专题16.6 二次根式的加减（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.6 二次根式的加减（精选精练）（专项练习） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2024八年级上·北京·专题练习）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A．或 B．或 C．或 D．-或 7．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 8．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 9．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 10．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 12．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算的结果是 ． 13．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 15．（2023·江苏苏州·一模）若表示不超过的最大整数，，则______． 16．（22-23八年级上·上海嘉定·期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ． 17．（20-21八年级上·四川成都·阶段练习）已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为 ． 18．（20-21七年级上·重庆·期末），，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·全国·阶段练习）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： （1） （2） 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： （1）； （2）． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）科华数学之星在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解决的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ （4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B A D B B A 1．C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义判断即可，正确理解同类二次根式的定义和掌握二次根式的性质是解题的关键． 解：、与不是同类二次根式，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 、∵， ∴与是同类二次根式，符合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 2．C 【分析】本题考查利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算，先由二次根式性质比较，再由绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算是解决问题的关键． 解：，，且， ，则， ， ， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的减法，同类二次根式，二次根式的乘法和二次根式的除法对各选项进行判断即可得出结论．掌握相应的运算法则、定义和性质是解题的关键． 解：A．，故此选项符合题意； B．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了因式分解的应用及二次根式的运算，利用完全平方公式把化为，然后把代入计算即可． 解：， ， 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 解：。 ∵， ∴， 故选：B. 6．A 【分析】将“”、“”、“”、“”代入计算，即可求解． 解：，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， ，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， 故“□”中的运算符号可能是：或， 故选：A． 【点拨】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 7．D 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 8．B 【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 9．B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了分母有理化，读懂题意，利用平方差公式进行分母有理化，是解答本题的关键． 根据题意，将展开，然后利用平方差公式进行分母有理化，化简整理，最终得到答案． 解：根据题意得： ， ． 故选：． 11．9 【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可． 解：由题意可知，，， 解得，， ； 故答案为：9． 12． 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用平方差公式计算，再进行约分即可． 解：， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，分母有理化，比较这两个式子的大小，可以比较这两个式子的倒数，利用分母有理化的方法求出这两个式子的倒数，由于这两个数都是正数，则倒数越大，其值越小，据此求解即可． 解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，根据题意得出，进而，整体代入，即可求解． 解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 15． 【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到，然后根据表示不超过x的最大整数得到． 解：，那么， ∴，． 故答案为：． 【点拨】本题考查了取整计算：表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂． 16．/ 【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可． 解：由题意可得：的“互为友好因式”为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法． 17．- 【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值． 解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0， 解得，x＝8，则y＝18， ∵x＞0，y＞0， ∴原式＝﹣ ＝﹣ ＝ ＝﹣ 把x＝8， y＝18代入 原式＝﹣ ＝2﹣3 ＝-， 故答案为：-． 【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简． 18． 【分析】根据题目条件，先求出，，，的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式进行化简与计算，即可求解． 解：， ， ，      ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出，，，的值的规律，再用裂项法求出结果． 19．（1）；（2） 【分析】（1）根据二次根式加减的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算，零指数幂，负整数指数幂公式计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1）解： ． （2））解： ． 20．（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式、绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，再进行二次根式的加减运算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 21．（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，掌握运算法则，并正确进行计算是解题的关键； （1）分别计算绝对值与零指数幂，再合并同类二次根式即可； （2）分别用平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 22．（1）；（2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 解：（1）解：， ； （2）解：， ． 23．（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值． 解：（1）解：， ． 故答案为：，． （2）原式． （3）∵， ． ，． ． 原式． 24．（1），；（2）这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；（3）自变量时，函数取最大值，最大值为；（4） 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． （4）①， ， 又， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， 此时m有最大值，最大值为， 又，结果分母都为正数， ， ②时， ③，， 又， 当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为， 此时m有最小值，最小值为， 又，结果的分母为负数， ， ， 综合①②③得m的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$