精品解析：四川省自贡市第一中学校2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

自贡市第一中学校2024～2025学年度上期八年级期末考试数学 注意事项: 1.本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分） 1. 已知一根头发的直径约为，数值0.0000007用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（ 　） A. B. C. D. 4. 已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，中，于点D，若，则（　　） A. B. C. D. 6. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在ABC中，，，，延长AB至点D，使得，连接CD，ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②；③；④S四边形AGFB． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，满分18分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是_____． 10. 计算：＝_____． 11. 如图，在中，AE是的角平分线，D是AE延长线上一点，于点H．若，，则____________． 12. 若当时，代数式的值为，则的值为______． 13. 如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______． 14. 如图，在矩形中，，点是边上的动点，，求的最小值为________． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 18. 计算： 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： （1）写出A，B，C的坐标； （2）画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）； （3）求的面积； （4）在x轴上找一点P，使最小（画出点P即可，保留作图痕迹）． 四、（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上． （1）求从海岛到灯塔的距离； （2）如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？ 21. “四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙，学校计划分阶段引导学生读这些书，计划先购买《论语》和《孟子》供学生使用，已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元. （1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少？ （2）学校准备一次性购买这两种书本，但总费用不超过元，那么这所学校最多购买多少本《论语》？ 22. 如图，点E在边上，，，． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 五、（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 24. 已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． （1）如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； （2）在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； （3）如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市第一中学校2024～2025学年度上期八年级期末考试数学 注意事项: 1.本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分） 1. 已知一根头发的直径约为，数值0.0000007用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 2. 下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的概念，对各图案逐个分析判断即可． 【详解】解：第一个图案是轴对称图形； 第二个图案不是轴对称图形； 第三个图案是轴对称图形； 第四个图案不是轴对称图形； 综上所述，是轴对称图形的有2个． 故选：B． 3. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三条边的关系判断即可． 【详解】解：由三角形三条边的关系可得第三边长， 即第三边长， ∵， ∴周长， 只有C符合， 故选C． 4. 已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 5. 如图，中，于点D，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由直角三角形的性质求出，由等腰三角形的性质得到即可求出的度数． 【详解】解：于点， 故选：C． 6. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 8. 如图，在ABC中，，，，延长AB至点D，使得，连接CD，ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②；③；④S四边形AGFB． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及等角的余角对①做出判断；利用ASA得出△BCD≌△BAF，从而对②③做出判断；再根据同底等高的三角形的面积相等对④做出判断． 【详解】解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线， ∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE， ∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD， ∴∠BCD+∠CFE＝90°，CF＝DF， ∵∠CBA＝90°， ∴∠DAE+∠BFA＝90°， ∵∠CFE＝∠BFA， ∴∠BCD＝∠DAE， ∴∠BCD＝∠CAE， 故①正确； ∵∠CBA＝90°，BA＝BC， ∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90°， ∵∠BCD＝∠DAE， ∴△BCD≌△BAF（ASA）， ∴BD＝BF，CD＝FA， ∵AE是△ACD的中线， ∴CD＝FA＝2DE， 故②正确； ∵CB＝BF+CF，CF＝DF，BF＝BD， ∴AB＝CB=BD+DF， 故③正确； ∵BG∥DF， ∴△BGF与△BGD同底等高， ∴S△GBF＝S△GBD， ∴S△AGD＝S四边形AGFB， 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，满分18分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 10. 计算：＝_____． 【答案】2x 【解析】 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：＝＝2x． 故答案为：2x． 【点睛】本题主要考查了约分，正确掌握分式的性质化简是解题关键． 11. 如图，在中，AE是的角平分线，D是AE延长线上一点，于点H．若，，则____________． 【答案】10° 【解析】 【分析】在△EFD中，由三角形的外角性质知：∠HED=∠AEC=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠EDH=90°；联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EDH=（∠C-∠B）． 【详解】解：由三角形的外角性质知：∠HED=∠AEC=∠B+∠BAC， 故∠B+∠BAC+∠EDH=90° ①， △ABC中，由三角形内角和定理得： ∠B+∠BAC+∠C=180°， 即：∠C+∠B+∠BAC=90° ②， ②-①，得：∠EDH=（∠C-∠B）=×（50°-30°）=10°． 故答案为：10°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是证明∠EFD=（∠C-∠B）． 12. 若当时，代数式的值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查代数式求值，将时代入，得到，再整体代入计算． 【详解】解：当时， ， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴是五边形， ∵，，，的角度和为， ∴， ∵五边形的内角和为 ∴． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，点是边上的动点，，求的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】把绕点顺时针旋转并缩小为，得到，根据角平分线的性质、三角形的面积公式得到，根据圆周角定理、结合图形求出的面积的最小值，计算即可．本题考查的是矩形的性质、角平分线的性质、圆周角定理，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：把绕点顺时针旋转并缩小为，得到， 则，， ∴ 过点作于，于， ，，， ， ， 设的外接圆圆心为，连接、、，过得作于， 则， 设的外接圆的半径为， 则，， 由题意得，，即， 解得， 的面积， ∴的面积的最小值为， ∵， ∴， ∴． 的面积的最小值为． 故答案为： 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式即可求解； 【详解】解：原式 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，注意：解分式方程要验根． 根据解分式方程的步骤依次计算可得． 【详解】解：去分母，得：， 整理得：， ∴ 或， ， ， 经检验：是原方程的根，为增根， ∴方程的根为． 17. 已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 【答案】 证明：作于点， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴即． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，再证明，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘方计算，分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： （1）写出A，B，C的坐标； （2）画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）； （3）求的面积； （4）在x轴上找一点P，使最小（画出点P即可，保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 画图如下： （3） （4）则点P即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据坐标系的知识，确定点的坐标即可． （2）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （3）根据分割法计算面积计算即可． （4）根据点A关于轴的对称点，连接，交轴于点P，点P即为所求． 本题考查了坐标系中的确定坐标，对称作图，三角形的面积计算，线段和的最小值，熟练掌握对称作图，线段和最小值是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 【小问2详解】 解：根据题意，得． 故， 则即为所求． 【小问3详解】 解：根据题意，得的面积为： ． 【小问4详解】 解：如图2，作点A关于轴的对称点， 连接，交轴于点P， 此时点P的坐标为． 四、（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上． （1）求从海岛到灯塔的距离； （2）如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？ 【答案】（1）60海里 （2）11时 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征、方向角： （1）利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求解； （2）利用直角三角形的特征得，再根据速度、时间及路程的关系即可求解； 熟练掌握直角三角形的特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， （海里）， 答：从海岛到灯塔的距离为60海里． 【小问2详解】 作，垂足为H． ， ， ， ， （）， （）， 答：11时，船距离灯塔C最近． 21. “四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙，学校计划分阶段引导学生读这些书，计划先购买《论语》和《孟子》供学生使用，已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元. （1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少？ （2）学校准备一次性购买这两种书本，但总费用不超过元，那么这所学校最多购买多少本《论语》？ 【答案】（1）《孟子》的单价为25元/本，《论语》单价为40元/本；（2）最多购买12本. 【解析】 【分析】（1）本题中有两个相等关系：《孟子》的单价=《论语》的单价－15元，用500元购买《孟子》的数量=用800元购买《论语》的数量；据此设未知数列出分式方程，再解方程即可； （2）设购买《论语》本，据题意列出关于a的不等式，求出不等式的解集后，再取解集中的最大整数即可. 【详解】解：（1）设《孟子》的单价为元/本，则《论语》单价为元/本， 根据题意，得，解得， 经检验为原方程的根，. 答：《孟子》的单价为25元/本，《论语》单价为40元/本. （2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本. 根据题意，得， 解得， 答：这所学校最多购买12本《论语》. 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键. 22. 如图，点E在边上，，，． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得．进而可证． （2）由（1）知，则，，，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 五、（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 24. 已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． （1）如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； （2）在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； （3）如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； （2） （3）32 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，可证明，可得，再证明，可得，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $