有＝12(种)选法，所有可能的选举结果： AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. 解：从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD， 有6种选法。 $$