第七章 万有引力与宇宙航天【速记清单】-2024-2025学年高一物理单元速记·巧练（人教版2019必修第二册）

第七章 圆周运动 01 思维导图 02 考点速记 【考点一　开普勒定律的理解与应用】 1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。 3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。 【考点二　万有引力定律及其应用】 1．万有引力的“两点理解”和“三个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。 ②万有引力定律的表达式F＝G适用于计算质点间的万有引力。当物体不能看成质点时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。 (2)三个推论 ①推论1：两个质量分布均匀的球体之间的万有引力，等于位于两球心处、质量分别与两球体相等的质点间的万有引力。 ②推论2：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 ③推论3：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。 2．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 3．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由＝mg，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度 设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝，得g′＝，所以＝。 【考点三　天体质量和密度的估算】 1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝m得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用G＝m得M＝。若已知v、T，可先求出r＝，再利用G＝m或G＝mr求M。若已知ω、T则不能求出M。 【考点四　卫星运行参量的分析】 1．分析人造卫星的运动规律的两条思路 (1)万有引力提供向心力，即G＝man。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 2．地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆) 物理量 推导依据 表达式 最大值 或最小值 线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s 角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值 周期 G＝mr T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min 向心加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g 轨道平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合 【考点五　宇宙速度】 1．三种宇宙速度的理解 宇宙速度 数值km/s) 意义 第一宇宙速度 7.9 这是在地面附近发射飞行器，使飞行器成为绕地球运动的人造地球卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v<11.2 km/s，飞行器绕地球运行 第二宇宙速度 11.2 这是在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱地球引力束缚，永远离开地球的最小发射速度，若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，飞行器将永远离开地球，但还无法脱离太阳对它的引力 第三宇宙速度 16.7 这是在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，飞行器将飞到太阳系外 2.第一宇宙速度的推导及拓展 (1)第一宇宙速度的推导有两种方法：①由G＝m得v＝；②由mg＝m得v＝。 (2)第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R、g必须与相应星球对应，不能套用地球的参数。 【考点六　天体的“追及相遇”问题】 1．天体“追及相遇”问题的理解 天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近。以地球和太阳系内其他某地外行星为例，某时刻行星与地球最近(“行星冲日”)，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同， 如图甲所示，根据＝mω2r可知，地球公转的角速度ω1较大，行星公转的角速度ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地球比行星多转一圈。 2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法 (1)根据角度关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3…) 可解得t＝(n＝1，2，3…)。 (2)根据圈数关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则－＝n(n＝1，2，3…) 可解得t＝(n＝1，2，3…)。 设从图甲相距最近位置到相距最远位置(图乙)所用时间为t′，同理有关系式：ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)或－＝(n＝1，2，3…)。 【考点七　卫星变轨问题】 当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。 1．卫星轨道的渐变 (1)当卫星的速度增加时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度增加很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时小。例如，由于地球的自转和潮汐力，月球绕地球运动的轨道半径缓慢增大，每年月球远离地球3.8厘米。 (2)当卫星的速度减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。 2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射地球同步卫星时，可以分多过程完成： (1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。 (2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时<m，卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。 (3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。 3．卫星变轨时一些物理量的定性分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。 (2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ<aP。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由＝k可知T1<T2<T3。 【考点八　双星、多星模型】 1．双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 2．三星模型 (1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。 (2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。 (3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。 ①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。 03 素养提升 一、天体质量和密度的估算　 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 【实战突破1-利用“重力加速度法”计算天体的质量和密度】（多选）（24-25高一上·河北衡水·开学考试）“登月计划”是近两年我国航天工作的重点，前期工作中查找数据有以下信息：月球的半径约是地球半径的，质量约是地球质量的，已知地球表面的重力加速度是，地球的半径为，若宇航员在地面上能向上竖直跳起的最大高度是，忽略自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．月球的密度为 B．月球表面的重力加速度是 C．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 D．宇航员以与在地球上相同的初速度在月球上起跳后，能达到的最大高度是 【实战突破2-利用环绕法估算天体的质量和密度】（24-25高二上·山东济南·期末）科学家们在距离地球约31光年的地方，发现了一颗可能有生命存在的“超级地球”。科学家们把这颗“超级地球”命名为GJ357d，质量至少是地球的6.1倍，半径约为地球的2倍，围绕一颗比太阳小得多的恒星运行，每55.7天运行一周。若已知地球的第一宇宙速度，根据以上信息可以算出“超级地球”的（　　） A．所绕恒星的质量B．公转的线速度 C．第一宇宙速度 D．密度 二、卫星运行参量分析 卫星运行参量分析问题的解题技巧 (1)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式： G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf)2r。 (2)比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。 【实战突破3-卫星运行参量比较】（23-24高一下·江苏镇江·期末）同一颗人造卫星，若沿不同的半径绕地球做圆周运动，以下说法正确的是（　　） A．轨道半径越大，动能越小，机械能越小 B．轨道半径越大，动能越大，机械能越大 C．卫星转动周期可以小于60分钟 D．卫星转动周期可以大于24小时 【实战突破4-同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较】（多选）（23-24高一下·山东德州·期末）格林童话《杰克与豌豆》中的神奇豌豆一直向天空生长，长得很高很高。如果长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实，其中果实2在地球同步轨道上。已知果实3的加速度大小为，地球表面重力加速度的大小为，下列说法正确的是（　　） A．果实3的线速度最小 B．果实2成熟自然脱离豆秧后，将做近心运动 C．果实1成熟自然脱离豆秧后，将做近心运动 D． 【实战突破5-卫星运行参量分析】（23-24高一下·吉林四平·期中）假若水星和地球在同一平面内绕太阳公转，把公转轨道均视为圆形，如图所示，在地球上观测，发现水星与太阳可呈现的视角（把太阳和水星均视为质点，它们与眼睛连线的夹角）有最大值，已知最大视角，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．若水星与太阳的距离为r，则地球与太阳之间的距离为 B．水星的公转周期为年 C．若水星的公转周期为，地球与太阳之间的距离为R，则太阳的质量为 D．若地球的公转周期为，地球与太阳之间的距离为R，则水星的加速度为 三、卫星变轨问题 航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。 (3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。 【实战突破6-卫星轨道的渐变】（多选）（24-25高三上·河南南阳·期中）2024年5月太阳爆发大级别耀斑，引发地磁暴，使得近地空间气体密度增大，航天器的运行阻力随之增加，我国空间站的轨道高度在5月11日当天下降了约1公里。假定轨道降低前后空间站均可视为做匀速圆周运动，则与轨道降低前相比，轨道降低后空间站的（　　） A．动能减小 B．加速度增大 C．周期减小 D．机械能增大 【实战突破7-卫星轨道的突变】（多选）（23-24高一下·天津河东·期末）2023年10月26日17时46分，我国发射的神舟十七号载人飞船与已在轨的空间站组合体完成自主快速交会对接，它们在地球上空的对接过程如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度 B．神舟十七号从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长 C．“M卫星”若要与空间站对接，可以在轨道Ⅲ上点火加速追上空间站 D．神舟十七号在轨道Ⅲ上经过c点的加速度大于其在轨道Ⅱ上经过c点的加速度 【实战突破8-航天器对接和分离问题】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）2021年2月，天问一号探测器成功与火星交会，如图所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ = 4R，轨道Ⅱ上正常运行时经过O点的速度为v，关于探测器下列说法正确的是（　　） A．沿轨道Ⅱ运动时经过P点的速度大于沿轨道Ⅲ经过O点的速度 B．探测器由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ时，需要在O点加速 C．沿轨道Ⅱ的运动周期小于沿轨道Ⅲ的运动周期 D．沿轨道Ⅲ运动时，探测器经过O点的加速度大小等于 04 单元小结 一、考点考向 1、开普勒定律的理解与应用 2、万有引力定律及其应用 考向：（1）　万有引力定律的应用；（2）万有引力与重力的关系；（3）星体表面及上空的重力加速度； 3、天体质量和密度的估算题 考向：（1）利用“重力加速度法”计算天体的质量和密度；（2）利用环绕法估算天体的质量和密度； 4、卫星运行参量的分析 考向：（1）卫星运行参量比较；（2）同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较；（3）卫星运行参量分析 5、宇宙速度 6、 体的“追及相遇”问题 7、卫星变轨问题 考向：（1）卫星轨道的渐变；（2）卫星轨道的突变；（3）航天器对接和分离问题 8、双星、多星模型 二、常考题型 本章内容热点考查卫星在不同轨道上运动动力学分析，常与圆周运动知识实际情景结合考查，单独考查时与选择题形式出题。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 圆周运动 01 思维导图 02 考点速记 【考点一　开普勒定律的理解与应用】 1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。 3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。 【考点二　万有引力定律及其应用】 1．万有引力的“两点理解”和“三个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。 ②万有引力定律的表达式F＝G适用于计算质点间的万有引力。当物体不能看成质点时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。 (2)三个推论 ①推论1：两个质量分布均匀的球体之间的万有引力，等于位于两球心处、质量分别与两球体相等的质点间的万有引力。 ②推论2：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 ③推论3：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。 2．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 3．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由＝mg，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度 设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝，得g′＝，所以＝。 【考点三　天体质量和密度的估算】 1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝m得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用G＝m得M＝。若已知v、T，可先求出r＝，再利用G＝m或G＝mr求M。若已知ω、T则不能求出M。 【考点四　卫星运行参量的分析】 1．分析人造卫星的运动规律的两条思路 (1)万有引力提供向心力，即G＝man。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 2．地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆) 物理量 推导依据 表达式 最大值 或最小值 线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s 角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值 周期 G＝mr T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min 向心加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g 轨道平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合 【考点五　宇宙速度】 1．三种宇宙速度的理解 宇宙速度 数值km/s) 意义 第一宇宙速度 7.9 这是在地面附近发射飞行器，使飞行器成为绕地球运动的人造地球卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v<11.2 km/s，飞行器绕地球运行 第二宇宙速度 11.2 这是在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱地球引力束缚，永远离开地球的最小发射速度，若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，飞行器将永远离开地球，但还无法脱离太阳对它的引力 第三宇宙速度 16.7 这是在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，飞行器将飞到太阳系外 2.第一宇宙速度的推导及拓展 (1)第一宇宙速度的推导有两种方法：①由G＝m得v＝；②由mg＝m得v＝。 (2)第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R、g必须与相应星球对应，不能套用地球的参数。 【考点六　天体的“追及相遇”问题】 1．天体“追及相遇”问题的理解 天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近。以地球和太阳系内其他某地外行星为例，某时刻行星与地球最近(“行星冲日”)，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同， 如图甲所示，根据＝mω2r可知，地球公转的角速度ω1较大，行星公转的角速度ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地球比行星多转一圈。 2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法 (1)根据角度关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3…) 可解得t＝(n＝1，2，3…)。 (2)根据圈数关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则－＝n(n＝1，2，3…) 可解得t＝(n＝1，2，3…)。 设从图甲相距最近位置到相距最远位置(图乙)所用时间为t′，同理有关系式：ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)或－＝(n＝1，2，3…)。 【考点七　卫星变轨问题】 当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。 1．卫星轨道的渐变 (1)当卫星的速度增加时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度增加很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时小。例如，由于地球的自转和潮汐力，月球绕地球运动的轨道半径缓慢增大，每年月球远离地球3.8厘米。 (2)当卫星的速度减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。 2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射地球同步卫星时，可以分多过程完成： (1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。 (2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时<m，卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。 (3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。 3．卫星变轨时一些物理量的定性分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。 (2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ<aP。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由＝k可知T1<T2<T3。 【考点八　双星、多星模型】 1．双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 2．三星模型 (1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。 (2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。 (3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。 ①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。 03 素养提升 一、天体质量和密度的估算　 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 【实战突破1-利用“重力加速度法”计算天体的质量和密度】（多选）（24-25高一上·河北衡水·开学考试）“登月计划”是近两年我国航天工作的重点，前期工作中查找数据有以下信息：月球的半径约是地球半径的，质量约是地球质量的，已知地球表面的重力加速度是，地球的半径为，若宇航员在地面上能向上竖直跳起的最大高度是，忽略自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．月球的密度为 B．月球表面的重力加速度是 C．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 D．宇航员以与在地球上相同的初速度在月球上起跳后，能达到的最大高度是 【答案】AC 【详解】AB．在星球表面上，根据万有引力等于重力得 可得该星球表面重力加速度为 则月球表面与地球表面重力加速度之比为 则月球表面的重力加速度为 在月球表面，根据万有引力等于重力得 月球的密度为 结合 解得 故A正确，B错误； C．根据 得第一宇宙速度为 则月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 故C正确； D．物体做竖直上抛运动时，上升的最大高度为 相同，则宇航员以相同的初速度在月球上起跳后和地球上起跳后上升的最大高度之比为 则在月球上上升的最大高度为 故D错误。 故选AC。 【实战突破2-利用环绕法估算天体的质量和密度】（24-25高二上·山东济南·期末）科学家们在距离地球约31光年的地方，发现了一颗可能有生命存在的“超级地球”。科学家们把这颗“超级地球”命名为GJ357d，质量至少是地球的6.1倍，半径约为地球的2倍，围绕一颗比太阳小得多的恒星运行，每55.7天运行一周。若已知地球的第一宇宙速度，根据以上信息可以算出“超级地球”的（　　） A．所绕恒星的质量B．公转的线速度 C．第一宇宙速度 D．密度 【答案】C 【详解】A．设所绕恒星的质量为，“超级地球”的质量为，由牛顿第二定律可得 解得 由于不知道“超级地球”绕恒星的轨道半径，无法求出所绕恒星的质量，A错误； B．根据 同样，由于没有给出“超级地球”绕恒星的轨道半径，无法求出其公转的线速度，B错误； C．根据牛顿第二定律可知，地球的第一宇宙速度（题目已给出） 解得 同理可得 解得 D．根据密度的公式可得，地球的密度为 “超级地球”的密度 解得 但题目没有给出地球的密度，故无法求得“超级地球”的密度，D错误。 故选C。 二、卫星运行参量分析 卫星运行参量分析问题的解题技巧 (1)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式： G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf)2r。 (2)比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。 【实战突破3-卫星运行参量比较】（23-24高一下·江苏镇江·期末）同一颗人造卫星，若沿不同的半径绕地球做圆周运动，以下说法正确的是（　　） A．轨道半径越大，动能越小，机械能越小 B．轨道半径越大，动能越大，机械能越大 C．卫星转动周期可以小于60分钟 D．卫星转动周期可以大于24小时 【答案】D 【详解】AB．根据万有引力提供圆周运动向心力有 得 卫星的动能 卫星的引力势能 则卫星的机械能 可见卫星轨道半径越大，动能越小，机械能越大，AB错误； CD．根据万有引力提供圆周运动向心力有 得 卫星轨道半径越大，卫星的周期越大，可以大于同步卫星的周期24小时，而近地卫星的周期约为84.4分钟，故卫星的周期不可能小于60分钟，D正确，C错误。 故选D。 【实战突破4-同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较】（多选）（23-24高一下·山东德州·期末）格林童话《杰克与豌豆》中的神奇豌豆一直向天空生长，长得很高很高。如果长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实，其中果实2在地球同步轨道上。已知果实3的加速度大小为，地球表面重力加速度的大小为，下列说法正确的是（　　） A．果实3的线速度最小 B．果实2成熟自然脱离豆秧后，将做近心运动 C．果实1成熟自然脱离豆秧后，将做近心运动 D． 【答案】AD 【详解】A．三颗果实与赤道共面且随地球一起自转，可知三颗果实的角速度相等，根据 可得，即果实1的线速度最大，果实3的线速度最小，故A正确； B．由于果实2在地球同步轨道上，可知果实2随地球一起自转所需的向心力刚好等于受到的万有引力，则果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行，故B错误； C．对于果实2有 则对于果实1有 则果实1成熟自然脱离豆秧后，果实1受到的万有引力不足以提供所需的向心力，将做离心运动，故C错误； D．根据 可知 根据万有引力提供向心力可得 解得 可知 则果实2的加速度、果实3的与地球表面重力加速度g的大小关系为 故D正确； 故选AD。 【实战突破5-卫星运行参量分析】（23-24高一下·吉林四平·期中）假若水星和地球在同一平面内绕太阳公转，把公转轨道均视为圆形，如图所示，在地球上观测，发现水星与太阳可呈现的视角（把太阳和水星均视为质点，它们与眼睛连线的夹角）有最大值，已知最大视角，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．若水星与太阳的距离为r，则地球与太阳之间的距离为 B．水星的公转周期为年 C．若水星的公转周期为，地球与太阳之间的距离为R，则太阳的质量为 D．若地球的公转周期为，地球与太阳之间的距离为R，则水星的加速度为 【答案】C 【详解】A．水星、太阳与地球上眼睛连线的夹角即视角最大时，由几何关系，水星、太阳的连线与水星、地球的连线之间的夹角为90°，如图所示 若水星与太阳的距离为r，地球与太阳之间的距离为R，则有 可得 故A错误； B．由开普勒第三定律可得 结合 年 可得 年 故B错误； C．由万有引力充当向心力可得 结合 可得 故C正确； D．由 可得 结合 联立可得 故D错误。 故选C。 三、卫星变轨问题 航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。 (3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。 【实战突破6-卫星轨道的渐变】（多选）（24-25高三上·河南南阳·期中）2024年5月太阳爆发大级别耀斑，引发地磁暴，使得近地空间气体密度增大，航天器的运行阻力随之增加，我国空间站的轨道高度在5月11日当天下降了约1公里。假定轨道降低前后空间站均可视为做匀速圆周运动，则与轨道降低前相比，轨道降低后空间站的（　　） A．动能减小 B．加速度增大 C．周期减小 D．机械能增大 【答案】BC 【详解】ABC．设地球质量为M、空间站轨道半径为r、空间站质量为m、线速度为v、圆周运动周期为T、加速度为a，分析可知万有引力提供空间站做圆周运动的向心力 解得 ，， 题意知r减小，故v增加（即动能增加）、T减小、a增大，故A错误，BC正确； D．航天器的运行过程中，阻力对其做负功，故机械能减小，故D错误。 故选 BC。 【实战突破7-卫星轨道的突变】（多选）（23-24高一下·天津河东·期末）2023年10月26日17时46分，我国发射的神舟十七号载人飞船与已在轨的空间站组合体完成自主快速交会对接，它们在地球上空的对接过程如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度 B．神舟十七号从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长 C．“M卫星”若要与空间站对接，可以在轨道Ⅲ上点火加速追上空间站 D．神舟十七号在轨道Ⅲ上经过c点的加速度大于其在轨道Ⅱ上经过c点的加速度 【答案】AB 【详解】A．第一宇宙速度是飞船的最小发射速度，小于第一宇宙速度飞船将落回地面，所以神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度，A正确； B．根据开普勒第三定律，半长轴越大，周期越大，所以神舟十七号从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长，B正确； C．“M卫星”若要与空间站对接，可以在低于轨道Ⅲ的轨道上点火加速做离心运动追上空间站，C错误； D．由万有引力提供向心力 解得 到地心的距离相同，神舟十七号在轨道Ⅲ上经过c点的加速度等于其在轨道Ⅱ上经过c点的加速度，D错误。 故选AB。 【实战突破8-航天器对接和分离问题】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）2021年2月，天问一号探测器成功与火星交会，如图所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ = 4R，轨道Ⅱ上正常运行时经过O点的速度为v，关于探测器下列说法正确的是（　　） A．沿轨道Ⅱ运动时经过P点的速度大于沿轨道Ⅲ经过O点的速度 B．探测器由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ时，需要在O点加速 C．沿轨道Ⅱ的运动周期小于沿轨道Ⅲ的运动周期 D．沿轨道Ⅲ运动时，探测器经过O点的加速度大小等于 【答案】AD 【详解】A．探测器从轨道II变轨到轨道III需要在O点减速做近心运动，所以沿轨道Ⅱ运动时经过P点（即O点）的速度大于沿轨道Ⅲ经过O点的速度，故A正确； B．探测器由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ时，需要在O点减速做近心运动，故B错误； C．由题意可知，探测器在轨道II运行的轨道半径大于沿轨道Ⅲ运行的半长轴，由开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅱ的运动周期大于沿轨道Ⅲ的运动周期，故C错误； D．由牛顿第二定律可知，沿轨道Ⅲ运动时，探测器经过O点的加速度大小等于探测器沿轨道II运动时，经过O点时的加速度大小，即为 故D正确。 故选AD。 04 单元小结 一、考点考向 1、开普勒定律的理解与应用 2、万有引力定律及其应用 考向：（1）　万有引力定律的应用；（2）万有引力与重力的关系；（3）星体表面及上空的重力加速度； 3、天体质量和密度的估算题 考向：（1）利用“重力加速度法”计算天体的质量和密度；（2）利用环绕法估算天体的质量和密度； 4、卫星运行参量的分析 考向：（1）卫星运行参量比较；（2）同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较；（3）卫星运行参量分析 5、宇宙速度 6、 体的“追及相遇”问题 7、卫星变轨问题 考向：（1）卫星轨道的渐变；（2）卫星轨道的突变；（3）航天器对接和分离问题 8、双星、多星模型 二、常考题型 本章内容热点考查卫星在不同轨道上运动动力学分析，常与圆周运动知识实际情景结合考查，单独考查时与选择题形式出题。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$