精品解析：河北省保定市高碑店市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，与直线l的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对 2. 抛物线的开口方向为（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 3. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 4. 下列数中，能使方程成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 5. 如图，，由作图痕迹，可知（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是由四个小正方体叠成的一个立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，P，Q分别为平行四边形边，的中点，O为与的交点，在对角线上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N． 淇淇： 分别过点P，Q作于点M，于点N． 下列说法正确的是（ ） A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 9. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数，与之间有如下表的关系． /厘米 1 2 3 5 /米 14 7 2.8 当某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为10米时，他两腿迈出的步长之差为（ ） A. 0.5厘米 B. 1.2厘米 C. 1.4厘米 D. 2.1厘米 10. 如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（为圆心），过，两点的切线交于点，测得，米，则这段公路的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 如图，在正方形中，M为边上的一点，，，过点M作，交于点N，连接并延长，交的延长线于点P，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 对任意实数，二次函数满足，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在矩形中，若对角线，则______． 14. 已知，则______． 15. 如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点B，以为边在的左侧作菱形，顶点C，D在y轴上，则点C的坐标为______． 16. 如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，其中一个正六边形的外接圆与交于点A．若外接圆的半径为2，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知一元二次方程． （1）当时，求方程的根． （2）若，，是该方程的两根，求的值． 19. 如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求与的函数关系式． （2）当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间． （3）若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以原点为位似中心，在第四象限内画出与位似的，使与的相似比为． （2）在（1）的条件下，点的坐标为________，与的周长比是________，与的面积比是________． 21. 如图，正五边形的五个顶点上放着五个写有不同数字的小球（和数字不同，其他均一样），从中随机选取一个小球后不放回，再从与第一个小球不相邻的两个小球中随机选取一个．例如：第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个，小球上的数字如下表所示． 小球 小球 小球 小球 小球 （1）若第一次选择小球，则第二次选中小球的概率为________． （2）补全树状图，并求两次选取的小球数字符号相同的概率． 22. 无人机表演已成为一种新型的演出形式．如图，三架无人机同时从点A处起飞，无人机爱好者甲、乙、丙三人站在一条直线上的B，D，C三处操纵无人机进行表演，，，，．点E和点F处分别有一名观察员，，，且点A，B，C，D，E，F都在同一平面内． （1）求的值． （2）若，求的值． 23. 图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆，，及是支撑杆，点在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点，的延长线交半圆于点． （1）求半径的长． （2）乘坐时，点到地面的高度为多少？ （3）请直接写出乘坐时，地面上点与点之间的距离． 24. 如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． （1）当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． （2）嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． （3）若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，与直线l的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的几种位置关系．根据直线与圆有两个交点即可解答． 【详解】解：∵直线与圆有两个交点， ∴直线与圆的位置关系是相交． 故选：A． 2. 抛物线的开口方向为（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线的开口方向为向上， 故选：A． 3. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 4. 下列数中，能使方程成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图，，由作图痕迹，可知（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、求角的正弦值，由作图痕迹可得，从而得出为等腰直角三角形，即，即可得解． 【详解】解：如图： 由作图痕迹可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，这是由四个小正方体叠成的一个立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，理解三视图的定义是解答的关键．根据俯视图是从上面看到的形状图求解即可． 【详解】解：由图知，该几何体的俯视图是， 故选：C． 7. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题考查用列表法或画树状图法求概率，解决本题的关键是画树状图把所有可能出现的结果表示出来，可知共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种，即可求解． 【详解】解：画树状图，如下图所示， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种， 两人恰好选中同一根绳子的概率是．   故选： ． 8. 如图，P，Q分别为平行四边形边，的中点，O为与的交点，在对角线上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N． 淇淇： 分别过点P，Q作于点M，于点N． 下列说法正确的是（ ） A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定定理，由平行四边形的性质可得，，证明得出，由作图可得，即可判断嘉嘉的作法；证明得出，即可判断淇淇的作法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形，故嘉嘉正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故淇淇错误； 故选：A． 9. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数，与之间有如下表的关系． /厘米 1 2 3 5 /米 14 7 2.8 当某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为10米时，他两腿迈出的步长之差为（ ） A. 0.5厘米 B. 1.2厘米 C. 1.4厘米 D. 2.1厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：设y与x之间的函数表达式为， ∴， 解得：， 则y与x之间的函数表达式为， 当米时，即 则 则他两腿迈出的步长之差为1.4厘米 故选：C． 10. 如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（为圆心），过，两点的切线交于点，测得，米，则这段公路的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，多边形内角和，弧长公式，根据圆的切线定义可知，再由多边形内角和求出，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，过，两点的切线交于点， ∴， ∴ ∴米 故选：B 11. 如图，在正方形中，M为边上的一点，，，过点M作，交于点N，连接并延长，交的延长线于点P，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，结合得出，从而得出，，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：∵M为边上的一点，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12. 对任意实数，二次函数满足，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用特值法是解本题的关键． 由题意可得，可令即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， 令，则， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在矩形中，若对角线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的对角线相等即可得解，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，对角线， ∴， 故答案为：． 14. 已知，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是把等式的两边同时乘以最简公分母，得到． 【详解】解：把两边同时乘以， 可得：． 故答案为： ． 15. 如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点B，以为边在的左侧作菱形，顶点C，D在y轴上，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理等知识点， 熟练掌握反比例函数的图象与性质及菱形的性质是解题的关键． 根据题意可求出点的坐标，然后利用菱形的性质可得，再利用勾股定理求得，进而可求出点C的坐标． 【详解】解：∵过点作轴，交反比例函数的图象于点， ∴点的横坐标为， 将代入反比例函数，得： ， ∴点， ∵四边形是菱形， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 故点坐标为：， 故答案为：． 16. 如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，其中一个正六边形的外接圆与交于点A．若外接圆的半径为2，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理，令两个全等的正六边形重合的边为，连接，，令与交于点，则，，，，证明出为等边三角形，得出，求出即可得解． 【详解】解：如图：令两个全等的正六边形重合的边为，连接，，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算、零指数幂，根据特殊角的三角函数并结合零指数幂计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 已知一元二次方程． （1）当时，求方程的根． （2）若，，是该方程的两根，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和根与系数的关系， 将已知值b代入，利用直接开平方法解方程即可， 将已知值b代入，结合根与系数的关系即可求得代数式的值． 【小问1详解】 解：当时，方程为， 则， 解得． 【小问2详解】 解：若，则方程为． ∵，是该方程的两根， ∴，， ∴． 19. 如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求与的函数关系式． （2）当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间． （3）若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______． 【答案】（1） （2）天 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量取值求函数值，解不等式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可； （3）根据反比例函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：设， 点在其图象上， ， ， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 答：该工程队完成工程所需的时间为天； 【小问3详解】 解：根据反比例函数图象知：若完成工程的天数小于天，则， 故答案为：． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以原点为位似中心，在第四象限内画出与位似的，使与的相似比为． （2）在（1）的条件下，点的坐标为________，与的周长比是________，与的面积比是________． 【答案】（1） 解：如图，即为所作． （2）；； 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）把点的横纵坐标都分别乘以2得到点和的坐标，然后描点即可． （2）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知， ∵与的相似比为， ∴与的周长比是，与的面积比是； 故答案为：；；． 21. 如图，正五边形的五个顶点上放着五个写有不同数字的小球（和数字不同，其他均一样），从中随机选取一个小球后不放回，再从与第一个小球不相邻的两个小球中随机选取一个．例如：第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个，小球上的数字如下表所示． 小球 小球 小球 小球 小球 （1）若第一次选择小球，则第二次选中小球的概率为________． （2）补全树状图，并求两次选取的小球数字符号相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个，即可求解； （2）根据题意，补全树状图，求解两次选取的小球数字符号相同的概率即可； 【小问1详解】 解：第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个， 第二次选中小球的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：补全树状图如下． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中符合条件的结果共有种， ∴ 22. 无人机表演已成为一种新型的演出形式．如图，三架无人机同时从点A处起飞，无人机爱好者甲、乙、丙三人站在一条直线上的B，D，C三处操纵无人机进行表演，，，，．点E和点F处分别有一名观察员，，，且点A，B，C，D，E，F都在同一平面内． （1）求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，正切的定义，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由含30度直角三角形的性质可得出，进而可得出，再证明，由相似三角形的性质可得出； （2）由正切的定义得出，由（1）知，，则，根据平行线的性质得出，由勾股定理即可得出，再根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∴． 由（1）知，，又， 则． ∵，， ∴，即． 在中，， ∴． 23. 图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆，，及是支撑杆，点在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点，的延长线交半圆于点． （1）求半径的长． （2）乘坐时，点到地面的高度为多少？ （3）请直接写出乘坐时，地面上点与点之间的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点作于点．得出，根据半圆与地面相切，得出．结合，证明， 求出，再求出，根据点到地面的高度即为的长，即可求解． （3）由题意可知的长即为弧的长，根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解： ∵，， ∴． ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ∵，， ∴， ∴． ∵半圆与地面相切于点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴点到地面的高度即为的长， ∴点到地面的高度为． 【小问3详解】 解：由题意可知的长即为弧的长， ∴． 【点睛】该题主要考查了弧长公式，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质，垂径定理等知识点，解题的关键是理解题意． 24. 如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． （1）当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． （2）嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． （3）若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）①；②点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为，求出当时的的值即可得解； （2）由抛物线解析式得出，将代入得出，即可得解； （3）①由题意可得抛物线的对称轴为直线，求出，再将、代入抛物线解析式计算即可得解；②由①可得：，，，根据并结合题意得出或，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当，时，抛物线的解析式为， 当时，，此时该抛物线与y轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵A为顶点的抛物线， ∴， 将代入得：， 即， ∵k与m满足一次函数， ∴，； 【小问3详解】 解：①∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 在中，当时，，即， 将、代入抛物线解析式可得：， 解得：或， 当时，，故不符合题意，舍去； 当时，， ∴抛物线的解析式为； ②由①可得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴或， 当时，，解得：或，此时或； 当时，，解得：或，此时或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $