第06讲 向量坐标表示与运算（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第06讲 向量坐标表示与运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量正交分解及其坐标表示； 2．掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算； 3．掌握向量数量积的表示，并会简单应用； 4．掌握向量长度、夹角和向量垂直的坐标表示． 知识点1 向量的坐标表示 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作．其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示．特殊向量的坐标，，． 2、点的坐标与向量坐标的区别与联系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点中间没有等号 意义不同 点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量坐标与向量终点的坐标相同 知识点2 向量线性运算的坐标表示 1、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3、任一向量的坐标 ①设、，则 这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． ②若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． 知识点3 向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和． 2、两向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则． 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则． 考点一：向量坐标运算的直接运用 例1．（23-24高一下·四川德阳·月考）已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面向量， 所以，则.故选：B. 【变式1-1】（23-24高一下·广东东莞·月考）已知平面向量，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为平面向量，， 所以，，则.故选：D. 【变式1-2】（23-24高一下·云南昆明·月考）已知向量，，，若，则 . 【答案】3 【解析】因为向量，，，且， 所以，解得，，所以. 故答案为：3 【变式1-3】（23-24高一下·湖南益阳·月考）已知向量，，若，则 . 【答案】 【解析】，，解得：，. 故答案为：. 考点二：利用向量坐标运算求点的坐标 例2.（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以，故选：B 【变式2-1】（23-24高一下·北京·月考）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则 ． 【答案】 【解析】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， ，即， 则，，， 因为， 所以， 即， 所以，两式相加并整理得，因为， 所以. 故答案为： 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南京·月考）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【答案】 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设， 则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 【变式2-3】（23-24高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 考点三：向量数量积的坐标表示 例3.（23-24高一下·山西·月考）已知，，则（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】因为，，所以．故选：B． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏·月考）在中，满足，则 ． 【答案】 【解析】在中，由，可得，所以为直角三角形， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，可得， 所以. 【变式3-2】（23-24高一下·天津南开·月考）为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则 ． 【答案】18 【解析】以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 由已知得，， 所以， 所以， 故答案为：18． 【变式3-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设构成的一次函数为，代入，， 得，得，即， 因点P在线段BC上，可设，其中， 则，， ， 因，故当时取最小值为. 故答案为： 考点四：利用坐标解决向量垂直 例4.（23-24高一下·江苏·月考）已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】向量，，且， 则有，解得.故选：C. 【变式4-1】（23-24高一下·河北保定·月考）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 【答案】B 【解析】由题， 因为，所以.故选：B. 【变式4-2】（23-24高一下·湖北武汉·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，， 因为，所以，得.故选：B 【变式4-3】（23-24高一下·河北沧州·期中）已知向量，．若，，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 因为， ， 由， 因为上式对任意都成立，所以. 故答案为： 考点五：利用坐标求解向量的模长 例5.（23-24高一下·河南南阳·月考）设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得，所以.故选：B 【变式5-1】（23-24高一下·云南·月考）已知向量，若不超过，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且不超过， 所以，解得，故选：D． 【变式5-2】（23-24高一下·天津·月考）已知向量，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，则， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围是.故选：D. 【变式5-3】（23-24高一下·江西抚州·期中）如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】如图建系可得, , ,. .故选:D. 考点六：利用坐标求解向量的夹角 例6.（23-24高一下·广东汕头·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，，， 所以．故选：B 【变式6-1】（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为．故选：A. 【变式6-2】（23-24高一下·陕西西安·月考）已知向量，，且，若与的夹角为，则 ． 【答案】 【解析】向量，，由，得，解得， 即，则，，， ，所以. 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一下·北京东城·月考）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】向量与的夹角为钝角， 所以，且，解得， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏淮安·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C. 2．（23-24高一下·山东·期末）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 3．（23-24高一下·广西河池·月考）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以.故选：D 4．（23-24高一下·山东威海·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，由， 则有，解得.故选：B. 5．（23-24高一下·江苏淮安·月考），则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为，则， 又因为，即，解得， 则，所以.故选：A. 6．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图所示平面直角坐标系． 已知，，，得，， ，，， ，， ，， 因为点在上，则， 又，且、不共线， 可得，且，解得． ， ．故选：D． 二、多选题 7．（23-24高一下·云南昭通·月考）已知是边长为2的正六边形内一点，则的值可以是（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】BC 【解析】如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 易知正六边形的每个内角为，所以， 则，， 设，则，且. 所以，则BC正确，AD错误.故选：BC. 8．（23-24高一下·江苏南通·月考）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，它的边长为1，则（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为 【答案】AC 【解析】由正六边形性质可得相交与一点，记该点为，则为的中点， 对于选项A：因为，故A正确； 如图，建立平面直角坐标系， 则， 对于B，因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，， 所以向量在向量上的投影向量为， 又，所以向量在向量上的投影向量为，C正确； 对于D，设，可知， 则，可得， 所以当时，即当点与点重合时，取最小值，最小值为，故D错误.故选：AC. 三、填空题 9．（23-24高一下·湖北·月考）若，且为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为为锐角，所以与的夹角为锐角， 又， 所以，解得且. 故答案为：. 10．（23-24高一下·江苏淮安·月考）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 若， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·陕西宝鸡·月考）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）． 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即，得． 因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得 （2）． （3）因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则， 因为，所以，解得， 即点的坐标为． 12．（23-24高一下·江西·月考）已知向量，且． (1)求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1)4；(2)或 【解析】（1）， 因为，所以，即，则， 所以． （2）由向量与互相垂直得， 所以，即， 即，解得或． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 向量坐标表示与运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量正交分解及其坐标表示； 2．掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算； 3．掌握向量数量积的表示，并会简单应用； 4．掌握向量长度、夹角和向量垂直的坐标表示． 知识点1 向量的坐标表示 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作．其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示．特殊向量的坐标，，． 2、点的坐标与向量坐标的区别与联系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点中间没有等号 意义不同 点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量坐标与向量终点的坐标相同 知识点2 向量线性运算的坐标表示 1、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 3、任一向量的坐标 ①设、，则 这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． ②若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． 知识点3 向量数量积的坐标表示 1、数量积坐标表示：若，，则 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和． 2、两向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则． 3、用坐标表示模长、距离、夹角 （1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，则． 考点一：向量坐标运算的直接运用 例1．（23-24高一下·四川德阳·月考）已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·广东东莞·月考）已知平面向量，，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·云南昆明·月考）已知向量，，，若，则 . 【变式1-3】（23-24高一下·湖南益阳·月考）已知向量，，若，则 . 考点二：利用向量坐标运算求点的坐标 例2.（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-1】（23-24高一下·北京·月考）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则 ． 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南京·月考）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【变式2-3】（23-24高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 考点三：向量数量积的坐标表示 例3.（23-24高一下·山西·月考）已知，，则（    ） A．7 B． C．9 D． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏·月考）在中，满足，则 ． 【变式3-2】（23-24高一下·天津南开·月考）为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则 ． 【变式3-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 考点四：利用坐标解决向量垂直 例4.（23-24高一下·江苏·月考）已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B． C．8 D． 【变式4-1】（23-24高一下·河北保定·月考）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 【变式4-2】（23-24高一下·湖北武汉·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·河北沧州·期中）已知向量，．若，，则 ． 考点五：利用坐标求解向量的模长 例5.（23-24高一下·河南南阳·月考）设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·云南·月考）已知向量，若不超过，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·天津·月考）已知向量，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·江西抚州·期中）如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．3 D． 考点六：利用坐标求解向量的夹角 例6.（23-24高一下·广东汕头·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·陕西西安·月考）已知向量，，且，若与的夹角为，则 ． 【变式6-3】（23-24高一下·北京东城·月考）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏淮安·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东·期末）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西河池·月考）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高一下·山东威海·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏淮安·月考），则（    ） A． B． C． D．2 6．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·云南昭通·月考）已知是边长为2的正六边形内一点，则的值可以是（    ） A． B．0 C．4 D．6 8．（23-24高一下·江苏南通·月考）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，它的边长为1，则（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为 三、填空题 9．（23-24高一下·湖北·月考）若，且为锐角，则实数的取值范围是 . 10．（23-24高一下·江苏淮安·月考）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 四、解答题 11．（23-24高一下·陕西宝鸡·月考）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 12．（23-24高一下·江西·月考）已知向量，且． (1)求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$