精品解析：上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

吴淞中学2027届高一第一学期期末考试数学试卷答案 一、填空(1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分) 1. 已知集合，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可. 【详解】根据题意，，故. 故答案为：. 2. 与2019°终边相同的最小正角是_________ 【答案】219° 【解析】 【分析】把2019°角化成360º的整数倍加上一个正角而得. 【详解】2019º=5360º+219º，所以与2019°终边相同的最小正角是219º. 故答案为：219º 3. 函数的零点是___________. 【答案】 【解析】 【分析】函数的零点指的是使得函数值为0的自变量 的值，令，解得，即零点为. 【详解】令， ，即，解得 ，即函数零点为. 故答案为： 4. 若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________ ． 【答案】9 【解析】 【分析】直接根据扇形的弧长公式，面积公式求解. 【详解】设扇形弧长为，半径为，面积为，圆心角的弧度为，根据题干数据及弧长公式可得：，根据面积公式可得： 故答案为：9. 5. 角的终边在第二象限，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用诱导公式及平方关系可求出的值，再利用诱导公式及商数关系，即可求解. 【详解】因为，又角的终边在第二象限， 所以， 所以， 故答案为：. 6. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题设求出，再由正弦倍角公式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 7. 当，_____． 【答案】或， 【解析】 【分析】由辅助角公式可得，再取角即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以或， 即或， 故答案为：或. 8. 在中，若，，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为, 所以（负值舍去） 因此的面积是 故答案为 【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 9. 已知，则___． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 10. 甲同学碰到一道缺失条件的问题:“在中，已知，试判断此三角形解的个数."查看标准答案发现该三角形有一解.若条件中缺失边，那么根据答案可得所有可能的的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得到,再由三角形只有一个解,可得的范围,进而求解即可 【详解】由题,由正弦定理可得,则, 因为三角形有一解,则或,则或 故答案为 【点睛】本题考查利用正弦定理处理三角形的个数问题,考查数形结合思想 11. 已知是定义域为的偶函数，，且当时，（是常数），则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据以及奇偶性计算的值，然后根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，所以； 又因为时是增函数且， 所以时是减函数且； 所以，解得，即不等式的解集为， 故答案为： 12. 已知函数 若对任意实数，总存在实数，使得 则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以二次函数的对称轴为标准分与讨论，求解即可. 【详解】当时，因为对任意实数，总存在实数，使得 所以，解得， 当时，由，解的， 综上：实数的取值范围是：. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 14. “是第二象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件定义，结合三角函数的定义判断即可. 【详解】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立； 必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立； 故选：A 15. 在中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若弧等分的面积，且弧度，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意，首先设出扇形的半径，表示出扇形的面积和直角三角形的面积，列方程即可求得. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为. 直角三角形POB中，，△POB的面积为. 由题意得，所以. 故选：B 16. 设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，利用排除法，若时，圆上有部分关于轴对称的点，即一个对应2个，不满足函数的定义，从而可得结果. 【详解】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后会与下一个点重合， 我们可以通过代入和赋值的方法当时， 这12 个点对应的圆心角分别为， 然而此时有5组关于轴对称的点，即一个对应2个， 因为函数的定义要求一个只能对应一个，排除选项， 因此只有当时，旋转后得到的12个点，没有任何两个点关于轴对称， 此时每个都满足一个只会对应一个. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将问题转化为“问题相当于圆上均匀分布12个点,且都不关于轴对称”. 三、解答题 17. 已知 （1）求的值； （2）求的值 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由两角差的正切公式即可计算求解； （2）由倍角公式和两角和的余弦公式结合商数关系即可计算求解. 【详解】（1）； （2） . 18. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 19. 如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． （1）试用表示点B的坐标； （2）若，求及线段的长度 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后结合正弦的和差角公式代入计算，再由余弦定理即可得到的长度. 【小问1详解】 因为圆的半径为，为等边三角形，所以， 以射线为终边的角，由三角函数的定义可得， ，所以. 【小问2详解】 因为三角形为等边三角形，所以， ，且为第二象限角，所以， 则， 所以 在中，由余弦定理可得， ， . 20. 已知，函数； （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可； （2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由已知 时， 不等式 等价于 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以不等式 的解集为 ． 【小问2详解】 因为函数 的值域为， 即 的值域为， 故 能够取到一切大于0的实数， 当时, ,不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时，根据二次函数的图象和性质可得 ，解得或，所以； 综上所述：的取值范围是． 21. 已知函数（其中a为常数）． （1）当a=1时，求f（x）在上的值域； （2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）[2，] （2）-＜a＜（3）（-，-）∪（，） 【解析】 【分析】（1）当a=1时，f（x）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在[，2]上的值域； （2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，则t∈[1，2]，y=-2t2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围； （3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2ymin＞ymax 【详解】解：（1）函数， 当a=1时，f（x）=x+，导数为f′（x）=1-=， f（x）在[，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数， ∴当x=，或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2， 故f（x）在[，2]上的值域为[2，]； （2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立， 即2x+＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a2＜1+4•2x在[0，1]上恒成立， 1+4•2x在[0，1]递增，可得最小值为1+4=5，即a2＜5，解得-＜a＜； （3）设t=g（x）==-1+在x∈[0，]递减，可得t∈[，1]，则y=t+， 原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[，1]上，恒有2ymin＞ymax． 讨论：①当0＜a2≤时，y=t+在[，1]上递增，∴ymin=3a2+，ymax=a2+1， 由2ymin＞ymax得a2＞，∴＜a≤；或-≤a＜-； ②当＜a2≤时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增， ∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=a2+1， 由2ymin＞ymax得2-＜|a|＜2+，∴＜|a|≤； ③当＜|a|＜1时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增， ∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=3a2+， 由2ymin＞ymax得＜|a|＜，∴＜|a|＜1； ④当|a|≥1时，y=t+在[，1]上单调递减，∴ymin=a2+1，ymax=3a2+， 由2ymin＞ymax得a2＜，∴1≤a2＜； 综上，a的取值范围是（-，-）∪（，）． 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用问题，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理分类讨论求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和转化思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴淞中学2027届高一第一学期期末考试数学试卷答案 一、填空(1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分) 1. 已知集合，则__________. 2. 与2019°终边相同的最小正角是_________ 3. 函数的零点是___________. 4. 若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________ ． 5. 角的终边在第二象限，，则_____． 6. 已知，则的值为_____． 7. 当，_____． 8. 在中，若，，，则的面积是________． 9. 已知，则___． 10. 甲同学碰到一道缺失条件的问题:“在中，已知，试判断此三角形解的个数."查看标准答案发现该三角形有一解.若条件中缺失边，那么根据答案可得所有可能的的取值范围是_______. 11. 已知是定义域为的偶函数，，且当时，（是常数），则不等式的解集是_______． 12. 已知函数 若对任意实数，总存在实数，使得 则实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 14. “是第二象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若弧等分的面积，且弧度，则（ ） A. B. C. D. 16. 设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） A. B. C. D. 0 三、解答题 17. 已知 （1）求的值； （2）求的值 18. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 19. 如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． （1）试用表示点B的坐标； （2）若，求及线段的长度 20. 已知，函数； （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围； 21. 已知函数（其中a为常数）． （1）当a=1时，求f（x）在上的值域； （2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $