精品解析：天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内． 1. 已知、、成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的性质计算可得； 【详解】解：因为、、成等比数列， 所以，解得； 故选：C 2. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于原点成中心对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三个坐标全部取相反数即可得． 【详解】点关于原点成中心对称的点的坐标为， 故选：A． 3. 已知直线l的方程为，则过点且与l垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直设所求直线方程为，代入已知点坐标求得参数即得． 【详解】设所求直线方程为， 又直线过点，所以，， 所以直线方程为， 故选：C． 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意可得，解得. 故选：B 5. 已知点，直线，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到直线距离公式计算 【详解】由已知所求距离为， 故选：B． 6. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直可知直线方向向量与平面的法向量平行即可求解. 【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为直线平面，所以，解得. 故选：A. 7. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析圆心距和半径之和的关系，即可得外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，整理得：，圆心，半径为， 因为，所以， 即两圆相外切， 故选：D. 8. 若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，设，利用焦半径公式求出，再代入求出即可. 【详解】抛物线的准线为，设，则，解得， 所以，解得， 所以点的坐标为或. 故选：C 9. 已知等差数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出，即可得到等差数列的通项公式，再由通项公式可得，，从而得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，且， 则，解得，数列为递增数列， 则， 令，即，解得， 则，，所以时，取得最小值. 故选：C 10. 青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，是一只内壁光滑的青花瓷大碗，碗口直径为20cm，碗深10cm．忽略瓷碗的厚度，瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线（如图2），则该拋物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 5cm C. 10cm D. 20cm 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程来求解即可. 【详解】 如图建立直角坐标系，可设抛物线方程为：， 由碗口直径为20cm，碗深10cm．可知：抛物线经过点， 代入得：，解得：， 所以该拋物线的焦点到准线的距离为cm， 故选：B. 11. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明平面，是正方形，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求线面角从而得出满足的关系，再计算，结合函数知识得最小值． 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 12. 已知数列的前项和为，直线与圆交于两点，且．若存在，使得有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出弦长得，利用求得，然后不等式变形为，用分离参数法变形为（这里），然后求出数列的最大项即可得． 【详解】由题意圆圆心为原点，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以， ，， 时，， 所以，， 所以是等比数列，公比为3，所以， 不等式有解，即，， 设，当时，， ，，， ， ，时，，即，即数列从第5项开始递减， 所以的最大值是， 所以， 故选：B． 【点睛】方法点睛：关于数列的不等式有解问题，，用分离参数法变形为（这里），然后求出数列的最大项即可得参数范围，而求数列最大值的方法是作差法（也可用作商法），确定数列的单调性，从而得最大项． 第Ⅱ卷（90分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 14. 已知向量，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 15. 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为： 16. 已知数列满足，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由递推关系代入计算可得． 【详解】因为，， 所以，，同理. 故答案为：3. 17. 已知直线与互相平行. （1）实数______； （2）直线与之间的距离是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据一般式方程中两直线平行的条件得到方程，求出，再由距离公式计算可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得； 则直线,， 所以直线与之间的距离. 故答案为：; 18. 如图，在平行六面体中，与的交点为. （1）设，则______（用表示）； （2）若，且，则CM与BA所成角的余弦值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据空间向量的四则运算法则，得出；根据已求得的和，分别求得，，，代入夹角公式即可. 【详解】(1), ， ； 故答案为：. (2)由， ， 令， ； ， 由，得， 则， 设CM与BA所成角为，则， 所以. 故答案为：. 19. “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世态丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的. （1）第层的货物的价格为______万元： （2）若这堆货物总价是万元，则的值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用等比数列来求通项即可；利用错位相减法来求和，最后可求解的值. 【详解】①由第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件. 已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的. 可知货物单价组成一个等比数列，首项为，公比为， 所以（万元）， 即第层的货物的价格为（万元； ②根据每一层的单价和件数可得每一层的总价为 所以总价 上面两式相减得： 整理得： 即（万元） 由于这堆货物总价是万元，所以， 故答案为：；. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，. （1）若，则双曲线的离心率的取值范围为______； （2）设弦的中点为，且.若过原点与点的直线的斜率不小于，则双曲线的离心率的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）表示出双曲线的渐近线方程，依题意，再由离心率公式计算可得；（2）连接，，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，所以， 则双曲线的离心率，即双曲线的离心率的取值范围为； （2）如图，设双曲线E的半焦距为，连接，，因为， 所以，.设， 由双曲线的定义，得，， 所以，，， 所以，即. 设，则， 所以，解得. 又，所以， 解得，所以，即， 所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知圆心为，且圆经过点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出半径后可得圆标准方程； （2）确定切线斜率存在，设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径求得得切线方程． 【小问1详解】 由题意半径为， 所以圆方程； 【小问2详解】 易知直线与圆不相切， 设切线方程为，即， 由，解得或， 所以切线方程为或．即或． 22. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)利用线线平行证明线面平行即可； (2)利用空间向量法求点到面的距离即可； (3)利用空间向量法求两平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 在正方体中，可知 所以四边形是平行四边形，则， 又因为平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，根据棱长为2的正方体，可得： ， 即， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量， 即点到平面的距离； 【小问3详解】 由正方体可知平面的法向量可设为， 设平面和平面夹角为， 则. 23. 在等差数列中，. （1）求数列的通项公式和前项和； （2）若数列满足是公比为2的等比数列，且. （i）若集合中恰有2个元素，求实数的取值范围； （ii）若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量运算求得和公差，再由等差数列前项和公式得结论； （2）利用等差数列的通项公式求得，再由累加法求得，（i）题意说明不等式恰有两个正整数解，分离参数为，由作差法确定数列的单调性，然后分析出不等式的两个正整数解及的范围；（ii）用裂项相消法求得，然后按的奇偶分类计算求得的范围． 【小问1详解】 因为是等差数列， 所以，公差， 所以，从而， ， 【小问2详解】 由.知，， 又是公比为2的等比数列， 所以，解得，， 所以， 从而时，，也适合此式， 所以 （i）集合中恰有2个元素， 不等式，为，所以，因此不等式恰有两个正整数解． 设， ，， 时，，即，时，，因此，， 所以数列从第2项开始是递减， 又，，， 所以不等式恰有两个正整数解，则．不等式的解为或． 实数的取值范围是． （ii）若对，都有， ， 所以， 不等式为，从而，， 为偶数时，，数列的偶数项中最小值是，所以， 为奇数时，，数列的奇数项中最小值是，所以，， 综上，即的范围是． 【点睛】思路点睛：本题属于数列的综合题，考查了等差数列的前项和公式，等比数列的通项公式，累加法求得通项公式，裂项相消法求数列的和，用数列的单调性确定的最值．在用累加法求通项公式时注意对首项的验证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内． 1. 已知、、成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于原点成中心对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l的方程为，则过点且与l垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 5. 已知点，直线，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 6. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. B. 20 C. D. 7. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 8. 若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等差数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，是一只内壁光滑的青花瓷大碗，碗口直径为20cm，碗深10cm．忽略瓷碗的厚度，瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线（如图2），则该拋物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 5cm C. 10cm D. 20cm 11. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 已知数列的前项和为，直线与圆交于两点，且．若存在，使得有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（90分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 14. 已知向量，且，则实数的值为______. 15. 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是______. 16. 已知数列满足，则______. 17. 已知直线与互相平行. （1）实数______； （2）直线与之间的距离是______. 18. 如图，在平行六面体中，与的交点为. （1）设，则______（用表示）； （2）若，且，则CM与BA所成角的余弦值为______. 19. “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世态丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的. （1）第层的货物的价格为______万元： （2）若这堆货物总价是万元，则的值为______. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，. （1）若，则双曲线的离心率的取值范围为______； （2）设弦的中点为，且.若过原点与点的直线的斜率不小于，则双曲线的离心率的取值范围为______. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知圆心为，且圆经过点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 22. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值. 23. 在等差数列中，. （1）求数列的通项公式和前项和； （2）若数列满足是公比为2的等比数列，且. （i）若集合中恰有2个元素，求实数的取值范围； （ii）若对，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $