2024-2025学年（新教材2024版）浙教版七年级下册数学各章节考点清单知识梳理

浙教版七年级下册数学各章节考点清单知识梳理（2025新版） 第1章 相交线与平行线 1.1直线的相交 知识点1 邻补角的概念与性质 1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线。 2.定义：两个角有一条公共 边 ，它们的另一边互为 反向延长线 ，具有这种关系的两个角，互为邻补角。如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOD与∠BOD是一对邻补角，另外还有三对邻补角。 3.性质：邻补角 互补 。如上图，∠AOD与∠BOD是一对邻补角，∠AOD+∠BOD=180°。 说明： (1)邻补角形成的前提是两条直线相交。 (2)邻补角是互补的一种特殊情况：数量上互补，位置上有一条公共边，另一条边互为反向延长线。(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角，一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个。 知识点2 对顶角的概念与性质 1.定义：两个角有一个 公共顶点 ，并且两边互为 反向延长线 ，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。如图，∠AOD与∠BOC是一对对顶角，另外还有一对对顶角。 2.性质：对顶角 相等 如上图，∠AOC与∠BOD是一对对顶角，∠AOC=∠BOD。 注意： (1)对顶角形成的前提是两条直线相交。 (2)对顶角要同时满足下面两个条件：①有公共顶点；②两个角的两边互为反向延长线。 (3)对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角。 3.邻补角与对顶角的异同： 邻补角 对顶角 相同点 （1）都表示两个角之间的关系，成对出现； （2）邻补角和对顶角都有公共顶点 不同点 数量上 邻补角的和为180° 对顶角相等 位置上 有一条公共边，另一条互为反向延长线 没有公共边，角的两边互为反向延长线 知识点3 垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角 时，我们说这两条直线互相垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 。如图，直线AB与直线CD相交于点O，当∠AOC=90°(或其他任意一个交角等于90°)时，直线AB与直线CD垂直，记作 AB⊥CD，读作“AB 垂直于 CD”，交点O是垂足。反之，若AB⊥CD，则四个交角均为 90°。 注意： (1)两条直线是否垂直是由两条直线相交所成的角是不是直角决定的，与两条直线是否水平、竖直无关。 (2)若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直；反之，若两条直线互相垂直，则这两条直线相交成直角，依据都是垂直的定义。 (3)两条线段或射线垂直，是指它们所在的直线垂直。所以，如果两条直线互相垂直，那么在这两条直线上分别取一条线段或射线也必然互相垂直如果两条线段或射线所在的直线相交成直角，那么这两条线段或射线也互相垂直。 知识点4 垂线的画法 步骤 画法 一“落” 让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线 重合 。 二“移” 沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点。 三“画” 沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的 垂线 。 注意： (1)在同一平面内，经过直线上一点或直线外一点作已知直线的垂线，只能作出一条。 (2)过一点画已知线段或射线的垂线，指的是线段或射线所在直线的垂线，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上。 (3)向“谁"画垂线，垂足就在"谁”上面(或在其延长线、反向延长线上)。 知识点5 垂线段 1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与 垂足 之间的线段，叫做垂线段。如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段。 2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 ，叫做点到直线的距离。如上图，垂线段CO的长度就是点C到直线AB的距离。 注意： 垂线是直线，垂线段是线段，点到直线的距离是一个数量，而不是图形。距离不能画，只能测量。所以“画出点A到直线CD的距离”的说法是错误的。“点到直线的距离”实质上是直线外一点到垂足之间的距离，也可以理解成两点之间的距离，不过要弄清楚是怎样的两点。 知识点6垂线、垂线段的性质 1.垂线的性质：在 同一平面 内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短 。 简单说成：垂线段最短。 如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O。A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短。又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以点P到直线l的垂线段也只有一条。 拓展： 因为垂线段只有一条，所以线段PA，PB，PC，PD都不与直线l垂直。我们把不与直线l垂直的线段PA，PB等叫做点P到直线l的斜线段。斜线段的长度大于垂线段的长度。 1.2同位角、内错角、同旁内角 知识点1 同位角、内错角、同旁内角 1.同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做 同位角。 2.内错角：两个角都在两条被截直线之间，并且分别在截线两侧，即被截线“错开”具有这种位置关系的一对角叫做 内错角 。 3.