预习04 平面向量基本定理（六大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习04 平面向量基本定理 知识点 ：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 考点01 基底的概念及辨析 【方法点拨】（1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底；（2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 【例1】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 【例2】已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1-2】已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 考点02 用基底表示向量 【方法点拨】用基底表示向量的方法一：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止 【例3】在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，设，，若是线段中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【变式2-3】在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（    ） A． B． C． D． 考点03 用基底表示向量（设方程组） 【方法点拨】用基底表示向量的方法二：通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 【例5】在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式3-1】如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3-2】如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【变式3-3】已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则 . 考点04 利用平面向量基本定理求参数 【例7】在中，点D，E满足，．若，则 ． 【例8】在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】为梯形的一条对角线，在线段上，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【变式4-3】如图，在中，是的中点，．    (1)若，，求； (2)若，求的值． 考点05 利用平面向量基本定理解决证明问题 【例9】如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【例10】如图，在中，上有一点（点P不与点A、B重合），设，，（，），求证：，且.    【变式5-1】如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 【变式5-2】如图，在中，点为上一点，且． (1)请用向量表示向量； (2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：． 【变式5-3】如图，在平行四边形中，E是的中点，交于M，试用向量的方法证明：M是的一个三等分点.    考点06 平面向量基本定理的综合应用 【例11】如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【例12】已知正三角形的边长为2，点满足，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则 ． 【变式6-3】已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2023-24高一下·湖北·期中）已知是一组不共线的向量，集合，，则关于集合说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023-24高一下·全国·课后作业）设是不共线的向量，则下面四组向量中，能作为一组基底的组数有（    ） ①和；②和；③和；④和. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 4．（2023-24高二上·湖南·阶段练习）在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023-24高三上·甘肃白银·期末）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023-24高一下·山东临沂·期中）在中，，，，点分别在边上，且满足，，若相交于点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高一下·广东深圳·阶段练习）（多选）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高一下·河南·阶段练习）（多选）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．    10．（2023-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 11．（2023-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则 ． 12．（2023-24高一下·福建厦门·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，点分别是的三等分点（，），设，． (1)用，表示，； (2)如果，，那么有什么位置关系?用向量方法证明你的结论． 13．（2023-24高三上·安徽·期中）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 14．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 15．（2023-24高三上·天津河西·期中）如图，中，，，，是的中点，延长交于点.    (1)用，表示； (2)设，求的值； (3)若，，求面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习04 平面向量基本定理 知识点 ：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 考点01 基底的概念及辨析 【方法点拨】（1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底；（2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 【例1】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【详解】对于A，根据平面向量基底定义可知，不共线，所以一定都是非零向量，A正确； 对于B，若，且在平面向量基本定理中不共线，所以，B正确； 对于C，只要是平面内不共线的两个向量都可作为基底，C错误； 对于D，因为，所以在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 【例2】已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 【变式1-1】下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确； 对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误； 对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确, 所以①③正确. 故选：B 【变式1-2】已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得向量与向量平行，不能构成空间的一个基底， 由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知与不共线， 所以与可构成平面的一个基底． 故选：C. 【变式1-3】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量， 与不共线，可作为基底向量． 故选：B. 考点02 用基底表示向量 【方法点拨】用基底表示向量的方法一：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止 【例3】在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意：. 故选：B 【例4】（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】在中，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABC． 【变式2-1】在中，设，，若是线段中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为四边形为平行四边形，且，， 所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. 故选：C. 【变式2-3】在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，如图，    ， 故选：A 考点03 用基底表示向量（设方程组） 【方法点拨】用基底表示向量的方法二：通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 【例5】在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 【例6】如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为基底，设， 则 ， 所以， 同理， ， 则； （2）因为三点共线，不妨设， 同理有三点共线，不妨设， 则有. 【变式3-1】如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 【变式3-2】如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【答案】 【详解】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则 . 【答案】 【详解】由三点共线，得：， 又， 所以有，解得. 故答案为：. 考点04 利用平面向量基本定理求参数 【例7】在中，点D，E满足，．若，则 ． 【答案】 【详解】在中，向量不共线，由，， 得，而， 因此，所以. 故答案为： 【例8】在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，因则,即（*）， 又,,代入（*）得，, 即，因三点共线，故，解得，. 故选：B. 【变式4-1】为梯形的一条对角线，在线段上，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意设， 则， 又且、不共线， 所以，即，所以，结合题意知， 故选：B 【变式4-2】如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【详解】因为是的中点，则 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D．    【变式4-3】如图，在中，是的中点，．    (1)若，，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）为中点，， ，. （2），，， 三点共线，，解得：. 考点05 利用平面向量基本定理解决证明问题 【例9】如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 【例10】如图，在中，上有一点（点P不与点A、B重合），设，，（，），求证：，且.    【答案】证明见解析 【详解】证明：由题易得，，. ∵与共线，存在实数，使得， 即. ∵、不共线， ∴ 消去得. ∵， ∴. 【变式5-1】如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为在中，E，H分别是AD，BC的中点，， 所以， ． （2）由（1）知，， 所以， 因为，所以，解得； （3）， 设，，则 ， 又， 所以，解得，所以， ∴， ∴，即A，G，H三点共线． 【变式5-2】如图，在中，点为上一点，且． (1)请用向量表示向量； (2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，， 又，故得， 所以． （2）由，，三点共线可设，又，， ， 为上一点，且， ， ， 所以． 【变式5-3】如图，在平行四边形中，E是的中点，交于M，试用向量的方法证明：M是的一个三等分点.    【答案】证明见解析 【详解】证明：设，， 因为M是、的交点，因此B、M、D三点共线且A、M、E三点共线， 故再设，， 则，① 因为E是的中点，所以， .  ② 由①②得，解得， 即， 所以是的一个三等分点. 考点06 平面向量基本定理的综合应用 【例11】如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 【例12】已知正三角形的边长为2，点满足，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取的中点， 连接，则， 又，故三点共线， 因为，所以点在中线上运动（不含端点）． 在正三角形中，， 则，故． 故选：C. 【变式6-1】已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，则， ， 故，，则， 而，所以， 所以四点共线，    又为外接圆圆心，连接，则， 由三线合一知，⊥，所以， 不妨设，则， 所以， 故 故选：C 【变式6-2】已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则 ． 【答案】 【详解】如下图所示：    因为为的中点，， 因为，，三点共线，可得， 解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 ． 故答案为： 【变式6-3】已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    设的中点为，连接，则， 故即，故为的中点， 因为三点共线，故存在实数，使得， 故，而， 因为不共线，故即， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：C. 1．（2023-24高一下·湖北·期中）已知是一组不共线的向量，集合，，则关于集合说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合表示所有与共线的向量，而集合则表示平面内所有与和共面的向量 故选：B 2．（2023-24高一下·全国·课后作业）设是不共线的向量，则下面四组向量中，能作为一组基底的组数有（    ） ①和；②和；③和；④和. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【详解】由基底的概念可知两个非零不共线向量可作为一组基底向量， 又因为是不共线的向量，由此可判断： ①设，则，无解， 所以与不共线，即与可作为一组基底； ②设，则，无解， 所以与不共线，即与可作为一组基底； ③因为，所以与共线，即与不可作为一组基; ④设，则，无解， 所以与不共线，即与可作为一组基底； 综上①②④可作为一组基底， 故选：C 3．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 4．（2023-24高二上·湖南·阶段练习）在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】连接， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，，三点共线，所以，则. 故选：D. 5．（2023-24高三上·甘肃白银·期末）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 6．（2023-24高一下·山东临沂·期中）在中，，，，点分别在边上，且满足，，若相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得，， 所以， 所以， 又， 所以， ， ， ， 则，则. 故选；C. 7．（2023-24高一下·广东深圳·阶段练习）（多选）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 8．（2023-24高一下·河南·阶段练习）（多选）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为，所以，则，故A错误； 对于B和C，因为A，M，Q三点共线，由共线定理可知，存在实数， 使得，设， 所以，所以 解得， ， 显然成立， 因为，所以， 故B，C正确； 对于D，因为，所以是的中点，因此， 由上可知， ，故D错误． 故选：BC 9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．    【答案】 【详解】设，又，， 所以．又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线， 所以，解得，所以． 故答案为： 10．（2023-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 11．（2023-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则 ． 【答案】 【详解】因为 三点共线，且，点是边的中点， 所以存在实数x满足， 又因为三点共线，所以， 所以，而， 且， 所以 . 故答案为： 12．（2023-24高一下·福建厦门·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，点分别是的三等分点（，），设，． (1)用，表示，； (2)如果，，那么有什么位置关系?用向量方法证明你的结论． 【答案】(1)， (2)垂直，证明见解析 【详解】（1）因为点是的中点，，， 所以，. （2）垂直，证明如下， 由（1）知， 所以，得到. 13．（2023-24高三上·安徽·期中）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，分别为，的中点， ∴； （2）设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 14．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 15．（2023-24高三上·天津河西·期中）如图，中，，，，是的中点，延长交于点.    (1)用，表示； (2)设，求的值； (3)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由点是的中点， 得. （2）设，，，， 则，① 又 ，② 所以对比①②得，得， 所以； （3）由（2）得，即，    因为，， 所以 ， 即，当且仅当，即时等号成立， 此时面积最大，为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$