江苏省无锡市2024-2025学年高二上学期期终教学质量调研测试数学卷

无锡市2024年秋学期高二期终教学质量调研测试 数学参考答案 2025.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1.A2.D3.D4.B5.C6.A 7.C 8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分进对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.9 13.5 3 420的3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.解：(1)因为圆心C在直线x+y+1=0上，所以设C(a,-a-), 因为圆C经过4(5,1)，B(-l-7)两点，所以(5-a2+1+a+1)2=(a+)2+(←a-1+7)2, 解得Q=2, …2分 即C(2,-3),半径r=V⑤-22+0+32=5，…。 …4分 所以圆C的标准方程为（仁-22+0心+3）2=25.…6分 (2)因为过点A的直线1被圆C截得的弦长为8， 所以C到直线1距离d=52-(受2=3， 8分 当直线1斜率不存在时，直线X=5满足题意：…9分 当直线1斜率存在时，设直线方程为y=k(x-)+1,即：-y-5k+1=0, 所以d=2达+3-5北+=3，解得k=子 Vk2+1 24 此时直线方程为y=2c-5列+1，即7x-24y-110.… …12分 综上所述，直线1的方程为x=5或7x-24y-11=0.……13分 16.解：(1)由题可设等比数列{an}的公比为g(ge),因为S2=8,6a+a3=30, 32 所以+6=40+g)=8 解相= 1a= 或{ 7 （舍去)…4分 41(6+g2)=30 9=3 3 9=4 所以数列{a}的通项公式为a=2×3；…6分 2)由(1）知S=21-32=3-1,…8分 1-3 所以bn=(2n-101+Sn)=(2-）×3”。…10分 Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-)×3”,3Tn=1×32+3×33+5×3+…+(2n-10×3m+1 两式相减得-2Tn=1×3+2×32+2×33+…+2×3”-(2n-)×3 =3+18-3-2n-)×31=3-6-(2n-0×3l=(2-2m×3-6…14分 1-3 所以Tn=(n-)×3m利+3，… …15分 17.解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1. （D依题意得.a0,Paa,BL0,cOLo:E0吃岁 则丽=1-0，死-0岁故丽，正=0+片0， 22 所以PB⊥DE.… (2)由(1)知PA=0,0,-0,P元=(0,1-)，C=-1,0,0), 设平面PBC的法向量为片=(3y),直线PA与平面P8C所成的角为8， 所以nC=0,即y0，取x=0，少=1，三=1， -x=0 所以=(0,1，)是平面PBC的一个法向量， 4 6分 所以sin0=lkos<Pa, …8分 故直线PA与平面PBC所成的角大小30°， …9分 (3)设平面PAC的法向量为m2=(a,b,c),平面PAC与平面PBC夹角为a, 因为Pm=0,-,元=01-，所以5=0，即日-e=0 mPc=0’lb-c=0 取a=1,则b=l,c=l, 所以=L,1)是平面P4C的一个法向量. …11分 由(2)知m=(0,1)是平面PBC的一个法向量， …12分 所以wa=o<斗 …4分 故平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为 15分 18.解：(1)因为3Sn=(+2)an①，所以3Sn1=(m+1a-1n≥2)②， @-②整理得-8，=a+0a因为4=2，所以a,0,故。2片0≥2 所以，=品X…x×2×a=nX”与…x×2×2=i2+…2分 an-1 dz al n-1n-2 21 经检验n=1也符合。…3分 所以an=n2+n.… …4分 2)=1=1=-) a+nn(n+2)2n n+2 1 好时六片2 所以工，=6+6++6“20-3计2435 泻点电 …6分 3 又neN,所以Tn< 44…8分 d (3)因为an-元2”≤4对neN恒成立，且2”>0， 所以≥骨+n-4对neN恒成立.… …10分 2 设f0m)=+n-4 20 则f0m+)-0m=a+02+m+0-4+n-4-72+n+6.-a-3Xa+2) 2* 2” 27*1 2 …12分 所以f0<f(2)<f(3)=f(4)>f(⑤>…，… …14分 可得f0m）=广+n=4的最大值为f何=利=1，… …16分 2 故实数九≥1.… …17分 19.解：(1)设双曲线的半焦距为c, 由题意得，￡=2，Fe,0),双曲线T的渐近线y=2x,即bx-9=0, a 所以6产p· 即b=万，… …2分 而c2=a2+b2=4a2,所以a2=1, 所以双曲线r的方程为-上=1. …4分 3 (2)易知AL,0),F(2,0),设直线P2的方程为x=my+2,P(x,片)，Q2,乃)， x=my+2 由方程组 x2。y2,，得(3m2-0y2+12y+9=0,·… 6分 =1 3 因为过焦点F的直线与C的右支交于n,2两点，所以>5，即0<<兮 -12m h3m 9 由根与系数关系得片+归= 4…8分 3m2-1 9 g产×名++m 3m2-1 一=-9 +1 3m2-13m2-1 33 当直线P2的斜率不存在时，P(2,3),2,-),kkQ=2一×2- ▣-9. 综上可得衣k40=-9为定值. )8=分4F1xn-n上-n 直线伊的方为-：所加名 …12分 直线0的方为y产-0所-名点 哈w六a同 ，…14分 所以产=4lm2+m0+为+训=13m-4. …16分 S2 当直线P2的斜率不存在时，P(2,3),0(2,-3), 时是-4 的取值范围为[4网，……1门分 综上可得， S2无锡市2024年秋学期高二期终教学质量调研测试 数 学 2025.01 命题单位：滨湖区教育研究发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知复数z满足z0-)=1(i为虚数单位)，则z的虚部为（▲） A封 B.i c 2.直线4：ax+y+1=0与直线2：2x+3-a)y+2=0平行，则实数a的值为（▲） A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知直线1的一个方向向量是a=(-3,2,),平面a的一个法向量是4=1,2，-1)，则1与a的位 置关系是（▲） A.ILa B.1/la C.lca D.1/la或Ica 4.在正项等比数列{a,}中，aa,=64,且a,,10成等差数列，则a,的值为（▲） 3 A到 32 B.18 C. D.24 9 5.已知正四面体OABC的棱长为1，点M在O4上，且OM=2O,点N为BC中点，则M用 基底OA,OB,OC表示为（▲） Aoi-0丽+0c B.3oa+0丽-20c 3 C.-2o丽+o丽+oc D.-m-0丽+0c 6.已知点A(5,0),点B在圆x-1)2+y2=4上运动，则线段AB中点M的轨迹方程是（▲） A.x2+y2-6x+8=0 B.x2+y2-6x+5=0 C.x2+y2+6x+8=0 D.x2+y2+6x+5=0 7.已知圆C:x2+y2=4与圆C2:c-a)}2+心+4)2=9有两条公切线，则实数a的取值范围为（▲） A.1,5) B.(-oo,0U5,+o) C.(-3,3) D.(-o,-3)U3,+∞) 8。斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用。斐波那契数列满 足如下递推关系：a1=a2=1,an42=a+an(n∈N).己知1+4+a2+a++au=a(m∈N) 则1+2(a+a6+a,++an)=（▲) A.a88 B.a190 C.d192 D.a14 高二数学试卷第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9,已知复数，3，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（▲） A,+为实数 B.同-l C.若=，则= D.= 10.在长方体ABCD-ABCD,中，AA=9,底面ABCD是边长为3正方形，AE=元LA(0≤元≤1)， 则下列选项正确的有（▲） A.VAe[O,,三棱锥E-BBC的体积是定值 B.当BE,EC=O时，存在唯一的1使得BE⊥平面B,CE C,当元=。时，△BED,的周长取得最小值 2 D.当直线D8与CE所成角的余弦值为3正时，A的值为子 11 11.已知抛物线E:y2=2px上一点PL,m)到其焦点的距高为2，过点M(4,0)作一条直线1与抛物 线交于A,B两点，过原点O作OH⊥1，垂足为H,则下列说法正确的有（▲） A,p=2 B.OA⊥OB C,抛物线E上的点到M距离的最小值为4D.存在一个定点Q,使得线段QH长度为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{an}的前n项和为S。,且Sg=3(a2+a4+a),则实数仁▲. 13.已知F,F2为椭圆的左、右焦点，过F作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A,B两点，若△FAB 为正三角形，则该椭圆的离心率为▲一· 14.空间直角坐标系中，4(x-)+心-%)+州(z-0)=0表示经过点(，%，2)，且法向量为 (u,y,w的平面的方程.已知平面a的方程为x+2y+2z-3=0,过点P(2,1,3)作直线1⊥a, 点M(a,b,c)为直线I上任意一点，则a,b满足的关系式为▲；点P到平面a的距 离为▲一 离二数学试卷 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知圆C经过A(5,),B(-l,-7)两点，且圆心C在直线x+y+1=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)过点A的直线1被圆C截得的弦长为8，求直线1的方程. 16.(15分) 已知等比数列{a}的公比为整数，其前n项和为Sn,且S2=8,64+a3=30. (1)求数列{a}的通项公式： (2)设bn=(2n-1)01+S),求数列他}的前n项和Tn 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F (1)求证：PB⊥DE: (2)求直线PA与平面PBC所成角的大小： (3)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值. D B ▲ 高二数学试卷第3页共4页 3 18.(17分) 已知数列{an},其前n项和为Sn,a=2,3S。=(n+2)a。. (1)求{a,}的通项公式： （2)若6，。。，设数列他)的前n项和求证：工<}： a。+n (3)若a,-A:2”≤4对n∈N恒成立，求实数2的取值范围 19.(17分) 已知双曲线「： 京京=1a>0,b>0)的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为V5. x y2 (1)求双曲线「的方程： (2)若双曲线Γ的右顶点为A,过焦点F的直线与「的右支交于P,Q两点，直线AP,AQ 分别与直线x=二交于M,N两点，记△APQ的面积为S,△4MN的面积为S2: 2 ()求证：kk和为定值：(i)求。的取值范围。 S 高二数学试卷 第4页共4页 4