18.2.3正方形 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级下册

18.2.3正方形 课时作业2024—2025学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1.如图,正方形边长为6,,M、N分别是和的中点,则长为( ) A. B. C. D. 2.下列命题中是真命题的由( )个. ①顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形; ②三内角之比为3:4:5的三角形是直角三角形; ③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ④对角线互相垂直平分的四边形是正方形; ⑤三边a、b、c满足关系式a2﹣b2=c2的三角形是直角三角形. A.0 B.1 C.2 D.3 3.如题图,正方形中,点在上,且,点是的中点,点是的中点,延长,与的延长线交于点.以下四个结论:①;②是直角三角形;③;④.其中正确结论的个数( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图,在正方形中,对角线的长为,则该正方形的边长为( ). A.1 B. C. D.2 5.两条对角线互相垂直的四边形是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对 6.如图,在正方形中,点E在对角线上,于点F,于点G,连接,若,,则的长度为( ) A.8 B.10 C. D. 7.下列命题正确的是( ) A.四个角相等且邻边相等的四边形是正方形 B.对角线相互垂直的平行四边形是矩形 C.同位角相等 D.绝对值等于本身的数是0和1 8.中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图,已知正方形和正方形,,,三点在一条直线上.现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形.若正方形和正方形的面积之和为260,阴影部分的面积为148,则的长为( ) A.22 B.20 C.18 D.16 二、填空题 9.如图所对圆心角,半径为4,C是的中点,D是上一点,把绕点C逆时针旋转得到,连接,则的最小值是 . 10.如图,在正方形中,为对角线上一点,过点作于点,于点,若,,则 . 11.如图,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0,1.21,1.44,正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4= . 12.在正方形中,=6,连接,,是正方形边上或对角线上一点,若=2,则的长为 . 13.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形为矩形,则四边形ABCD的对角线AC、BD之间的关系为 . 三、解答题 14.如图,在正方形ABCD中,点E是AB中点,点F是AD上一点,且,ED、FC交于点G,连接BG,BH平分交FC于H,连接DH. (1)若DE=10,求线段AB的长; (2)求证:; (3)求证:. 15.在正方形的外侧作等腰,已知,连接交等腰底边上的高所在的直线于点. (1)如图,若,求的度数; (2)如图,若,,,则此时的长为 . 16.如图所示,,分别是正方形的边,上的两个动点,且,交于点,,连.求线段长度的最小值. 17.在正方形ABCD中,点E为CD中点,连接AE并延长交BC延长线于点G,点F在BC上,∠FAE=∠DAE,连接FE并延长交AD延长线于H,连接HG. (1)求证:四边形AFGH为菱形; (2)若正方形ABCD的边长为1,求四边形AFGH的面积. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B D B A A 1.A 【分析】取中点H,的中点P,连接并延长交于点G,连接并延长交于点Q,根据正方形边长为6,得,, 则,,根据M、N分别是和的中点,得是的中位线,是的中位线, ,,,根据得,,即,,则四边形是矩形,即,,即四边形是正方形,根据,得,根据,得,根据四边形是正方形得,运用勾股定理即可得. 【详解】解:如图所示,取中点H,的中点P,连接并延长交于点G,连接并延长交于点Q, ∵正方形边长为6,, ∴,, ∴,, ∵M、N分别是和的中点, ∴, ∴是的中位线,是的中位线, ∴,, ∵ ∴,, ∴,, ∴四边形是矩形, ∴,, ∴四边形是正方形, ∵,, ∴, ∵,, ∴, ∵四边形是正方形, ∴, ∴, 故选:A. 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质,三角形的中位线,勾股定理,矩形的判定,平行线的判定与性质,解题的关键是掌握这些知识点,添加辅助线. 2.C 【详解】根据中点四边形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的判定、正方形的判定一一判断即可. 解:①顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形,正确. ②三内角之比为3:4:5的三角形是直角三角形,错误是锐角三角形. ③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,错误,比如等腰梯形满足条件,不是平行四边形. ④对角线互相垂直平分的四边形是正方形,错误.对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ⑤三边a、b、c满足关系式a2-b2=c2的三角形是直角三角形,正确. 故真命题有①⑤. 故选C. “点睛”本题考查命题与定理,平行四边形的判定、正方形的判定、直角三角形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念,属于中考基础题. 3.D 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理.直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,属于中考常考题型. 设正方形边长为,求出、、,利用勾股定理等逆定理可以判定②正确;根据三角形中位线定理可以判定①正确;根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确;通过计算可以判断④正确. 【详解】设正方形边长为, ∵四边形是正方形, , ∵,点是的中点, ∴, , , , , , , ∴是直角三角形,故②正确; , 是中位线, ,故①正确; 在中, , , , ∴,故③正确; , ,故④正确; 故选:D. 4.B 【分析】根据正方形的性质可得,再利用勾股定理即可解答. 【详解】解:正方形, , 在中,, 即, 解得(负数舍去), 故答案为:B. 【点睛】本题考查了正方形的性质,勾股定理,熟知正方形的边长相等且每个内角都为是解题的关键. 5.D 【分析】根据特殊平行四边形的判定解答即可. 【详解】两条对角线互相垂直的四边形有可能是菱形,也有可能是正方形,但一般不是矩形; 故选:D. 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定,熟知对角线互相垂直平分的四边形是菱形、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形是解题的关键. 6.B 【分析】连接,证明,可得,在等腰直角三角形中,求出的长,再在中求出的长,即可得出的长. 【详解】如图,连接 ∵四边形 是正方形 于点F, 故选B. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解决问题的关键在于连接构造全等三角形. 7.A 【详解】解:A选项,四个角相等且邻边相等的四边形是正方形,故A选项符合题意; B选项,对角线相互垂直的平行四边形是菱形,故B选项不符合题意; C选项,两直线平行,同位角相等,故C选项不符合题意; D选项,绝对值等于本身的数是所有非负数,故D选项不符合题意. 故选:A. 【点睛】本题考查正方形的判定定理,菱形的判定定理,平行线的性质,绝对值的意义,熟练掌握这些知识点是解题关键. 8.A 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质,设,,根据正方形的性质及得,进而可得,将正方形和正方形裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形得,再利用面积的数量关系即可求解,熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键. 【详解】解:如图: 设,, , 四边形、四边形和都是正方形, ,,,,, ,, , 在和中, , , , 将正方形和正方形裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形, , , , , 即, , 故选A. 9. 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质,三角形的三边关系,正方形的性质,解题的关键是作出辅助线,熟练掌握三角形全等的判定方法.连接,以为边向下作正方形,连接,.证明,得出,根据,得出的最小值为. 【详解】解:如图,连接,以为边向下作正方形,连接,. ∵,, ∴, ∴, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴的最小值为. 故答案为:. 10. 【分析】题考查正方形的性质及勾股定理,熟练掌握正方形的性质是解题的关键. 延长交于点H,则可推导出,,则可求. 【详解】解:延长交于点, ,, , , , , , , , , , 在中,, 故答案为:. 11.2.44 【分析】由条件可以得出AC=CF=1,FH=LH=1.1,PR=SR=1.2.由正方形的性质可以得出∠ACB=∠CED,∠FHG=∠HLM,∠PRN=∠RST,就可以得出 ABC≌ CDE, FGH≌ HML, PNR≌ RTS,就可以得出AB=CD,BC=DE,FG=HM,GH=ML,PN=RT,NR=ST,由勾股定理就可以AB2+BC2=AC2,FG2+GH2=FH2,NP2+NR2=PR2,由正方形的面积公式就可以得出结论. 【详解】解:如图, ∵斜放置的三个正方形的面积分别为1,1.21,1.44, ∴AC=CF=1,FH=LH=1.1,PR=SR=1.2.∠ACD=∠FHL=∠PRS=90 , ∴∠ACB=∠CED,∠FHG=∠HLM,∠PRN=∠RST, ∴ ABC≌ CDE, FGH≌ HML, PNR≌ RTS, ∴AB=CD,BC=DE,FG=HM,GH=ML,PN=RT,NR=ST, 由勾股定理,得 AB2+BC2=AC2,FG2+GH2=FH2,NP2+NR2=PR2, ∴S1+S2=1.0,S2+S3=1.21,S3+S4=1.44, ∴S1+S2+S2+S3+S3+S4=1+1.21+1.44=3.65, ∴S1+2S2+2S3+S4=3.65. ∴S1+S2+S3+S4=2.44. 故答案为:2.44. 考点:(1)、全等三角形的判定与性质;(2)、勾股定理;(3)、正方形的性质. 12.2或或 【分析】根据题意分情况画出符合题意的图形,然后针对每一个图形利用勾股定理进行求解即可得到答案. 【详解】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB=6,∠BAD=90 ,∠DAC=45 , ∴AC=BD=6; 如图1,当点P在AD上时, ∵AP+PD=AD=6,PD=2AP, ∴AP=2; 如图2,当点P在AB上时, ∵∠PAD=90 , ∴AP2+AD2=DP2, ∵AD=6,PD=2AP, ∴AP2+36=4AP2, ∴AP=; 如图3,当点P在AC上时,作PN⊥AD于点N, 设AN=x,则有DN=6-x,PN=x, 由勾股定理得AP=x,PD=, ∵PD=2AP, ∴=2x, ∴x=或x=(不符合题意,舍去), ∴AP=x=, 当点P在其余边或对角线上时,不存在可以使PD=2AP的点, 综上,AP的长为2,,, 故答案为2或或. 【点睛】本题考查了正方形的性质,勾股定理的应用等,难度较大,解题的关键是正确画出符合题意的图形. 13.AC⊥BD. 【分析】根据矩形的性质、三角形的中位线定理和平行线的性质即可得出结论. 【详解】解:如图,设四边形EFGH是符合题意的中点四边形,则四边形EFGH是矩形, ∴∠FEH=90 , ∵点E、F分别是AD、AB的中点, ∴EF是 ABD的中位线, ∴EF∥BD, ∴∠FEH=∠OMH=90 , 又∵点E、H分别是AD、CD的中点, ∴EH是 ACD的中位线, ∴EH∥AC, ∴∠OMH=∠COB=90 , 即AC⊥BD. 故答案为AC⊥BD. 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理和平行线的性质,熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键. 14.(1); (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)设,利用正方形的性质和勾股定理即可解决; (2)在正方形ABCD中, 易证,利用四点共圆得出角相等,再利用得出结论; (3)利用得出,转化为,即可得出结论. 【详解】(1)解:设, ∵点E是AB中点, ∴. ∵四边形ABCD是正方形, ∴, ∴, 整理得, ∴,(不符合题意舍去), ∴; (2)证明:∵在正方形ABCD中,,, 又, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴B、C、G、E四点共圆, ∴. 连接EC, ∴. ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴; (3)证明:∵BH平分,由(2)得, ∴BH是GC的中垂线, ∴. 在正方形ABCD中,,, 由(2)得, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, 即. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,四点共圆的性质与判定,垂直平分线的判定和性质,根据已知得出B、C、G、E四点共圆,以及BG是GC的垂直平分线是解题关键. 15.(1);(2). 【分析】(1)先求出,再根据等腰三角形的性质可得,由三线合一可求,然后根据三角形外角的性质求解即可; (2)如图,过A作AQ⊥DE于Q,则∠AQP=90 ,由AD=AE,得到DQ=EQ,∠AEQ=∠ADQ,同理得到∠3=∠FAB,根据外角的性质得到∠APQ=∠3-∠AEQ=∠3-∠ADQ,等量代换得到∠2=∠3-∠AEP,求得∠2=∠APQ=45 ,进而可证∠FEP=∠APQ=45 ,由勾股定理求出PE的长,再根据勾股定理求出AE的长即可. 【详解】解:(1)∵,, ∴, ∵, ∴, ∵AE=AB,AF⊥BE, ∴, ∴; (2)如图,过A作AQ⊥DE于Q,则∠AQP=90 , ∵AD=AE, ∴DQ=EQ,∠AEQ=∠ADQ,EQ=DE=7, ∵AE=AB,AF⊥BE, ∴∠3=∠FAB,EF=BE=4, ∵∠APQ=∠3-∠AEQ=∠3-∠ADQ, ∵∠1+∠FAB=∠FAB+∠ABF=90 , ∴∠1=∠ABF=∠AEF, ∴∠2=90 -∠1-∠ADP=90 -(90 -∠3)-∠AEP=∠3-∠AEP, ∴∠2=∠APQ=45 , ∵∠1=∠AEF,∠AEQ=∠ADQ, ∴∠FEP=∠APQ=45 , ∴FP=EF=4, ∴PE=, ∴PQ=8-7=1, ∴AE=. 【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,以及勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键. 16.最小值为 【分析】根据正方形性质可得AB=DA,∠BAD=∠ADF=90 ,又根据AE=DF,利用SAS可证得 ABE≌ DAF,于是∠ABE=∠DAF;由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90 ,从而∠AHB=90 ,取AB的中点O,连接OH、OD,则OH=AB=1,在Rt AOD中,根据勾股定理计算出OD的值;根据三角形的三边关系,可得OH+DH>OD,于是当O、D、H三点共线时,DH的长度最小为OD-OH,据此解答. 【详解】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=DA,∠BAD=∠ADF=90 , 又∵AE=DF, ∴ ABE≌ DAF, ∴∠ABE=∠DAF. ∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90 , ∴∠AHB=90 , 取的中点,连、, ∴,,在中有,即. 故、、三点共线时最小, ∴最小值为. 【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,勾股定理及三角形三条边的关系,确定出点H的位置是解答本题的关键. 17.(1)证明见解析; (2) 【分析】(1)根据正方形的性质得FA=FG,再证明 ADE≌ GCE,可得AD=CG,同理证明 DHE≌ CFE,可得DH=CF,进而可得四边形AFGH为菱形; (2)设BF为x,结合(1)可得AD=CG, FG=BG-BF=2-x,AF=FG=2-x然后根据勾股定理列出方程即可求解x,进而得到四边形AFGH的面积. 【详解】(1)证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ ADBC, 即AHFG, ∴ ∠DAE=∠CGE, ∵ 点E为CD中点, ∴ DE=CE, 又∵ ∠AED=∠GEC, ∴ ADE≌ GCE, ∴ AD=GC, 同理可得, DHE≌ CFE, ∴ DH=CF, ∴ AD+DH=GC+CF, ∴ AH=GF, ∴ 四边形AFGH为平行四边形, ∵ AHFG, ∴ ∠DAE=∠AGF, 又∵∠FAE=∠DAE, ∴ ∠AGF=∠FAE, ∴AF=FG, ∴ 四边形AFGH为菱形; (2)设BF的长为x, 由(1)知,AD=CG, ∴ BG=2, ∴ FG=BG-BF=2-x, ∵ 四边形AFGH为菱形, ∴ AF=FG=2-x, 在Rt ABF中,根据勾股定理得, , 解之得,x=, ∴ FG=, ∴ S四边形AFGH=FG AB= 1=. 【点睛】本题考查正方形的性质,全等三角形的性质与判定,菱形的判定与性质,拥有综合思想时解题关键. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$