专题16.7 二次根式（12大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.7 二次根式（12大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的概念 一般地，式子叫做二次根式. （1）若这个条件不成立，则 不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 【知识点2】几个重要公式 （1）,（2） ；注意使用. 【知识点3】积的算术平方根 ，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 【知识点4】二次根式的乘法法则 . 【知识点5】二次根式比较大小的方法 （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 【知识点6】商的算术平方根 ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【知识点7】二次根式的除法法则： （1）； （2）； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 【知识点8】常用分母有理化因式 ，， ，它们也叫互为有理化因式. 【知识点9】最简二次根式 （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 【知识点10】二次根式化简题的几种类型 （1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 【知识点11】同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【知识点12】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】概念与性质理解巩固 【题型1】二次根式的意义......................................................3 【题型2】利用二次根式的性质化简求值..........................................3 【题型3】最简二次根式与同类二次根式..........................................4 【题型4】分母有理化..........................................................4 【题型5】复合二次根式........................................................4 【考点2】二次根式的运算 【题型6】二次根式的乘除运算..................................................5 【题型7】二次根式的加减运算..................................................5 【题型8】二次根式的加减乘除混合运算..........................................5 【考点3】二次根式的化简求值 【题型9】已知字母的值，化简求值..............................................6 【题型10】已知条件式，化简求值...............................................6 【题型11】比较二次根式的大小.................................................6 【考点4】二次根式的应用 【题型12】二次根式的应用.....................................................6 【考点5】中考链接与拓展延伸 【题型14】直通中考...........................................................7 【题型15】拓展延伸...........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次根式的意义 【例1】（23-24八年级下·重庆开州·期中）若，都是实数，且满足，试化简代数式：． 【变式1】1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，则值等于 ． 【题型2】利用二次根式的性质化简求值 【例2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【变式1】2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 【例3】（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，且，求，平方和的算术平方根. 【题型4】分母有理化 【例4】（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25八年级上·四川甘孜·阶段练习）分母有理化： ； 【题型5】复合二次根式 【例5】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【题型6】二次根式的乘除运算 【例6】（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2），． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ （1）； （2）． 【题型7】二次根式的加减运算 【例7】（24-25八年级上·江西九江·期中）计算： （1）； （2）； 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式2】（22-23九年级上·海南海口·期中）计算： （1）； （2）． 【题型8】二次根式的加减乘除混合运算 【例8】（21-22八年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【变式】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算下列各式． （1）； （2）． 【题型9】已知字母的值，化简求值 【例9】（22-23九年级上·福建漳州·期中）已知，完成以下两题： （1）化简 （2）求代数式的值． 【变式1】已知，求代数式的值． 【变式2】（21-22八年级下·山东临沂·期末）若，则的值为 ． 【题型10】已知条件式，化简求值 【例10】（21-22八年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简再求值：，其中． 【变式1】（21-22八年级下·广西钦州·期中）已知，那么的值为 . 【变式2】已知，满足，求：． 【题型11】比较二次根式的大小 【例11】（22-23八年级上·江苏·单元测试）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【变式1】（21-22九年级下·湖南衡阳·自主招生）满足不等式的整数m的个数是 ． 【变式2】比较与的大小. 【题型12】二次根式的应用 【例12】（21-22八年级上·陕西西安·期中）已知，，为三个正数，当代数式取最小值时 ． 【变式1】（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：； ； ； …… 根据以上规律，计算 ． 【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算． 【变式2】已知，则 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型13】直通中考 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·河南·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【例2】（23-24九年级下·浙江·自主招生）设则不超过的最大整数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.7 二次根式（12大知识点5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的概念 一般地，式子叫做二次根式. （1）若这个条件不成立，则 不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 【知识点2】几个重要公式 （1）,（2） ；注意使用. 【知识点3】积的算术平方根 ，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 【知识点4】二次根式的乘法法则 . 【知识点5】二次根式比较大小的方法 （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 【知识点6】商的算术平方根 ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【知识点7】二次根式的除法法则： （1）； （2）； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 【知识点8】常用分母有理化因式 ，， ，它们也叫互为有理化因式. 【知识点9】最简二次根式 （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 【知识点10】二次根式化简题的几种类型 （1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 【知识点11】同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【知识点12】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】概念与性质理解巩固 【题型1】二次根式的意义......................................................3 【题型2】利用二次根式的性质化简求值..........................................5 【题型3】最简二次根式与同类二次根式..........................................6 【题型4】分母有理化..........................................................8 【题型5】复合二次根式........................................................9 【考点2】二次根式的运算 【题型6】二次根式的乘除运算.................................................11 【题型7】二次根式的加减运算.................................................13 【题型8】二次根式的加减乘除混合运算.........................................14 【考点3】二次根式的化简求值 【题型9】已知字母的值，化简求值.............................................15 【题型10】已知条件式，化简求值..............................................17 【题型11】比较二次根式的大小................................................18 【考点4】二次根式的应用 【题型12】二次根式的应用....................................................20 【考点5】中考链接与拓展延伸 【题型14】直通中考..........................................................22 【题型15】拓展延伸..........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次根式的意义 【例1】（23-24八年级下·重庆开州·期中）若，都是实数，且满足，试化简代数式：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法．先根据二次根式有意义的条件求出，再把代入求出的取值范围，最后进行化简即可． 解：由题可知， ， 解得， 将代入求得， 则 ． 【变式1】1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下：    故选：C． 【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，则值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值性质的应用以及实数混合运算，由二次根式定义可知，，所以，故方程为，可得，代入即可求解． 解：∵有意义， ∴， ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【题型2】利用二次根式的性质化简求值 【例2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 【变式1】2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 【变式2】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案． 解：原式， 均为正整数， 的最小值为1，此时m最小值为5， 的最小值为． 故答案为：5． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 【例3】（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，且，求，平方和的算术平方根. 【答案】5 【分析】本题考查同类个次根式及二次根式的非负性应用，根据同类二次根式求出，再根据非负式子和为0，它们分别等于0即可得到答案； 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ，解得， ，即， ，， ，，解得，， ，的平方和为， ，平方和的算术平方根为5． 【题型4】分母有理化 【例4】（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 解： ∴ ∴ ∵ ∴ 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，解题的关键是根据题意得到．先求得，代入，再根据二次根式分母有理化，即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·四川甘孜·阶段练习）分母有理化： ； 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可． 解：， 故答案为：． 【题型5】复合二次根式 【例5】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 解：（1）解：； （2）； （3） ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 解：原式 ， 故选：D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 解： ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 【题型6】二次根式的乘除运算 【例6】（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2），． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 解：（1） ； （2） ． 【题型7】二次根式的加减运算 【例7】（24-25八年级上·江西九江·期中）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算及二次根式的加减运算． （1）根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解； （1）先化简二次根式，再计算加减即可求解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的加减运算： （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（22-23九年级上·海南海口·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先计算负指数幂，二次根式乘法，零指数幂及化简二次根式，再计算加减法； （2）分别化简二次根式，再计算加减法． 解：（1）原式 ； （2）原式 =． 【点拨】此题考查了实数的混合运算，正确掌握负指数幂，二次根式乘法，零指数幂及化简二次根式是解题的关键． 【题型8】二次根式的加减乘除混合运算 【例8】（21-22八年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、分母有理化和去绝对值的方法，可以解答本题． 解： ． 【点拨】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 【变式】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算下列各式． （1）； （2）． 【答案】（1）6；（2）1 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 解：（1） ； （2） ． 【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型9】已知字母的值，化简求值 【例9】（22-23九年级上·福建漳州·期中）已知，完成以下两题： （1）化简 （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】 （1）分母有理化即可化简二次根式； （2）先求出，的值，运用整体代入解题． 解：（1） ； （2） 原式 ． 【点拨】本题考查求代数式的值，二次根式的化简，整体代入简化过程是解题的关键． 【变式1】已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果． 解：∵， ∴， ∴ ． 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键． 【变式2】（21-22八年级下·山东临沂·期末）若，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】根据完全平方公式把原式变形，把a的值代入计算即可． 解：∵， ∴， 故答案为：2023． 【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，熟记完全平方公式是解题的关键． 【题型10】已知条件式，化简求值 【例10】（21-22八年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出、，最后代入计算即可． 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 原式 当，时， 原式 ． 【点拨】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式． 【变式1】（21-22八年级下·广西钦州·期中）已知，那么的值为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求出的值，再由：，即可得出答案． 解：解:，得： ， ， ， 故答案为：. 【点拨】本题考查完全平方公式的变形运用，能利用已知条件求出，再将化为平方形式，再化回来是关键． 【变式2】已知，满足，求：． 【答案】． 【分析】根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可． 解：根据题意，得：， 解得：， 故 = = =． 【点拨】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键． 【题型11】比较二次根式的大小 【例11】（22-23八年级上·江苏·单元测试）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【变式1】（21-22九年级下·湖南衡阳·自主招生）满足不等式的整数m的个数是 ． 【答案】7 【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数． 解：∵，， ∴ ，， ∵<m<， ∴3.312<m<10.472， ∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个， ∴整数m的个数是7， 故答案为：7． 【变式2】比较与的大小. 【答案】 【分析】先对分母进行有理化，再比较大小. 解： ∵ ∴ 【点拨】本题主要考查分母有理化和二次根式的大小比较，先分母有理化再比较大小是关键. 【题型12】二次根式的应用 【例12】（21-22八年级上·陕西西安·期中）已知，，为三个正数，当代数式取最小值时 ． 【答案】/ 【分析】根据题意得，再根据非负数的性质得，，，求出、、的值，代入计算即可． 解：∵代数式取最小值， ∴代数式， ∴，，， 解得：，，， ∵a，，为三个正数， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的应用、非负数的性质，掌握这二个知识点的综合应用，其中根据题意列出等式是解题关键． 【变式1】（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：； ； ； …… 根据以上规律，计算 ． 【答案】 【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可． 解：由题意可知，， ＝1+1+1+…+1﹣2021 ＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021 ＝2020+1﹣﹣2021 ＝． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算． 【变式2】已知，则 ． 【答案】 【分析】根据，可以求得题目中所求式子的值． 解：， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型13】直通中考 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 【例2】（2024·河南·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）9；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是： （1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可； （2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2】（23-24九年级下·浙江·自主招生）设则不超过的最大整数为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，能正确化简是解答本题的关键． 首先将化简，可得，然后再代入原式求出即可解答． 解：， ， ， ， ， ， 不超过的最大整数， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$