专题突破 乘法公式的应用-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

专题突破：乘法公式的应用 技巧点拨： 平方差公式: 完全平方公式: 对于平方差公式、完全平方公式的应用要注意灵活转化，要抓住公式的典型特征；常见的变化类型有：位置变化、系数变化、指数变化、符号变化、增项变化、增因式变化。 题型一 运用乘法公式简便运算 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)899 (2)99.99 (3)9996 (4)999991 【分析】本题考查了平方差公式的运用，两个二项式相乘，把这两个二项式转化为有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． （1）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （2）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （3）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （4）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1-1】（湖北武汉·期中）计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【答案】D 【分析】此题主要考查利用平方差公式简便运算．根据，两次利用平方差公式即可简便运算． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是平方差公式，将原式变形为，然后再按平方差公式计算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【变式1-3】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行简便计算是解题的关键．根据平方差公式进行简便计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式1-4】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及平方差公式，根据平方差公式将恒等变形求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-5】（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的运算，先将算式转化为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： 【变式1-6】（24-25七年级上·上海虹口·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式以及积的乘方逆运算，先整理得出，再运算乘方和平方差公式，最后去括号，进行加减运算，即可作答． 【详解】解： ． 题型二 平方差公式的应用 【例2】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：（结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，先添加因式，然后连续多次运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式．再原式的基础上乘以，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2-2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用，有理数的运算等知识点，先将式子提取负号后，利用加法交换律组合，利用平差公式进行因数分解，然后找规律计算即可得解，熟练掌握并灵活运用平差公式是解决此题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，首先根据平方差公式计算，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 题型三 平方差公式与几何图形 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 【答案】(1)； (2)B (3)； 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字作呈现的规律是得出正确答案的关键． （1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积；图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可； （2）由图2、图3面积相等可得答案； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的面积可表示为：， 图3中阴影部分的面积可表示为：； （2）解：由图2、图3面积相等得，， 故选： B； （3）解：原式， ， ， ， ∵， ， ∴的个位数字为． 【变式3-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：第1个图中阴影部分的面积为：， 第2个图中阴影部分的面积为， 因此有， 故选：D． 【变式3-2】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用两种方法表示出图形的面积即可． 【详解】解：第一个图形的面积是， 第二个图形的大平行四边形的面积为， ． 故选：C． 【变式3-3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可． 【详解】解：该平行四边形的面积为， 故选：C． 【变式3-4】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【答案】 / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 【变式3-5】（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【变式3-6】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2)； (3)39999 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积； （2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式； （3）根据（2）的结论将原式变形，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得；， 故答案为：；； （2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同， ∴， 故答案为：；； （3）解： ． 题型四 配方法的应用 【例4-1】（2023·四川达州·模拟预测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)23 (2)21 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）根据完全平方公式得，将代入即可得解； （2）根据完全平方公式得，将代入即可得解． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ． 【例4-2】（2024八年级下·全国·专题练习）已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 【变式4-1】（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，，两等式左右两边分别相减，可得到，将，利用完全平方公式，变为，再将上面的式子的值代入，问题得解． 【详解】解：∵，， ∴， 即： ， 故答案为：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．将式子配方成，根据平方的非负性可得可得x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和非负数的性质，利用完全平方公式整理得到两整式的平方和是解题的关键． 先利用完全平方公式把多项式整理成两个整式平方和的形式，再根据平方数非负数列式求解出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式4-4】（七年级下·福建漳州·期中）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【答案】12 【分析】根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解． 【详解】∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴原式= ， ， ∴原式． 故原式的最大值是12； 故答案为：12． 【变式4-5】（七年级下·四川达州·阶段练习）已知，则代数式值= ． 【答案】14． 【分析】根据方程求出的值，再运用完全平方公式可求的值． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ， ， ， 故答案为：14． 【变式4-6】（24-25八年级上·天津·期末）若，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，根据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：13． 【变式4-7】（24-25八年级上·山西晋城·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式将原式变形为，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式4-8】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，先利用完全平方公式求出的值，进而即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴负值舍去， 故答案为：． 【变式4-9】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】11 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，求代数式的值；由题设得，，由完全平方公式得，而，先代入，再代入即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，； ∵， 即， ∴， ． 故答案为：11． 【变式4-10】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 【变式4-11】（七年级下·江苏南京·期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当x＝－1时，的最小值是2 (1)请仿照上面的方法求代数式的最小值． (2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长． 