专题01 导数的概念及其意义（9大题型）-2025年高二数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题01 导数的概念及其意义 【题型归纳目录】 题型一：函数的平均变化率 题型二：求瞬时速度 题型三：求函数在某点处的导数 题型四：求切线方程 题型五：求切点坐标 题型六：利用图象理解导数的几何意义 题型七：过某点的曲线的切线 题型八：利用定义求导函数 题型九：导数的几种形式 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 题型一：函数的平均变化率 【典例1-1】函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】函数从到的平均变化率为． 故选：B 【典例1-2】已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 【答案】B 【解析】∵，∴． 故选：B 【变式1-1】函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴. 故选：C． 【变式1-2】若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】C 【解析】∵函数在区间上的平均变化率为5， ∴，解得． 故选：C 知识点二：导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 题型二：求瞬时速度 【典例2-1】如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【解析】， 所以． 故选：D． 【典例2-2】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得． 故选：B． 【变式2-1】某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 【变式2-2】如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以. 故选：D. 知识点三：求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③求极限，得导数：． 也可称为三步法求导数． 题型三：求函数在某点处的导数 【典例3-1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由导数的定义得: ． 故选：D. 【典例3-2】定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导数的定义可得， 故选：B. 【变式3-1】函数在处的导数为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以函数在处的导数为. 故选：D. 【变式3-2】已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D不正确， 故选：A. 知识点四、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 题型四：求切线方程 【典例4-1】已知函数，则在处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由，则， ，故， 则，即. 又切线过，所以在处的切线为，即. 故答案为：. 【典例4-2】曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【解析】由题意得在处的切线斜率为， 故切线方程是，即， 故答案为： 【变式4-1】已知函数，则曲线在处切线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为 ， 又因为，所以所求切线方程为， 即． 故答案为：. 【变式4-2】已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【解析】点不在曲线上． 设所求切线的切点为， 则切线的斜率， 故所求的切线方程为， 将及代入上式，得， 解得或，所以切点为或． 从而所求切线方程为或. 故答案为：或. 题型五：求切点坐标 【典例5-1】已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 【答案】或 【解析】设，则， 易得曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 又因为该直线与曲线相切， 所以该直线与曲线只有一个公共点． 由得， 则， 解得，则， 所以点的坐标为或． 故答案为：或 【典例5-2】已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【答案】 【解析】设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故答案为：； 【变式5-1】直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【答案】 【解析】设直线与曲线的切点为，则 由题意可知，，解得或， 当时，， 又点在直线上，将，. 代入得，与已知条件矛盾，不合题意舍去． 当时，. 将代入直线中，得. 故答案为：，. 【变式5-2】已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 【答案】 【解析】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为. 故答案为：. 题型六：利用图象理解导数的几何意义 【典例6-1】函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 【典例6-2】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别作出函数在的切线， 则 则有. 故选：B 【变式6-1】某种新产品的社会需求量是时间的函数，记作：．若，社会需求量的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，的导函数满足：（k为正的常数），则函数的图像可能为（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】B 【解析】因为，依题知，所以， 即函数单调递增，④不合， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 则若，则等号可以取得，即导函数在处取得最大值， 即在该处函数的变化最大，则③满足题意，②不合题意； 当时，等号取不了，但是单调递增的，①符合题意； 只有①③符合题意. 故选：B 【变式6-2】已知的导数存在，的图象如图所示，设是由曲线与直线，及x轴围成的平面图形的面积，则在区间上（    ） A．的最大值是，最小值是 B．的最大值是，最小值是 C．的最大值是，最小值是 D．的最大值是，最小值是 【答案】D 【解析】如图所示，的最大值为，最小值为． 由导函数的定义，得． 则的最大值是，最小值是. 故选：D 题型七：过某点的曲线的切线 【典例7-1】已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【解析】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 【典例7-2】已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【解析】设所求切线与曲线相切于点，显然， 由题意，得切线斜率 又，于是， 解得或，所以或16. 从而所求切线方程为或， 即或. 【变式7-1】已知曲线上一点，求： (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 【解析】（1） 曲线在点处的切线的斜率为4. （2）由（1）知曲线在点处的切线的斜率是4， 切线方程是，即. 【变式7-2】求曲线过点的切线方程． 【解析】设切点为，则， 当时，趋于2a，所以所求切线的斜率为2a，故， 解得，所求的切线方程为或, 所以所求的切线方程为或. 知识点五、导数的概念 导函数定义： 由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或， 即： 知识点诠释： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 导函数也简称导数，所以 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值． 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 题型八：利用定义求导函数 【典例8-1】用导数的定义求函数的导数． 【解析】设， 则， 得， 即函数的导数为. 【典例8-2】已知，用割线逼近切线的方法求． 【解析】因为，则， 因此，. 【变式8-1】求函数y＝在x0(x0>－1)处的导数． 【解析】令f(x)＝，则f′(x0)＝ ＝＝ ＝＝. 【变式8-2】在函数y＝f(x)＝x2＋3的图像上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)． 求：(1)； (2)f′(1)． 【解析】(1)＝＝＝2＋Δx. (2)f′(1)＝＝ (2＋Δx)＝2. 知识点六、导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率． 2、导数的几何意义——曲线的切线 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线都用“与有且只有一个公共点”来定义的切线呢？如图的曲线是我们熟知的正弦曲线的一部分，直线2显然与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线在点处的切线． 知识点七、导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 知识点诠释：只要是时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式． 题型九：导数的几种形式 【典例9-1】若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 故选：C 【典例9-2】若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】根据题意， 则． 故选:D． 【变式9-1】设函数在处的导数存在，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 故选：C 【变式9-2】设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选：A 【强化训练】 1．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解析】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 2．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 【答案】C 【解析】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：C. 3．已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线在点处的切线的斜率为 ，故切线的倾斜角为． 故选：B. 4．已知函数在处的导数，函数的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以. 因为函数的图象与x轴恰有一个交点，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为2. 故选：A 5．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C 6．下面说法正确的是(    ) A．若不存在，则曲线在点处没有切线 B．若曲线在点处有切线，则必存在 C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在 【答案】C 【解析】的几何意义是曲线在点处切线的斜率， 当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线. 故选：C. 7．设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 即. 故选：C 8．若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】∵图象过原点，∴， ∴， 故选：C 9．如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以． 故选：A． 10．已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ∴． 故选：A． 11．（多选题）若函数在处存在导数，则的值（    ） A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关 【答案】AD 【解析】由导数的定义可知，， 函数在处的导数与有关，与h无关， 故选：AD． 12．函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 【答案】5 【解析】所以， 即，从而,解得或（舍去）． 故答案为：5. 13．已知函数在处的导数为，则函数在处切线的倾斜角为 . 【答案】 【解析】设切线的倾斜角为，则，又，则. 故答案为： 14．利用导数的定义，求在处的导数． 【解析】， ， ． 15．已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 【解析】（1）由题意得，割线的斜率为 由，得． 又因为，所以的取值范围是． （2）由（1）可得函数的图象在点(2，)处的切线的斜率为． 又，所以所求切线方程为，即． 16．已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值. 【解析】∵， ∴，即切线斜率. ∵， ∴，即切线斜率. ∵在交点处有公共切线， ∴，又，即， 所以. 17．已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【解析】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数的概念及其意义 【题型归纳目录】 题型一：函数的平均变化率 题型二：求瞬时速度 题型三：求函数在某点处的导数 题型四：求切线方程 题型五：求切点坐标 题型六：利用图象理解导数的几何意义 题型七：过某点的曲线的切线 题型八：利用定义求导函数 题型九：导数的几种形式 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 题型一：函数的平均变化率 【典例1-1】函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【典例1-2】已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 【变式1-1】函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 知识点二：导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 题型二：求瞬时速度 【典例2-1】如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【典例2-2】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式2-1】某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 知识点三：求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③求极限，得导数：． 也可称为三步法求导数． 题型三：求函数在某点处的导数 【典例3-1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数在处的导数为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3-2】已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 知识点四、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 题型四：求切线方程 【典例4-1】已知函数，则在处的切线方程为 . 【典例4-2】曲线在点处的切线方程是 . 【变式4-1】已知函数，则曲线在处切线的方程为 ． 【变式4-2】已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 题型五：求切点坐标 【典例5-1】已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 【典例5-2】已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【变式5-1】直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【变式5-2】已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 题型六：利用图象理解导数的几何意义 【典例6-1】函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】某种新产品的社会需求量是时间的函数，记作：．若，社会需求量的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，的导函数满足：（k为正的常数），则函数的图像可能为（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①②④ 【变式6-2】已知的导数存在，的图象如图所示，设是由曲线与直线，及x轴围成的平面图形的面积，则在区间上（    ） A．的最大值是，最小值是 B．的最大值是，最小值是 C．的最大值是，最小值是 D．的最大值是，最小值是 题型七：过某点的曲线的切线 【典例7-1】已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【典例7-2】已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【变式7-1】已知曲线上一点，求： (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 【变式7-2】求曲线过点的切线方程． 知识点五、导数的概念 导函数定义： 由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或， 即： 知识点诠释： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 导函数也简称导数，所以 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值． 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 题型八：利用定义求导函数 【典例8-1】用导数的定义求函数的导数． 【典例8-2】已知，用割线逼近切线的方法求． 【变式8-1】求函数y＝在x0(x0>－1)处的导数． 【变式8-2】在函数y＝f(x)＝x2＋3的图像上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)． 求：(1)； (2)f′(1)． 知识点六、导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率． 2、导数的几何意义——曲线的切线 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线都用“与有且只有一个公共点”来定义的切线呢？如图的曲线是我们熟知的正弦曲线的一部分，直线2显然与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线在点处的切线． 知识点七、导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 知识点诠释：只要是时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式． 题型九：导数的几种形式 【典例9-1】若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式9-1】设函数在处的导数存在，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（   ） A． B． C． D． 【强化训练】 1．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 2．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 3．已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数在处的导数，函数的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 5．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．下面说法正确的是(    ) A．若不存在，则曲线在点处没有切线 B．若曲线在点处有切线，则必存在 C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在 7．设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 8．若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 9．如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 10．已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）若函数在处存在导数，则的值（    ） A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关 12．函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 13．已知函数在处的导数为，则函数在处切线的倾斜角为 . 14．利用导数的定义，求在处的导数． 15．已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 16．已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值. 17．已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 学科网（北京）股份有限公司 $$