同旁内角：两个角都在两条被截直线之间，并且在截线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做 同旁内角。 角的名称 角的特征 基本图形 形象记法 共同特征 同位角 截线：同侧 被截线：同旁 ①必有三条直线； ②这三类角都没有公共顶点； ③都表示角之间的位置关系。 内错角 截线：两侧 被截线：之间 同旁内角 截线：同侧 被截线：之间 注意： (1)两条直线被第三条直线所截，构成的八个角简称"三线八角”。其中同位角、内错角、同旁内角是“三线八角”中没有公共顶点但具有特殊位置关系的三类角。 (2)识别同位角、内错角、同旁内角时，主要看其是不是由“两条直线被第三条直线所截”构成的，是不是符合各类角的位置特征。尤其是同位角，不要被其表面“方位相同”的假象所迷惑。 1.3平行线 知识点1 平面内两直线的位置关系及平行线的定义 同一平面内的两条直线有三种位置关系： 相交、重合、既不相交也不重合 。 定义：在同一个平面内， 不相交 的两条直线叫做平行线。直线a，b平行，记做 a∥b ，读做 a平行b 。 说明： 同一平面内的两条直线的位置关系有相交、重合、既不相交也不重合三种，两条直线相交，一定只有一个公共点，如果两条直线有两个公共点，那么它们一定重合。若没有特别说明，两条“重合”的直线视为一条直线。 图例 表示方法 相交线 直线a与b相交 直线a与b相交于点O 平行线 直线a与b平行 平行用符号“∥”表示，读做“平行”，直线a与b平行可表示为“a//b”或“b//a” 知识点2 平行线的画法 步骤 画法 图示 一“落” 将三角板的一边落在已知直线a上 二“靠” 用一把直尺紧靠在三角板的另一边上 三“推” 推移三角板，使与已知直线a重合的那一边经过已知点P 四“画” 沿过已知点的三角板的一边画直线 利用三角尺、直尺画平行线的四个步骤： 画出的直线b就是与直线a平行的直线，如图。 注意：（1）在作图中必须确保直尺固定好位置后不再变动；推动三角尺时，要始终保持一边紧靠直尺。 （2）平常我们在作业本、演算纸上画平行线示意图时，可以不这么画，但若题目本身就是画图题，就要严格按照步骤画图.。 知识点3 平行线的基本事实 基本事实：经过直线 外 一点，有且只有 一 条直线与这条直线平行。 注意： (1)平行线的基本事实特别强调“过直线外一点”，而非直线上的点。 (2)“有且只有一条直线”强调直线的存在性和唯一性。 如图（1），过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行。 如图（2），假设过点P能画出两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况不存在），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行线的基本事实。 拓展：直线的平行关系具有传递性，平行于同一条直线的两条直线 平行 ，如图，若a//b，c//b，则a//c。 1.4平行线的判定 知识点1 平行线的判定方法1(基本事实 ) 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单地说， 同位角相等 两直线平行。如下图，如果∠ABF=∠C，那么BF//CE。 推理过程：因为∠ABF=∠C(已知)， 所以BF//CE（ 同位角相等，两直线平行 ）。 推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 知识点2 平行线的判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单地说， 内错角相等 ，两直线平行。如下图，如果∠2=∠1，那么BF//CE。 推理过程：因为∠2=∠1(已知)， 所以BF∥CE（ 内错角相等 ，两直线平行 ） 知识点3 平行线的判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单地说， 同旁内角互补 ，两直线平行。如图。如果∠3+∠C=180°，那么BF//CE。 推理过程：因为∠3+∠C=180°(已知)， 所以 BF//CE（ 同旁内角互补 ，两直线平行） 说明： (1)平行线的判定方法要“记简称，理解原话”。三种判定方法都有一个大前提：两条直线被第三条直线所截，如果没有这个大前提，就不会出现“三线八角”，也就谈不上利用它们来判定两直线平行了。 (2)除了平行线的三个判定方法外还有平行线的定义和平行于同一条直线的两条直线平行这两种方法可以判定两条直线平行。 1.5平行线的性质 知识点1 平行线的性质 1.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行， 同位角 相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行， 内错角 相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行， 同旁内角 互补。 如图，已知AD//BC，可得如下结论：∠1=∠B(两直线平行，同位角相等) ∠2=∠B(两直线平行，内错角相等)。 ∠3+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)。 而∠1=∠2的依据是“对顶角相等”，与AD和BC是否平行无关。 2.平行线的判定与性质之间的关系 1.6图形的平移 知识点1 平移的定义 1.定义：一个图形沿 某个方向 移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿 同一个 方向移动相等的 距离 ，这样的图形运动叫做图形的平移。 2.平移的要素：平移的要素是平移的 方向 和平移的 距离 。 如图，三角形ABC沿射线BC的方向移动BD长可得到三角形FDE，三角形ABC的这个位置变换就是平移。点A平移到点F，点F是点A的对应点，原来的图形三角形ABC是原像，三角形FDE是三角形ABC平移后的像。 说明： (1)平移是图形的基本变换，要弄清一个图形的平移变换，首先要弄清平移的方向，它可以向上、下、左、右移动，也可以斜向移动，但不能转动，即图形的“朝向”不能变；其次要弄清平移的距离，就是新图形与原图形的对应点连线的长度。 (2)平移时图形的所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，所以要确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离即可。 知识点2 平移作图 平移作图的四个步骤： 如图(1)，将A点平移到A'点，作出四边形ABCD平移后得到的四边形A'B'C'D'。图(2)中的四边形 A'B'C'D'是所要作的图形。 注意： (1)在平移过程中，注意平移的方向和距离要符合要求； (2)利用平移设计图案时，首先要确定基本图案，然后通过连续平移得到组合图案。 知识点3 平移的性质 1.平移不改变图形的形状和大小 (1)图形平移后会得到一个新的图形，新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。 (2)新图形和原图形中的对应线段 平行 （或 在同一条直线上 ）且相等，对应角相等。 2.一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 平行 （同一条直线上）且 相等 。 第2章 二元一次方程组 2.1二元一次方程 知识点1 二元一次方程的定义 1.含有 两 个未知数，且含有 未知数的项 的次数都是 一次 的方程叫做二元一次方程。 2.二元一次方程必须满足的三个条件 (1)方程中只含有 两 个未知数； (2)含未知数的项的次数为 1次 ； (3)方程是 整式 方程。 注意： 对于“含未知数的项的次数都是1”的理解应该是含有未知数的这一项的次数是1，而不是每一个字母的次数都是1，例如:2xy+2=5就不是二元一次方程，而是二元二次方程。 知识点2 二元一次方程的解 1.使二元一次方程两边的值相等的一对 未知数的值 叫做二元一次方程的一个解。 2.在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解。但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解。 说明： 方程2x+y=5的解有无数个，但方程2x+y=5的正整数解只有和。 2.2二元一次方程组和它的解 知识点3 二元一次方程组的定义 1.由两个 一次 方程组成，并且含有 两个 叫做二元一次方程组。 2.判断一个方程组是否为二元一次方程组的方法 （1）判断方程组中的方程是否都为整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1。 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组。 注意： (1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程组成的，方程组的个数也可以超过两个，其中有的方程可以是一元一次方程，但整个方程组中，只能含有两个未知数。例如：；都是二元一次方程组，而，，都不是二元一次方程组。 (2)方程组无论是由几个方程组成的，必须一共含有两个未知数，多一个未知数或少一个未知数都不行。 知识点4 二元一次方程组的解 1.同时满足 二元一次方程组 中各个方程的 解 。叫做二元一次方程组的解。 2.代入法判断一组数是否为二元一次方程组的解 将一组未知数的值代入二元一次方程组中每个方程的两边。当所有等式都成立时，这组未知数的值是该二元一次方程组的解。 知识点5 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 (1)审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的关系 等量 ； (2)设未知数(设两个未知数)：用字母表示题目中的两个未知量； (3)列方程组：将题中涉及的量用含未知数的代数式表示出来，利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程。 注意： 一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一。 (1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。 (2)找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律找等量关系。 ②将问题中给出的条件按意思分割成两个层面，有“;”时一般“;”前后各一层，分别找出两个等量关系。 ③借助表格提供的信息，按横向和纵向去分别找等量关系。 ④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系。 2.3解二元一次方程组 知识点1 代入消元法解二元一次方程组 1.定义：把其中一个方程的 某一个未知数 用含有 另一个未知数 的代数式表示，然后把它代入到 另一个方程 中，便得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数,转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示成的的形式 要用将x，y的值联立 起来 注意： (1)当二元一次方程组中各项的系数不全是整数时，应先化简方程，使系数均为整数。例如解方程组时,应先经过去分母、去括号、移项以及合并同类项等步骤，将方程组变形为。 (2)优先选用方程的一个未知数表示其中系数为±1的另一个未知数；若没有系数是±1的未知数，一般选择系数的绝对值最小的方程变形。 知识点2 加减消元法解二元一次方程组 1.定义：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数是互为 相反数 或 相同 时，可以通过把两个方程的两边 相加 或 相减 来消元，转化为一元一次方程求解。这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，在方程两边乘适当的数 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为 相反数 （2）加减 利用加减法消去系数相等或互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入步方程中某个比较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示成的的形式 注意： (1)同乘一个数时容易出现漏乘的项； (2)将两个方程相加减时，注意不要弄错符号； (3)运用加减法解方程组时，注意把含相同未知数的项、常数项写在对应位置上； (4)尽量避免出现未知数的系数为负数的情况。 2.4二元一次方程组的应用 知识点 列二元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)审：弄清题意和题目中的数量关系； (2)设：用字母表示题中的两个未知数； (3)列：根据找出的两个等量关系列出方程组； (4)解：解方程组； (5)验：检验所得的解是否为方程组的解，检验是否符合实际情况； (6)答：写出答案(包括单位)。 注意： 未知数的单位：设未知数时，未知数的单位要明确写出。 检验：检验是否符合实际情况，比如是否为整数、正数,是否可以取0等。 2.5三元一次方程组及其解法 知识点1 三元一次方程的定义 含有 3 个未知数，且含有未知数的项的次数都是 一次 的方程叫做三元一次方程。 说明：类比二元一次方程理解 理解三元一次方程的相关概念，加深对“元”和“次”的认识。 知识点2 三元一次方程组的定义 1.由 三个一次方程 组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 2.三元一次方程组需具备以下3个条件 (1)方程中含有 三 个未知数； (2)每个方程中含未知数的项的次数均为 1次 ； (3)方程组中都是 整式 方程。 三者缺一不可。 注意： “含有三个未知数”指的是方程组中一共含有三个未知数，而不一定是每个方程中都含有三个未知数。 知识点3 三元一次方程组的解 1.同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫做这个三元一次方程组的解。 2.判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将这一组数分别代入三个方程中，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解。 注意： 同二元一次方程组一样,三元一次方程组的解满足方程组中任意一个方程。 知识点4 三元一次方程组的解法 1.解三元一次方程组的基本思路 解三元一次方程组的基本思路是先消去 一个 未知数，将解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为消元解 一元一次方程 。消元的基本方法是 代入法和 加减 法。 说明：解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元” 2.解三元一次方程组的一般步骤 (1)首先利用代人法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组： (2)解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值； (3)把求得的两个未知数的值代人原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程； 第3章 整式的乘除 3.1 同底数幂的乘法 知识点1 同底数幂的乘法 1.一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n。 。m个a n个a （m+n）个a 因此，我们有 （m，n都是正整数）。 2.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 。 3.推广： (m，n，p都是正整数）；（m，n都是正整数） 注意： (1)不要忽略指数是1的因式吗，如=; (2)底数可以是单项式,也可以是多项式,当底数是多项式时通常把底数看做一个整体,运用整体思想求解。 知识点2 幂的乘方n个am n个m 1.一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n：. 因此，我们有 （m，n都是正整数）。 2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 。 3.推广：= (m，n，p都是正整数）；==（m，n都是正整数）。 4.同底数幂的乘法法则与乘方法则异同点： 注意： (1)应用幂的乘方法则进行计算时，要特别注意符号问题，负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正。 ； (2)①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②法则中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法法则中的“指数相加”的区别。 知识点3 积的乘方 1.一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n： .n个 n个a n个b 因此，我们有 （n是正整数）。 2.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 乘方 ，再把所得的幂 相乘 。 3.推广：= (n是正整数）；=（n是正整数）。 注意: (1)每个因式都要乘方，不要漏掉任何一个因式； (2)要注意系数连同它的符号一起乘方，尤其当系数是-1时，不可忽略； (3)式子中的a，b可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式。 3.2 单项式的乘法 知识点1 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 相乘 ，其余字母连同它的 指数不变 ，作为 积的因式 。 注意： (1)在计算时,应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积； (2)注意按顺序运算； (3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式； (4)此法则对于多个单项式相乘仍然成立。 