1.4.角平分线（第二课时）课时训练2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明4.角平分线（第二课时）课时训练 知识点：角平分线的性质定理及判定定理的应用，三角形三个角的平分线交于一点。 本课时训练包括5道选择题，5道填空题，5道解答题。建议用时60分钟。 一、单选题 1．三角形的三个角平分线相交于一点，这一点到（ ） A．三角形三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边距离相等 D．都有可能 2．如图，在中，是的角平分线．若，则点到的距离为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（） A． B． C． D． 4．如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为70，，，则的长为（    ） A．10 B．3 C．6 D．5 5．如图，是的角平分线，为上一点，，．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．直角中，，在三角形内有一点到三边的距离相等，这个相等的距离= ． 7．如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 8．如图，点P是的角平分线上一点，于点D，垂直平分，若，，则 ． 9．如图，已知的周长是，，分别平分，，于点，且，则的面积为 ． 10．如图，的两个外角和的平分线，相交于点P，作射线，过点P作，，垂足分别是点C，D，则下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的有 ． 三、解答题 11．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 12．阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 13．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 14．已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：． 方法1：（）已知，，那么________． （）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，． （）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 15．如图，在中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒． (1)点到达点时，________秒；到时，________秒； (2)当时，求的值； (3)当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章三角形的证明4.角平分线（第二课时）课时训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C B B D D 1．C 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，过点D作于点E，根据“角平分线上的点到角两边的距相等”，即可得出答案，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 在中，是的角平分线．， ∴， 即点到的距离为， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查尺规作图，熟练练的垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线， 为线段 的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可． 【详解】由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线， 为线段 的垂直平分线 由垂直平分线的性质可得， 故A选项不符合题意； ∵为线段的垂直平分线， ， ， 故C选项不符合题意； 为的平分线， ， ， ， ， 故D选项不符合题意； 根据已知条件不能得出， 故B选项符合题意． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，， ， ， ， ， 故选：D． 5．D 【分析】过作于点，由角平分线的性质可得，利用角平分线的有关计算可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，然后利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的有关计算，两直线平行内错角相等，等角对等边，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 6．2 【分析】本题考查的是角平分线的性质，连接，设点到各边的距离为x，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 设点到各边的距离为x， ∵，两直角边， 由题意得，， 解得， 故答案为：2． 7．3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，如图，过D点作交于点，根据勾股定理得出，再由角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得出结果． 【详解】解：如图，过D点作交于点， ∵， ， ∵，， ∴， ∵平分交于点， ， 故答案为：3． 8．4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，由已知能够注意到是解决的关键．过点P作于点F，由角平分线的性质知：，所以在直角中求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点P作于点F， ∵点P是的角平分线上一点，于点D， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 则． 故答案是：4． 9． 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，于，连接，根据角平分线的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于，OF⊥AC于，连接， 平分，，， ，同理，， 的周长是， ， 的面积， 故答案为： 10．①②④⑤ 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点E，由角平分线的性质得，，所以，则点P在的平分线上，所以平分，可判断①正确；再根据“”证明，得，可判断②正确；假设成立，可根据“”证明，得，则，与已知条件不符，可判断③错误；再根据“”证明，得，，同理可证明，，则，可判断④正确；由，，得，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点E，则， ∵平分，平分，且于点C，于点D， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，即平分，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 假设成立，则有， ∴， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ， ∴，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 11．4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 12．(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； （3）∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 13．(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 14．方法：（）；（）见解析；方法：见解析 【分析】[方法]（）由，，求得，于是得到问题的答案； （）作，，垂足分别为，，则，由角平分线的性质得，再证明，即可根据“”证明得； [方法]在上截取，连接，再证明，而，， 即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明； 此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键. 【详解】解：方法：（）∵，， ∴， 故答案为：； （）如图， （）证明：∵平分，，． ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ 方法： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．(1)3，7 (2)或6 (3)或5 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，根据题意依次计算即可． （2）分点P在上和点P在上，两种情况，建立等式计算即可． （3）分别根据点或点在的角平分线上两种情况，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案， 【详解】（1）解：动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，且，， ∴点到达点时，秒,；到时，, 故答案为：3，7； （2）解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止， ∴ 当点P在上时， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点P在上时，， ∵ ∴ ∴， ∴或6； （3）解：点或点到边和边的距离相等时，点或点在的角平分线上， 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点Q作于点G， 得，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点作于点H， 此时，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$