【答案】(1)-10 (2)9 【分析】（1）根据题干解题过程进行求解即可； （2）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长； 【详解】（1）解：原式． ∵， ∴． ∴当x=-3时，的最小值是-10； （2）解：由，，可得， ∴ ∴△ABC的周长为：． 【变式4-12】（七年级下·重庆·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 【答案】(1)9； (2)N的最大值为5； (3)等腰三角形的周长为40． 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可； （2）先提出负号，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，的值，从而利用等腰三角的两腰相等即可求解． 【详解】（1）解：∵a2+6a+9=（a+3）2， 故答案为：9； （2）， ， ∴N的最大值为5； （3）解：， ， ， ， ，， ∴当以等腰三角形的腰长，因为，此时不能构成三角形，当以等腰三角形的腰长，以为底时，等腰三角形的周长为． 【变式4-13】（七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解并填空： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值．若，则这个代数式的值为6；若，则这个代数式的值为_________；可见，这个代数式的值因x的取值不同而_________（填“变化”或“不变”），尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）数学书课本里“我们把多项式及叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题． 例如：，因为是非负数，所以，这个代数式，当x的值是_______时；有最小值为_________：尝试并探究解答（要求写出解答过程） （3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x的值？ ①； ②； （4）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a，b的值？ （5）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x的值？ 【答案】（1）11，变化；（2）-1，2；（3）①有最小值-6，x=2；②有最大值59，x=7；（4）有最小值5，a=2，b=-3；（5）有最小值-17，x=3 【分析】（1）把x的值代入计算即可． （2）根据非负数的性质即可得出答案； （3）①②先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （4）利用完全平方公式变形，根据非负数的性质即可得出答案； （5）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】解：（1）当x=1时，x2+2x+3=1+2+3=6． 当x=2时，x2+2x+3=4+4+3=11， 这个代数式的值因x的取值不同而变化； 故答案为：11；变化； （2）∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2， ∴当x=-1时，这个代数式的值的最小值为2； （3）①， ∴的最小值是-6，相应的x的值是2； ②， ∴-x2+14x+10的最大值是59，相应的x的值是7； （4） = = ∴代数式有最小值5，此时a=2，b=-3； （5）根据题意得： ∴2x2-12x+1=2（x-3）2-17， ∴代数式2x2-12x+1的最小值是-17，相应的x的值是3． 【变式4-14】（七年级下·浙江杭州·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美； （1）请你检验说明这个等式的正确性． （2）若，你能很快求出的值吗？ （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3） 【分析】（1）利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论； （2）将数值代入计算即可； （3）根据已知先求出，再利用等式变形计算即可. 【详解】解：（1）等式右边 左边，得证； （2）当时， =3； （3）∵， ∴， ∵， ∴. 题型五 求完全平方公式中的字母系数 【例5】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）若是一个完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式得出即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级上·海南海口·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-2】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如果是一个完全平方式，则的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 【变式5-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 这里首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的乘积的倍，据此求解即可． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故选：C． 【变式5-4】（24-25九年级上·吉林长春·期末）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 【变式5-5】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 题型六 完全平方公式与几何图形 【例6】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)分别两种不同的方式表示图1和图2阴影部分的面积（直接用含a，b的代数式表示）， 图1可以得出的等式是__________________ 图2可以得出的等式是__________________ (2)根据（1）中的结论，若， ①求的值 ②求的值 【答案】(1)； (2)①21；②17 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）根据（1）中的结论，将要求的式子变形后，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，， 即， 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即, 故答案为：；； （2）解：①∵， ∴； ②∵， ∴． 【变式6-1】（24-25八年级上·天津河西·期末）将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形中各个部分的面积，根据面积之间的和差关系得出答案，熟练掌握掌握完全平方公式的结构特征并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵外围大正方形的边长为， ∴面积为， ∵中间小正方形的边长为， ∴面积为， ∵4个长方形的面积和为， ∴有， 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ； 方法2： ； (3)观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ； (4)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． （1）由拼图可直接得出答案； （2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可； （3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案； （4）设设，，则，，，利用完全平方公式变形，计算即可． 【详解】（1）解：根据图形可得阴影部分的正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：方法1：直接求阴影部分的面积，即阴影部分是边长为的正方形：； 方法2：间接求阴影部分的面积，即阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积：； 故答案为：，； （3）解：由（2）可得：， 故答案为：； （4）解：设，，则，， ， ， ， ， 答：的面积为． 【变式6-3】（24-25八年级上·北京大兴·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：． (1)如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积． 方式一：________； 方式二：________； 由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________． (2)连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解题的关键． （1）图分别看成一个小正方形的面积和正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，进而列出等式即可求得答案； （2）用四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积，即可得解． 【详解】（1）解：图中正方形的边长为，面积为； 还可以表示为：正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，即， ∴由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是 故答案为：，，； （2）解：如图， 四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积， ∴四边形的面积为， 故答案为． 【变式6-4】（24-25八年级上·广东江门·期末）综合与实践 【主题】：借助图形直观，感受数与形之间的关系 【素材】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片A是边长为a的较小正方形，纸片B是边长为b的较大正方形，纸片C是长为b、宽为a的长方形． 【操作发现】（1）如图2，若要拼出一个面积为的正方形，则需要A种卡片1张，B种卡片_________张，C种卡片_________张． 【类比探究】（2）利用4张C种卡片按图3的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________________________． 【拓展迁移】（3）如图4，正方形和正方形的边长分别为m，n（），若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】（1）1，1，2；（2）；（3） 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）计算，再根据三个纸片的面积可求解； （2）用两种方法表示出大正方形的面积即可； （3）利用完全平方公式的变形可得，再由阴影部分面积，结合完全平方公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴需要种卡片1张，B种卡片1张，C种卡片2张； 故答案为：1，1，2； （2）①小正方形可以是，也可以是， ∴； 故答案为： （3）∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， 阴影部分面积 【变式6-5】（24-25八年级上·江苏南通·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)1，2，3 (3)①7；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的运算，换元法． （1）用不同方式求大正方形的面积求解即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则计算，然后再根据三种纸片的面积，进而得出答案； （3）①根据已知条件，利用完全平方公式，先求出，然后求出即可； ②设，则，，根据已知得出，利用完全平方公式展开，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的面积为，也可以为， ∴，，之间的等量关系为：； （2）解： ， ∵一张A种纸片的面积为，一张B种纸片的面积为，一张C种纸片的面积为， ∴要拼出一个面积为的矩形，需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片3张． 故答案为：1，2，3； （3）解：①∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：乘法公式的应用 技巧点拨： 平方差公式: 完全平方公式: 对于平方差公式、完全平方公式的应用要注意灵活转化，要抓住公式的典型特征；常见的变化类型有：位置变化、系数变化、指数变化、符号变化、增项变化、增因式变化。 题型一 运用乘法公式简便运算 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】（湖北武汉·期中）计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【变式1-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【变式1-3】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：的结果是 ． 【变式1-4】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【变式1-5】（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：． 【变式1-6】（24-25七年级上·上海虹口·期中）用简便方法计算：． 题型二 平方差公式的应用 【例2】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：（结果保留幂的形式）． 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【变式2-2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： 【变式2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 题型三 平方差公式与几何图形 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 【变式3-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【变式3-5】（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【变式3-6】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 题型四 配方法的应用 【例4-1】（2023·四川达州·模拟预测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【例4-2】（2024八年级下·全国·专题练习）已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【变式4-1】（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知，则 ． 【变式4-4】（七年级下·福建漳州·期中）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【变式4-5】（七年级下·四川达州·阶段练习）已知，则代数式值= ． 【变式4-6】（24-25八年级上·天津·期末）若，则的值为 ． 【变式4-7】（24-25八年级上·山西晋城·期中）已知，，则 ． 【变式4-8】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则＝ ． 【变式4-9】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，那么 ． 【变式4-10】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【变式4-11】（七年级下·江苏南京·期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当x＝－1时，的最小值是2 (1)请仿照上面的方法求代数式的最小值． (2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长． 【变式4-12】（七年级下·重庆·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 【变式4-13】（七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解并填空： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值．若，则这个代数式的值为6；若，则这个代数式的值为_________；可见，这个代数式的值因x的取值不同而_________（填“变化”或“不变”），尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）数学书课本里“我们把多项式及叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题． 例如：，因为是非负数，所以，这个代数式，当x的值是_______时；有最小值为_________：尝试并探究解答（要求写出解答过程） （3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x的值？ ①； ②； （4）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a，b的值？ （5）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x的值？ 【变式4-14】（七年级下·浙江杭州·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美； （1）请你检验说明这个等式的正确性． （2）若，你能很快求出的值吗？ （3）若，求的值． 题型五 求完全平方公式中的字母系数 【例5】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）若是一个完全平方式，则m的值是 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·海南海口·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【变式5-2】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如果是一个完全平方式，则的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2或 【变式5-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（24-25九年级上·吉林长春·期末）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【变式5-5】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型六 完全平方公式与几何图形 【例6】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)分别两种不同的方式表示图1和图2阴影部分的面积（直接用含a，b的代数式表示）， 图1可以得出的等式是__________________ 图2可以得出的等式是__________________ (2)根据（1）中的结论，若， ①求的值 ②求的值 【变式6-1】（24-25八年级上·天津河西·期末）将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ； 方法2： ； (3)观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ； (4)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【变式6-3】（24-25八年级上·北京大兴·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：． (1)如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积． 方式一：________； 方式二：________； 由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________． (2)连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________． 【变式6-4】（24-25八年级上·广东江门·期末）综合与实践 【主题】：借助图形直观，感受数与形之间的关系 【素材】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片A是边长为a的较小正方形，纸片B是边长为b的较大正方形，纸片C是长为b、宽为a的长方形． 【操作发现】（1）如图2，若要拼出一个面积为的正方形，则需要A种卡片1张，B种卡片_________张，C种卡片_________张． 【类比探究】（2）利用4张C种卡片按图3的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________________________． 【拓展迁移】（3）如图4，正方形和正方形的边长分别为m，n（），若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【变式6-5】（24-25八年级上·江苏南通·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$