(新课预习衔接)第三单元 因数与倍数(讲义)-2024-2025学年五年级下册数学苏教版

因数与倍数 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：中国第一次参加奥运会的年份是一个四位数。千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是一位数中最大的合数，十位上的数的最小倍数是3，个位上的数是最小的质数。中国第一次参加奥运会是哪一年？ 【答案】1932。 【分析】质数是指在大于的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。合数是指在大于的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。1既不属于质数也不属于合数。据此解答即可 【解答】解：根据质数和合数的定义可知，不是质数也不是合数的是1，最大的一位数合数是9，最小的倍数是3的数是3，最小的质数是2。 答：中国第一次参加奥运会是1932年。 【点评】本题考査质数、合数、倍数的认识，根据质数、合数、倍数的定义进行解答即可。 例题2：小明家无线网的密码是一个六位数。第一位数既是偶数又是质数，第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既不是质数也不是合数也不是0，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最小的自然数。小明家无线网的密码是多少？ 【答案】249110。 【分析】第一位数既是偶数又是质数就是最小的质数2，第二位数既是4的倍数又是4的因数是这个数的本身4；第三位数既是奇数又是合数是9；第四位数既不是质数也不是合数也不是0是1；第五位数是8的最小因数是1；最后一位数是最小的自然数是0，因此密码是：249110。 【解答】解：第一位是2，第二位是4，第三位是9，第四位是1，第五位是1，第六位是0。 答：小明家无线网的密码是249110。 故答案为：249110。 【点评】先根据给出的编号，找出各个位上数字表示的含义，再根据这个含义求解。 例题3：星辰小学五年级选拔36名同学参加队列表演，要使每行人数相等（每行不能是1人或36人），一共有多少种不同的队列排法？ 【答案】7种。 【分析】根据题意，即把36名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是36，又因为规定了每行的人数，所以看36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。 【解答】解：由题意可得， 答：可以排1行，每行36人，因为每行不能是1人和36人，舍去， 可以排2行，每行18人，可以排3行，每行12人，可以排4行，每行9人， 可以排6行，每行6人，可以排9行，每行4人，可以排12行，每行3人， 可以排18行，每行2人．可以排36行，每行1人，因为每行不能是1人和36人，舍去。 有7种排法。 答：一共有7种不同的排法。 【点评】解答此题关键是将36进行分解因数，有几个因数就有几种排法，进而从中选择符合条件的排法。 例题4：妈妈今年36岁，妙妙和外婆的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数，并且外婆的年龄是妙妙年龄的8倍，妙妙今年多少岁？外婆今年多少岁？ 【答案】妙妙今年9岁，外婆今年72岁。 【分析】先找出36的因数和倍数，然后根据“妙妙和外婆的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数”确定妙妙和外婆的年龄即可。 【解答】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 36的倍数有：36、72、108、......； 其中只有72是9的8倍，所以妙妙今年9岁，外婆今年72岁。 答：妙妙今年9岁，外婆今年72岁。 【点评】本题结合因数和倍数考查了年龄问题，关键是找出36的因数和倍数。 例题5：有48个同学排队，要求每列的人数相同，请问有多少种排法？ 【答案】10种。 【分析】要求每列的人数相同，问有多少种排法？即求48的因数，找因数可以一对一对地找，从小到大按顺序找.。 【解答】解：1×48、2×24、3×16、4×12、6×8、8×6、12×4、16×3、24×2、48×1一共10种排法。 答：一共有10种排法。 【点评】解答此题的关键：先根据找一个数的因数的方法，求出48的因数，进而根据题意，列举出所有的排法。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、因数和倍数的意义 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 二、找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 三、找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 四、公倍数和最小公倍数 公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数． 五、求几个数的最大公因数的方法 方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘． 2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了． 六、求几个数的最小公倍数的方法 方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数． （2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]＝a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数． 七、合数与质数的初步认识 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数． “0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 八、合数分解质因数 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式．其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解九、2的倍数特征 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 【方法总结】 奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+偶数＝奇数 十、5的倍数特征 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 十一、奇数与偶数的初步认识 偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等 奇数和偶数的性质： 奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数 奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 第四部分 高频真题 一．选择题（共6小题） 1．小明说：“所有的质数都是奇数。”下面能说明他说法错误的是（　　） A．2 B．5 C．15 2．一个数既是24的因数，又是12的倍数，这个数可能是（　　） A．3 B．8 C．24 3．一个数既是12的因数，又是12的倍数，那么这个数是（　　） A．24 B．6 C．12 4．在1、2、3、4、5……n这组自然数中，M表示所有奇数的个数，N表示所有质数的个数，P表示所有偶数的个数，Q表示所有合数的个数。那么（M﹣N）+（P﹣Q）＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．下面说法完全正确的是（　　） A．所有的质数都是奇数 B．奇数+奇数的和一定是偶数 C．两个质数相乘，积一定还是质数 D．所有的偶数都是合数 6．20以内的自然数中，相邻两个自然数都是合数的有（　　）组。 A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共7小题） 7．如果m＝2×2×5，n＝2×3×5，那么它们的最大公因数是 　 　，最小公倍数是 　 　。 8．三个连续奇数的和是51，这三个奇数分别是 　 　、　 　和 　 　。 9．从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是 　 　，最小的偶数是 　 　，最小的3的倍数是 　 　。 10．一个数最小的倍数是36，这个数是 　 　；它有 　 　个因数，这些因数中，质数有 　 　个。 11．文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进 　 　支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进 　 　支。 12．一个三位小数，整数部分是0，十分位上的数（不是0）既不是质数也不是合数，百分位上的数是最小的质数，千分位上的数是最小的合数，这个三位小数是 　 　。 13．在2、31、57、73、81中，质数有 　 　，合数有 　 　。请选择其中一个合数把它分解质因数 　 　。 三．判断题（共7小题） 14．一个合数加上另一个合数的和还是合数。 　 　 15．如果a÷b＝5，那么a和b的最大公因数是5．　 　． 16．因为2.1÷0.7＝3，所以2.1是0.7的倍数．　 　 17．互质的两个数都必须是质数．　 　 18．将42分解质因数是42＝6×7。 　 　 19．两个连续自然数的和一定是奇数，积一定是偶数。 　 　 20．1是任何非零自然数的公因数．　 　． 四．计算题（共2小题） 21．求出下面每组数中的最大公因数。 24和42 17和51 28和35 18和25 22．分解质因数。 ①21＝　 　×　 　 ②30＝　 　×　 　×　 　 五．应用题（共22小题） 23．王老师共买了40个篮球和排球，如果篮球的个数为偶数，那么排球的个数为奇数还是偶数？如果篮球的个数为奇数呢？ 24．把48块月饼分装在盒子里，每个盒子装同样多，既不能一盒装一个，也不能一盒装完，有几种不同的装法？ 25．聪聪想买2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”。有以下三个超市售卖，请你帮聪聪算一算，在哪个超市买最便宜？ 26．要把18块饼干分成两份，并且每份的个数都是质数，这两份饼干可能各是多少块？ 27．妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？ 28．小丽去玩密室逃脱，要打开一扇门，密码是一个五位数，从左往右依次是：①最小奇数的5倍；②既是8的因数，也是8的倍数；③既不是质数也不是合数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数。请你帮小丽想一想，开这扇门的密码是什么？ 29．一个小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐他付了100元，售货员阿姨找回了18元。已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 30．把45名学生分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为奇数还是偶数？为什么？ 31．五年级1班同学做操，12人站一行或16人站一行都多1人，这个班级人数不足50人，这个班有多少人？ 32．有48名同学参加植树活动，现在要把他们平均分成若干组，每组至少3人，最多不超过20人，可以怎样分？有多少种分法？ 33．把12个球装在盒子里，每个盒子装的同样多（至少装两个盒子），每盒装几个？需要几个盒子？把所有装法用你喜欢的方法记录下来。 34．糕点师要把36块面包用袋子进行包装，每袋面包的数量相等（袋数大于1，但小于36），一共有几种包装方法？ 35．过春节时，发红包寓意着喜庆、吉祥，亦是长辈向晚辈表达美好祝愿的方式。红包又称压岁钱，古代人给小孩子发红包主要是为了避邪，当时人们相信大年三十会出现一种名叫“祟”的怪物，而“祟“与“岁“同音，晚辈收到压岁钱后就可以平安度过一岁。 爸爸用微信给小亮发了一个红包，红包里的钱既是24的因数，又是40的因数。爸爸给小亮发的红包可能是多少钱？ 36．在“迎国庆，庆中秋”文艺晚会中，体操表演队有24名同学要排成每行人数相等的长方形队列，可以怎样排？（每行或每列的人数，不得少于3人） 37．五年级36名同学参加啦啦操排练，要求排成方阵，且每行人数相同（不允许一人一行，或一人一列），有哪几种排法？ 38．一个长方形的周长是18米，它的长、宽都是整米数，而且是两个质数。这个长方形的面积是多少平方米？ 39．实验小学五（1）班有41名同学，现在派他们到4个卫生区去打扫卫生，每个卫生区只能派奇数名同学。你能完成分配任务吗？请说明做法或原因。 40．奔跑团一共有45名成员，周日举行活动时有1名成员请假，其余的成员分成3组，乐乐说“这3组的人数可以都是奇数”，你认为他说得对吗？为什么？ 41．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。 42．马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？ 43．插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？ 44．东木小区开展闲置图书共享活动．参与共享的图书数量在100和200之间，并且比24的倍数多15．参与共享的图书最多有多少本？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．小明说：“所有的质数都是奇数。”下面能说明他说法错误的是（　　） A．2 B．5 C．15 【答案】A 【分析】根据质数和奇数的意义判断。只有1和它本身两个因数是数是质数；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。 【解答】解：小明说：“所有的质数都是奇数。”能说明他说法错误的是2。 故选：A。 【点评】本题主要考查奇数和质数的意义及应用。 2．一个数既是24的因数，又是12的倍数，这个数可能是（　　） A．3 B．8 C．24 【答案】C 【分析】根据求一个数的因数和倍数的方法解答。 【解答】解：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 12的倍数有：12、24、36…… 所以一个数既是24的因数，又是12的倍数，这个数可能是24。 故选：C。 【点评】本题主要考查求一个数的因数和倍数的方法及应用。 3．一个数既是12的因数，又是12的倍数，那么这个数是（　　） A．24 B．6 C．12 【答案】C 【分析】根据“一个数是12的倍数，”说明这个数≥12；又因为“这个数是12的因数，”说明这个数≤12；因此这个数是12． 【解答】解：根据一个非0的自然数既是自己的倍数，又是自己的因数， 所以一个数既是12的倍数，又是12的因数，这个数是12． 故选：C． 【点评】本题考查了倍数、因数中的特征之一，即一个非0的自然数既是自己的倍数，又是自己的因数；希望同学们记住这个结论． 4．在1、2、3、4、5……n这组自然数中，M表示所有奇数的个数，N表示所有质数的个数，P表示所有偶数的个数，Q表示所有合数的个数。那么（M﹣N）+（P﹣Q）＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】在这些数中，所有偶数与所有奇数合起来就包含了所有的数，所有质数与所有合数合起来包含了除1以外的所有数，将（M﹣N）+（P﹣Q）变式为（M+P）﹣（N+Q），即可解答。 【解答】解：所有奇数的个数+所有偶数的个数＝n 所有质数的个数+所有合数个数＝n﹣1 （M﹣N）+（P﹣Q） ＝（M+P）﹣（N+Q） ＝n﹣（n﹣1） ＝1 故选：B。 【点评】本题主要考查质数与合数、奇数与偶数的定义，一个数不是奇数就是偶数，1既不是质数也不是合数。 5．下面说法完全正确的是（　　） A．所有的质数都是奇数 B．奇数+奇数的和一定是偶数 C．两个质数相乘，积一定还是质数 D．所有的偶数都是合数 【答案】B 【分析】对以下各个选项，依次进行分析，即可得出结论。 【解答】解：A、最小的质数2，是偶数，所以，所有的质数都是奇数，说法错误。 B、奇数+奇数的和一定是偶数，说法正确。 C、两个质数相乘的积，则因数除了1和它本身外，还有这两个质数，即共有4个因数，为合数，原题说法错误； D、所有的偶数都是合数，说法错误，如2，是偶数但不是合数。 故选：B。 【点评】本题主要考查了质数与合数、偶数与奇数的定义，可以采用举例法来排除错误答案。 6．20以内的自然数中，相邻两个自然数都是合数的有（　　）组。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数（素数）；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数即可解答。 【解答】解：相邻两个数都是合数的有8和9；9和10；15和16，14和15共4组。 故选：C。 【点评】本题主要考查质数与合数的定义。 二．填空题（共7小题） 7．如果m＝2×2×5，n＝2×3×5，那么它们的最大公因数是 　10　，最小公倍数是 　60　。 【答案】见试题解答内容 【分析】求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的乘积；最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的连乘积，据此解答。 【解答】解：m＝2×2×5 n＝2×3×5 因此m和n的公有质因数是2和5，它们的最大公因数是2×5＝10。 所以它们的最小公倍数是2×5×2×3＝60。 答：它们的最大公因数是10，最小公倍数是60。 故答案为：10；60。 【点评】本题主要考查了求几个数的最大公因数和最小公倍数的灵活运用。 8．三个连续奇数的和是51，这三个奇数分别是 　15　、　17　和 　19　。 【答案】15，17，19。 【分析】根据连续奇数的特点，两个相邻的连续奇数相差2，最小的一个比中间的少2，最大的一个比中间的一个多2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍，求出中间的一个奇数，再求出相邻的另外两个，一个是中间的奇数减2，一个是加2，据此解答。 【解答】解：51÷3＝17； 17﹣2＝15； 17+2＝19； 故答案为：15，17，19。 【点评】本题是考查奇数的意义及特点，两个连续奇数相差2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍。 9．从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是 　531　，最小的偶数是 　130　，最小的3的倍数是 　105　。 【答案】531；130；105。 【分析】组成最大的奇数，个位是奇数，选最小的1，另外几个数，把大数从高位排起，写出即可； 组成最小的偶数，个位是0，另外几个数，把小数从高位排起，写出即可； 组成最小的3的倍数，各位上的数加起来能被3整除，这样符合条件的就是105。 【解答】解：从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是531，最小的偶数是130，最小的3的倍数是105。 故答案为：531；130；105。 【点评】本题考查了奇数、偶数、3的倍数等知识，结合题意解答即可。 10．一个数最小的倍数是36，这个数是 　36　；它有 　9　个因数，这些因数中，质数有 　2　个。 【答案】36，9，2。 【分析】一个数的因数是有限的，最小是1，最大是它本身，一个数的倍数是无限的，最小是它本身，没有最大倍数．根据求一个数的因数的方法，先求出36的因数，再根据质数、合数的意义，把36的因数进行分类即可。 【解答】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个因数；这些因数中，这些因数中质数有2、3，共2个。 故答案为：36，9，2。 【点评】此题考查的目的是使学生理解因数与倍数的意义，明确：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 11．文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进 　159　支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进 　156　支。 【答案】159；156。 【分析】根据3的倍数及2的倍数，结合这个数是一百五十多求解即可。 【解答】解：文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进159支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进156支。 故答案为：159；156。 【点评】本题主要考查了3的倍数及2有倍数的灵活运用。 12．一个三位小数，整数部分是0，十分位上的数（不是0）既不是质数也不是合数，百分位上的数是最小的质数，千分位上的数是最小的合数，这个三位小数是 　0.124　。 【答案】0.124。 【分析】1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4，据此写出这个三位小数即可。 【解答】解：一个三位小数，整数部分是0，十分位上的数（不是0）既不是质数也不是合数，百分位上的数是最小的质数，千分位上的数是最小的合数，这个三位小数是0.124。 故答案为：0.124。 【点评】解答本题需熟练掌握小数的组成，明确“1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4”是关键。 13．在2、31、57、73、81中，质数有 　2、31、73　，合数有 　57、81　。请选择其中一个合数把它分解质因数 　57＝19×3　。 【答案】2、31、73，57、81，57＝19×3。 【分析】在自然数中，除了1和它本身没有别的因数的数位质数；在自然数中，除以1和它本身之外还有别的因数的数位合数，据此解答。 【解答】解：57＝19×3 在2、31、57、73、81中，质数有（2、31、73），合数有（57、81）。请选择其中一个合数把它分解质因数（57＝19×3）。 故答案为：2、31、73，57、81，57＝19×3。 【点评】熟悉质数与合数的意义是解决本题的关键。 三．判断题（共7小题） 14．一个合数加上另一个合数的和还是合数。 　×　 【答案】× 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；由此举例进行判断即可。 【解答】解：4+9＝13，4+15＝19，4、9、15都是合数，13和19都是质数，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题主要考查质数与合数的意义。 15．如果a÷b＝5，那么a和b的最大公因数是5．　×　． 【答案】见试题解答内容 【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数是倍数关系，那么这两个数中较小的数就是这两个数的最大公因数．据此判断即可． 【解答】解：因为a÷b＝5（a、b为整数）， 所以a是b的倍数，且a＞b， 所以a和b的最大公因数是b，不是5；所以原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数的方法及应用，明确：当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数． 16．因为2.1÷0.7＝3，所以2.1是0.7的倍数．　×　 【答案】见试题解答内容 【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答． 【解答】解：2.1÷0.7＝3，只是2.1能被0.7除尽，不是整除； 倍数是相对应整数而言的，研究范围是在非0自然数范围内，所以原题说法错误； 故答案为：×． 【点评】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究范围是在非0自然数范围内． 17．互质的两个数都必须是质数．　×　 【答案】见试题解答内容 【分析】根据互质数的意义，只有公因数1的两个数叫做互质数，所以互质数不一定都是质数，只要是两个数只有公因数1即是互质数，可以举例解答． 【解答】解：8和9都是合数，但是8和9是互质数，所以互质的两个数都必须是质数的说法是错误的； 故答案为：×． 【点评】本题主要考查互质数的意义，只有公因数1的两个数叫做互质数． 18．将42分解质因数是42＝6×7。 　×　 【答案】× 【分析】将一个合数分成几个质数相乘的形式，叫作将这个数分解质因数，据此将42分解质因数后判断即可。 【解答】解：将42分解质因数的结果是：42＝2×3×7。 原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】解答本题需熟练掌握分解质因数的方法，灵活解答。 19．两个连续自然数的和一定是奇数，积一定是偶数。 　√　 【答案】√ 【分析】自然数根据是否是2的倍数分为偶数与奇数两类，根据自然数排列规律，相邻的两个自然数中，一定有一个奇数，一个偶数，即两个连续的自然数中一定有一个奇数，一个偶数，根据数的奇偶性可知，奇数+偶数＝奇数，所以两个连续的自然数的和一定是奇数，根据数的奇偶性可知，奇数×偶数＝偶数，所以两个连续的自然数的积一定是偶数。 【解答】解：两个连续的自然数中一定有一个奇数，一个偶数，根据数的奇偶性可知，奇数+偶数＝奇数，所以两个连续的自然数的和一定是奇数；两个连续的自然数的积一定是偶数。 故答案为：√。 【点评】明确两个连续的自然数中一定有一个奇数、一个偶数是完成本题的关键。 20．1是任何非零自然数的公因数．　√　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据公因数的意义可知：公因数是几个数公有的因数，任何非零自然数的因数都有1，所以1是所有非0自然数的公因数，据此解答． 【解答】解：1是任何非零自然数的公因数，说法正确． 故答案为：√． 【点评】本题主要考查公因数的意义，注意1是所有非0自然数的公因数． 四．计算题（共2小题） 21．求出下面每组数中的最大公因数。 24和42 17和51 28和35 18和25 【答案】6，17，7，1。 【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数；先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。 【解答】解：（1）24＝2×2×2×3 42＝2×3×7 所以24和42的最大公因数是2×3＝6。 （2）51是17的倍数，所以17和51的最大公因数是17。 （3）28＝2×2×7 35＝5×7 所以28和35的最大公因数是7。 （4）18＝2×3×3 25＝5×5 所以18和25是互质数，最大公因数是1。 【点评】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解题的关键。 22．分解质因数。 ①21＝　3　×　7　 ②30＝　2　×　3　×　5　 【答案】①3，7；②2，3，5。 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【解答】解：①21＝3×7 ②30＝2×3×5 故答案为：3，7；2，3，5。 【点评】熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键。 五．应用题（共22小题） 23．王老师共买了40个篮球和排球，如果篮球的个数为偶数，那么排球的个数为奇数还是偶数？如果篮球的个数为奇数呢？ 【答案】王老师共买了40个篮球和排球，如果篮球的个数为偶数，那么排球的个数是偶数，如果篮球的个数为奇数，那么排球的数量为奇数。 【分析】奇数和偶数的性质：奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。 【解答】解：因为40是偶数，篮球的个数为偶数，偶数﹣偶数＝偶数，所以排球的个数为偶数；若篮球的数量为奇数，偶数﹣奇数＝奇数，因此此时排球的数量为奇数。 答：王老师共买了40个篮球和排球，如果篮球的个数为偶数，那么排球的个数是偶数，如果篮球的个数为奇数，那么排球的数量为奇数。 【点评】此题考查了奇数和偶数的性质。 24．把48块月饼分装在盒子里，每个盒子装同样多，既不能一盒装一个，也不能一盒装完，有几种不同的装法？ 【答案】8种。 【分析】利用找配对的方法求出48所有的因数，48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，根据题目要求，既不能一盒装一个，也不能一盒装完，因此1和48这两个数不符合题意；据此解答。 【解答】解：48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，其中1和48不符合题意，因此有2，3，4，6，8，12，16，24这8种装法。 故答案为：8种。 【点评】本题考查了求一个数的因数的方法。 25．聪聪想买2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”。有以下三个超市售卖，请你帮聪聪算一算，在哪个超市买最便宜？ 【答案】甲超市 【分析】根据一个吉祥物的单价＝总价÷买的个数，分别求出在不同商场中吉祥物的单价，然后根据异分母分数的大小比较方法进行比较即可。 【解答】解：根据题意，先计算每个吉祥物的单价： 甲超市：41÷5＝8（元） 乙超市：33÷4＝8（元） 丙超市：25÷3＝8（元） 整数部分相同，分数的分子相同，分母越小分数越大，所以在甲超市买最合适。 故答案为：甲超市。 【点评】本题考查的是分数的应用，解题的关键是掌握分数与除法的关系以及异分母分数的大小比较方法。 26．要把18块饼干分成两份，并且每份的个数都是质数，这两份饼干可能各是多少块？ 【答案】5和13块；7和11块。 【分析】根据合数与质数的初步认识即可解答。 【解答】解：18＝5+13 18＝7+11 答：这两份饼干可能5和13块；7和11块。 【点评】本题主要考查合数与质数的初步认识。 27．妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？ 【答案】不对。 【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此分析解答。 【解答】解：由题意，根据5的倍数的特征可知找回13元不对。 因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几盆，总钱数也应是5的倍数，付了50元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。 【点评】此题考查了5的倍数特征的实际运用。 28．小丽去玩密室逃脱，要打开一扇门，密码是一个五位数，从左往右依次是：①最小奇数的5倍；②既是8的因数，也是8的倍数；③既不是质数也不是合数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数。请你帮小丽想一想，开这扇门的密码是什么？ 【答案】58174。 【分析】自然数中，是2的倍数的数是奇数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数；1既不是质数也不是合数；10以内最大的质数是7；最小的合数是4；据此解答即可。 【解答】解：①最小的奇数是1，所以最小的奇数的5倍是5；②8既是8的因数，也是8的倍数；③1既不是质数也不是合数；④10以内最大的质数是7；⑤最小的合数是4。 答：这扇门的密码是58174。 【点评】本题考查了奇数和偶数，质数和合数的知识，要熟练掌握。 29．一个小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐他付了100元，售货员阿姨找回了18元。已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【答案】不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。 【分析】根据5的倍数特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数，据此分析解答。 【解答】解：因为纯牛奶和可乐的单价分别是5元、10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数应该也是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回18元不对。 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。 【点评】此题考查了5的倍数的特征以及实际运用，要熟练掌握。 30．把45名学生分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为奇数还是偶数？为什么？ 【答案】偶数，因为一个奇数与一个偶数的和是奇数，甲队人数为奇数，甲队人数与乙队人数的和45是奇数，所以乙队人数为偶数。 【分析】根据一个奇数与一个偶数的和是奇数进行判断。 【解答】解：甲队人数+乙队人数＝45 因为一个奇数与一个偶数的和是奇数，甲队人数为奇数，甲队人数与乙队人数的和45是奇数，所以乙队人数为偶数。 【点评】此题主要考查两个数的和、两个数的差的奇偶性判断方法。 31．五年级1班同学做操，12人站一行或16人站一行都多1人，这个班级人数不足50人，这个班有多少人？ 【答案】49。 【分析】12人站一行或16人站一行都多1人，说明总人数是12和16的倍数加1，这个班级人数不足50人，先求出12和16的最小公倍数加1后，在50以内即是要求的人数。 【解答】解：12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 所以12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48 48+1＝49（人），在50人以内。 答：这个班有49人。 【点评】找出两个数的最小公倍数是解答本题的关键；熟练掌握最小公倍数的求法。 32．有48名同学参加植树活动，现在要把他们平均分成若干组，每组至少3人，最多不超过20人，可以怎样分？有多少种分法？ 【答案】3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。 【分析】因为是平均分成若干组，故每组人数相同，所以48能被每组人数整除，也就是找48的因数，即1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，舍去小于3，大于20的部分，即可解答。 【解答】解：48＝1×48 48＝2×24 48＝3×16 48＝4×12 48＝6×8 因为每组人数至少3人，最多不超20人，所以可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。 答：可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。 【点评】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。 33．把12个球装在盒子里，每个盒子装的同样多（至少装两个盒子），每盒装几个？需要几个盒子？把所有装法用你喜欢的方法记录下来。 【答案】①一盒装6个，装2盒；②每盒装2个，装6盒；③一盒装3个，装4盒；④每盒装4个，装3盒；⑤一盒装1个，装12盒。 【分析】首先找出48的所有因数，再根据哪两个因数相乘是48确定每盒装几个，装几盒，据此解答即可。 【解答】解：12的因数有：1、2、3、4、6、12； 12＝2×6，一盒装6个，装2盒；或每盒装2个，装6盒； 12＝3×4，一盒装3个，装4盒；或每盒装4个，装3盒； 12＝12×1，装12个盒子，每盒1个。 答：一共有5种装法：①一盒装6个，装2盒；②每盒装2个，装6盒；③一盒装3个，装4盒；④每盒装4个，装3盒；⑤一盒装1个，装12盒。 【点评】此题主要考查了求一个数的约数的方法的应用。 34．糕点师要把36块面包用袋子进行包装，每袋面包的数量相等（袋数大于1，但小于36），一共有几种包装方法？ 【答案】7种。 【分析】根据找一个数的因数的方法，找出36的因数，并找出满足袋数大于1，但小于36的包装方法即可。 【解答】解：36的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6，因为袋数大于1，但小于36，所以1和36不符合题意舍去，包装方法是： 每袋2块，装18袋；每袋18块，装2袋；每袋3块，装12袋；每袋12块，装3袋；每袋4块，装9袋；每袋9块，装4袋；每袋6块，装6袋。 答：共有7中包装方法。 【点评】此题考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握。 35．过春节时，发红包寓意着喜庆、吉祥，亦是长辈向晚辈表达美好祝愿的方式。红包又称压岁钱，古代人给小孩子发红包主要是为了避邪，当时人们相信大年三十会出现一种名叫“祟”的怪物，而“祟“与“岁“同音，晚辈收到压岁钱后就可以平安度过一岁。 爸爸用微信给小亮发了一个红包，红包里的钱既是24的因数，又是40的因数。爸爸给小亮发的红包可能是多少钱？ 【答案】1元、2元、4元、8元。 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此写出24的所有因数和40的所有因数，再找出这两个数的公因数即可得解。 【解答】解：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24； 40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40； 24和40的公因数有：1、2、4、8。 所以可能是1元、2元、4元、8元。 答：爸爸给小亮发的红包可能是1元、2元、4元、8元。 【点评】此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法，通过找两个数的公因数，解决问题。 36．在“迎国庆，庆中秋”文艺晚会中，体操表演队有24名同学要排成每行人数相等的长方形队列，可以怎样排？（每行或每列的人数，不得少于3人） 【答案】3行8列或4行6列。 【分析】每行或每列最少3人，则24＝3×8＝4×6，据此解答。 【解答】解：因为24＝3×8＝4×6，所以可排成3行8列或4行6列。 答：可排成3行8列或4行6列。 【点评】本题主要考查了找因数的基础知识。 37．五年级36名同学参加啦啦操排练，要求排成方阵，且每行人数相同（不允许一人一行，或一人一列），有哪几种排法？ 【答案】7种。 【分析】根据题意，总人数＝行数×列数，将36拆分成2人因数相乘，列出所有可能即可。 【解答】解：36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 ①2行，一行18人； ②3行，一行12人； ③4行，一行9人； ④6行，一行6人； ⑤9行，一行4人； ⑥12行，一行3人； ⑦18行，一行2人。 答：有7种排法。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用。 38．一个长方形的周长是18米，它的长、宽都是整米数，而且是两个质数。这个长方形的面积是多少平方米？ 【答案】14平方米。 【分析】因为长方形的周长是18厘米，所以长+宽＝18÷2＝9（米），又因为长、宽均为质数，所以9＝7+2，所以长应该是7米，宽是2米，再根据长方形的面积公式S＝ab，即可求出面积。 【解答】解：因为长方形的周长是18米， 即（长+宽）×2＝18， 所以长+宽＝18÷2＝9（米）； 又因为长、宽均为质数， 所以9＝7+2， 所以长应该是7米，宽是2米； 长方形的面积是：7×2＝14（平方米）。 答：这个长方形的面积是14平方米。 【点评】关键是根据题意将9进行裂项，得出符合要求的长和宽，再利用长方形的面积公式S＝ab解决问题。 39．实验小学五（1）班有41名同学，现在派他们到4个卫生区去打扫卫生，每个卫生区只能派奇数名同学。你能完成分配任务吗？请说明做法或原因。 【答案】不能；因为奇数+奇数＝偶数，那么四个奇数相加的和是偶数，但总人数41是奇数，所以不能完成分配任务。 【分析】奇数和偶数的运算性质：偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数。 已知五（1）班有41名同学派到4个卫生区，每个卫生区只能派奇数名同学，根据奇数和偶数的运算性质可知，四个奇数相加的和是偶数，但总人数是奇数，所以不能完成分配任务。 【解答】解：不能完成分配任务。因为奇数+奇数＝偶数，那么四个奇数相加的和是偶数，但总人数41是奇数，所以不能完成分配任务。 【点评】本题考查了奇数和偶数的性质。 40．奔跑团一共有45名成员，周日举行活动时有1名成员请假，其余的成员分成3组，乐乐说“这3组的人数可以都是奇数”，你认为他说得对吗？为什么？ 【答案】不对。三个奇数相加的和是奇数，而44是偶数，不能分成3个奇数，所以乐乐说的不对。 【分析】根据题意，45名成员，周日举行活动时有1名成员请假，其余的成员还剩44名，分成3组。根据奇数+奇数＝偶数，而偶数+奇数＝奇数，即三个奇数相加的和是奇数，而44是偶数，不能分成3个奇数，由此求解即可。 【解答】解：45﹣1＝44（名） 三个奇数相加的和是奇数，而44是偶数，不能分成3个奇数，所以乐乐说的不对。 【点评】解决本题根据三个奇数的和不能是偶数，结合题意分析解答即可。 41．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。 【答案】12＝5+7，12是大于2的偶数，5和7都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。 14＝3+11，14是大于2的偶数，3和11都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。（答案不唯一） 【分析】根据题意“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，举例子解答即可。 【解答】解：示例：12＝5+7，12是大于2的偶数，5和7都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。 14＝3+11，14是大于2的偶数，3和11都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。（答案不唯一） 【点评】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握。在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数。 42．马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？ 【答案】马超：10枚；刘涛：9枚；王阳：6枚。 【分析】根据分解质因数的意义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式；把540分解质因数，再根据题意进行组合，即可得出三人分别购买邮票的枚数。 【解答】解：540＝2×2×3×3×3×5 化为：540＝（2×3）×（2×5）×（3×3） 540＝6×10×9 因为：10﹣9＝1；9﹣6＝3， 马超买的邮票枚数﹣刘涛买的邮票枚数＝1（枚） 刘涛买的邮票枚数﹣王阳买的邮票枚数＝3（枚） 所以马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票；王阳买了6枚邮票。 答：马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票，王阳买了6枚邮票。 【点评】解答本题的关键是利用分解质因数的方法进行解答。 43．插花师计划用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？ 【答案】14，8。 【分析】求最多可以做多少束花，就是求70和42的最大公因数，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；再用百合花的总朵数除以最大公因数就是每束花中百合花的朵数，用玫瑰花的总朵数除以最大公因数就是每束花中玫瑰花的总朵数，再把每束花中百合花的朵数与每束花中玫瑰花的总朵数相加即可。 【解答】解：70＝2×5×7 42＝2×3×7 所以70和42的最大公因数是2×7＝14 70÷14＝5（朵） 42÷14＝3（朵） 5+3＝8（朵） 答：最多可以做14束花，这时每束花中有8朵花。 【点评】本题考查了最大公因数的应用以及最大公因数的求法。 44．东木小区开展闲置图书共享活动．参与共享的图书数量在100和200之间，并且比24的倍数多15．参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为200÷24＝8…8，则求出24的8﹣1＝7倍，然后加上15即可得到参与共享的图书最多有多少本． 【解答】解：200÷24＝8…8 24×（8﹣1）+15 ＝168+15 ＝183（本） 答：参与共享的图书最多有183本． 【点评】明确200里面包含了多少个24，是解答此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$