知识点2 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项 再把所得的 积相加 。 用式子表示为=（m，a，b，c都是单项式）。 说明：单项式与多项式相乘的实质 利用乘法分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式。 注意： 用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘。 3.3 多项式的乘法 知识点 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 乘另一个多项式的 每一项 ，再把所得的 积相加 。 用式子表示为(a+n)(b+m)= ab+am+nb+nm 。其实质是把多项式乘多项式转化为单项式乘多项。 3.4 乘法公式 知识点1 平方差公式 1.平方差公式 （1）平方差公式的推导：。 （2）平方差公式：两数 和 与这两数 差 的积等于这两数的 平方差 。 （3）用式子表示：。 说明：平方差公式的几何意义 图（1）中的阴影部分的面积；图（2）中的阴影部分的面积，可得=。 2.平方差公式的特点 (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式。 拓展：平方差公式的特征 ① 位置变化：xyyxx2y2 ② 符号变化：xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化：x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化：2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化：x yzmx yzmx y2zm2x2y2zmzmx2y2z2z mz mm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化：xyzxyzxy2z2xyxyz2x2x yx yy2z2x22xyy2z2 知识点2 完全平方公式 1.完全平方公式 （1）完全平方公式的推导： ； 。 （2）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和， 加上 （或 减去 ）这两个数积的2倍。 （3）用式子表示：；。 说明：完全平方公式的几何意义 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，； 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，； 拓展：补充公式 ①; ②; ③ ④ ⑤ ⑥; ⑦ ⑧ ⑨; 3.5 整式的化简 知识点 整式的化简求值 1.整式的化简应遵循先 乘法 、再 乘除 、最后算加减的顺序。能运用乘法公式的则运用公式。 2.化简求值：先按运算顺序把整式 化简 ，再把对应字母的值 代入 ，求整式的值。 注意： 在整式的化简求值中，一定记住，要先化简，再求值。不要上来就把已知数代进去，不然计算量会非常大。 3.6同底数幂的除法 知识点1 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。 用式子表示： (a≠0，m，n都是正整数，且m>n) 注意： (1)底数a≠0，因为0不能做除数； (2)单独的一个字母，其指数是1 ，而不是0； (3)应用同底数幂除法的法则时，底数a可以是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么。 拓展： (a≠0，m，n，p都是正整数，且m>n+p)。 此法则可以逆用，即(a≠0，m，n都是正整数，且m>n) 知识点2 零指数幂与负整数指数幂 1.任何不等于零的数的零次幂都等于 1 。即成立的条件是a≠0。 2.任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的 倒数 。 用式子表示：(a≠0，p是正整数)。 3.规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数的概念从正整数推广到了整数。正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。 知识点3 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于1的数，也能写成a10n的形式，其中n是正整数，1a 10，这叫科学记数法。 注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则10n的指数n=m+1． 3.7整式的除法 知识点1 单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除 ，作为商的 因式 ，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数 作为商的一个因式。 注意： (1)在运算中单项式的系数包括它前面的符号； (2)不要遗漏只在被除式中含有的字母； (3)注意运算顺序 (4)单项式除以单项式的结果仍是单项式。 知识点2 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的 每一项 除以这个单项式，再把所得的商 相加 。 用式子表示：(a+b+c)÷m= a÷m+b÷m+c÷m (m≠0）。 注意： (1)一定要注意法则中的“每一项”，在相除过程中不要漏除； (2)符号仍是运算中的重要问题，注意多项式中每一项的符号和单项式的符号。 第4章 因式分解 4.1 因式分解 知识点 因式分解 一般地，把一个多项式化成几个 整式 的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫 分解因式 。 注意：(1)因式分解与整式乘法的关系： (2)因式分解的结果必须满足：①式子乘积的形式；②每个因式都是整式；③结果分解要彻底。 4.2 提取公因式法 知识点1 提取公因式 1.一般地，一个多项式中 每一项 都含有的相同的 因式 叫做这个多项式各项的公因式。 2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式 提取出来 进行因式分解。这种分解因式的方法，叫做提取公因式法。 3.提取公因式法的公式：。 方法： 检查提取公因式法分解因式是否正确的方法为在因式分解完成后，按照整式乘法把各因式相乘，看结 果是否与原式相等，如果相等就说明是正确的，否则就是错误的。 4.提取公因式法的一般步骤 (1)确定应提取的 公因式 。先确定系数，再确定字母和字母的指数。 (2)用公因式去 除 这个多项式，所得的 商 作为另一个因式。 (3)把多项式写成这两个因式的 乘积 的形式。 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 知识点2 添括号法则 添括号法则：，，也就是说，添加括号时，如果括号前面是 正 号，括到括号里的各项都 不变 符号；如果括号前面是 负 号，括到括号里的各项都 改变 符号。 4.3 用乘法公式分解因式 知识点1 用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，,把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2 的等号两边互换位置,就得到 a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差,等于这两个数的 和 与这两个数的 差 的积。 注意： 当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再看能否运用平方差公式分解。分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 知识点2 用完全平方公式分解因式 1.把整式乘法的完全平方公式的等号两边互换位置，就得到=， =。即两数的平方和，加上（或 减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数 和 （或者 差 ）的平方。 2.一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或=把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。公式中的a，b可以是数,也可以是整式。 第5章 分式 5.1 分式 知识点1 分式的概念 1.一般地，如果A，B表示两个 整式 ，并且B中含有 字母 ，那么式子叫做分式。分式中，A叫做 分子 ，B叫做 分母 。 2.一个式子是分式需要满足的三个条件： (1)形如；(2)A，B都为整式；(3)分母B中含有字母。 说明：分式是一种表达形式，如是分式，,若不是的形式，那就不能算是分式了，如：(x+1)÷(x+2),它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但若用负指数次幂表示的某些代数式，如(a+b)-2，则为分式。因为=仅为分式是一种数学上的规定,而非一种运算形式. 注意： (1)判断一个式子是不是分式,关键是看它的分母中是否含有字母,π除外。 (2)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母。从形式上看是的形式，从本质上看分母 必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不看化简后的。 知识点2 分式有、无意义的条件 1.分式有意义的条件：分式的分母 不等于 0。 2.分式无意义的条件：分式的分母 等于 0。 说明： (1)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0。 (2)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用。 注意： 分母不为0，并不是分母中的字母不能为0，是表示分母的式子的值不能为0。 知识点3 分式的值为0的条件 1.当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为 0 。 2.分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是 A=0 且 B≠0 ,两者缺一不可。 方法：使分式的值为0，求字母的值的解题方法 先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，这个值就是所求的字母的值。 5.2 分式的基本性质 知识点1 分式的基本性质 1.分式的分子与分母都乘(或除以)同一个 不等于零 的整式，分式的值 不变 。 2.用式子表示为 = ， = (其中M是不等于零的整式）。 3.利用分式的基本性质可解决的问题 (1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质可以将分式的分子、分母中的系数化为整数。 (2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母分别为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号。 (3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的。 注意： (1)运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式。 (2)运用分式的基本性质时，要注意限制条件M≠0和隐含条件B≠0。 (3)分子和分母是多项式时，要把分子和分母分别看成一个整体。 知识点2 分式的约分 1.把一个分式的分子和分母的 公因式 约去，叫做分式的约分。约分要约去分子、分母所有的公因式。分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。 2.确定公因式的方法 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： (1)定系数：即确定各项系数的最大公约数； (2)定字母：即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)； (3)定指数：即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂。 注意：对分式进行约分时，一般先分别对分子、分母进行因式分解。 知识点3 分式的通分 1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母 的分式，叫做分式的通分。 2.几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的 积 为公分母，它叫做 最简公分母 。 3.通分的步骤：(1)求各分式的最简公分母；(2)用这个最简公分母除以分式的分母；(3)用所得的商去乘原各分式的分子、分母。 注意：分母互为相反数时，每个分母都可以作为最简公分母。 5.3 分式的乘除 知识点 分式的乘除 1.乘法法则：分式乘分式，用 分子 的积做积的分子， 分母 的积做积的分母。用式子表示为。 2.除法法则：分式除以分式，把除式的 分子 、 分母 颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示为：=。 注意： 当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘做积的分子，分式的分母做积的分母。当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，能约分的先约分，再相乘。 3.拓展：分式的乘方 一般地，当n是正整数时， 这就是说，分式乘法要把分子、分母分别 乘方 。 注意： 分式乘方时，先确定乘方结果的符号，正数的任何次方都是正数，负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数。如：， 。 5.4 分式的加减 知识点1 分式的加减 1.同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分式的分母 不变 ，把分子相 加减 。用式子表示为=。 2.异分母分式的加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母 相同 的分式，叫做通分，经过 通分 ，异分母分式的加减就转化为 同分母 分式的加减。用式子表示为： = = 。 注意： (1)异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解题的关键。同分母分式相减时,减式的分子是多项式的要加括号，避免产生符号错误。 (2)异分母分式相加减，当分式中的分子与分母有公因式时，先约分，再通分。 知识点2 分式的混合运算 分式的混合运算,，要注意运算顺序，分式与实数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 注意： 分式的混合运算中要注意分式中分子、分母符号的处理,当分子或分母是单项式，且系数是负数时，要把“-”移到分式的前面. 5.5 分式方程 知识点1 分式方程 1.分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 2.分式方程的重要特征 (1)是方程；(2)分母中含有未知数。 注意：(1)判断一个方程是不是分式方程的关键 看分母中是否含有未知数，判断时不能对方程进行约分、通分，更不能用等式的性质对方程进行变形。 (2)分式方程可以转化为整式方程。 知识点2 解分式方程 1.解分式方程的基本思路 将分式方程化为 整式方程 。具体做法是“去分母”，即方程两边乘 最简公分母 。这也是解分式方程的一般方法。 2.解分式方程的一般步骤 3.增根与无解的区别：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的。分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不仅包括使最简公分母为0的数，还包括分式方程化为整式方程后，整式方程无解的情况。 注意： (1)如果分式的分子是多项式，去分母时，要给多项式加上括号。 (2)方程两边各项乘最简公分母时，不要漏乘不含分母的项。 (3)增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0以确定增根； ②)化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。 知识点3 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系 (1)工程问题：工作效率×工作时间=工作量，总工作量=各工作量之和。 (2)利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100%，总利润=单件的利润×销售的数量。 (3)行程问题：速度×时间=路程。 (4)储蓄问题：本息和=本金+利息。 2.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量； (2)设：设未知数(可以直接设未知数，也可以间接设未知数)； (3)列：列出分式方程； (4)解：解分式方程； (5)验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； (6)答：写出答案。 注意：(1)选择合适的等量关系 在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列分式方程时，一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的等量关系列方程。 (2)①列分式方程解应用题时，一定不要忘记检验； ②)在实际问题中要舍去不符合实际意义的分式方程的解。 第6章 数据与统计图表 6.1 数据的收集与整理 知识点1 调查收集数据的过程与方法 1.在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况。 2.设计调查问卷分以下三步：(1)确定调查目的；(2)选择调查对象；(3)设计调查问题。 3.统计调查的一般过程 (1)问卷调查法——收集数据； (2)列统计表——整理数据； (3)画统计图——描述数据。 知识点2 全面调查与抽样调查 1.人们根据研究自然现象或社会现象的需要，对所有的考察对象作调查，这种调查叫做 全面调查 。 2.在许多情况下，因为不方便、不可能或不必要对所有的对象进行调查，所以从所有对象中抽取一部分作调查分析，这就是 抽样调查 。 3.如何选择调查方法要根据具体情况而定。一般来讲，通过全面调查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合全面调查。 其一，调查者能力有限，不能进行全面调查，如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行全面调查。 其二，调查过程带有破坏性，如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验。 其三，无法对有些被调查的对象进行全面调查，如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行全面调查。 注意：全面调查与抽样调查的优缺点 (1)全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查。 (2)抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。 知识点3 总体、个体、样本、样本的容量 1.(1)总体：把所要考察的对象的 全体 叫做总体； (2)个体：把组成总体的 每一个考察对象 叫做个体； (3)样本：从总体中取出的一部分 个体 叫做这个总体的一个样本； (4)样本的容量：样本中 个体的数目 叫做样本的容量。 2.在统计中，我们也经常把要考察的全体对象的数据整体叫做总体，把从中取出的一部分个体的数据集体叫做样本。 注意：样本的容量只是个数字，没有单位。 知识点4 简单随机抽样 概念：如果在抽样时，每一个个体被抽到的机会都相等，这样的抽样方法叫做简单随机抽样，例如：抽签法等。 6.2条形统计图和折线统计图 知识点1 条形统计图说明 1.条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这些直条排列起来。 2.制作条形统计图的一般步骤 (1)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 (2)在水平射线上，适当分配直条的位置，确定直条的宽度和间隔。 (3)在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 (4)按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量。 说明：条形统计图的特点：从条形统计图可以很容易地看出数据的大小，便于比较。 知识点2 折线统计图 1.折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化。 2.绘制折线统计图的一般步骤 (1)根据统计资料整理数据。 (2)先画纵轴，后画横轴，按纸面的大小来确定单位长度。 (3)根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段依次连接起来。 说明：折线统计图的特点：折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变 化情况。 6.3 扇形统计图 知识点 扇形统计图 1.扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比。通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆内扇形面积表示各部分数量占总数的百分比。 2.制作扇形统计图的一般步骤 (1)根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分比，再算出各部分所对应扇形圆心角的度数，公式是各部分所对应扇形圆心角的度数=各部分占总体的百分比×360° (2)按比例取适当长的半径画一个圆，按扇形圆心角的度数利用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数，并画出各个扇形； (3)在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来。 说明：扇形统计图的特点：从扇形统计图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关。 6.4频数与频率 知识点1 频数与频率 1.频数是指数据分组后落在各小组内的数据 个数 ； 2.频率是指每一组数据频数与数据总数的 比 ，即频率=。 说明：频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量，各组频率的和等于1。 知识点2 频数统计表 在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的 个数 称为组数，每一组的后一个边界值与前一个边界值的差称为 组距 这种反映数据分布情况的统计表叫做频数统计表。 注意：频数统计表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体情况。 6.5频数直方图 知识点 频数直方图 画频数直方图的步骤 (1)计算极差，即计算最大值与最小值的差。 (2)决定组距与组数(组数与样本的容量有关，一般来说样本的容量越大，分组就越多，样本的容量不超过100时，按数据的多少，常分成5~12 组)。 (3)确定分点，将数据分组. (4)列频数统计表. (5)绘制频数直方图. 注意：从频数直方图可以清楚地看出数据分布的总体情况，但是从直方图本身得不出原始的数据内容。 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $$