4.3.1 等比数列的概念（第2课时 等比数列的性质）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 第2课时 等比数列的性质 4.3.1　等比数列的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法. 2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题. 3.理解等比数列的常用性质. 4.掌握等比数列的判断及证明方法． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric progression）． 等比数列的定义： 旧知回顾 旧知回顾 什么是等比中项： 1.等比数列的常用性质 性质1 通项公式的推广：an＝am· (n，m∈N*) 性质2 若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝ 性质3 性质4 在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… 性质5 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列 qn－m am·an 新知探究 课本例题 例4 用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）? （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5)? 例4 用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）? （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5)? 所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1)． n 1 2 3 4 5 6 7 anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 表4.3-1 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 课本练习 3．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆．如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）? 故2025年全年约生产新能源汽车128145辆． 4.某城市今年空气质量为“良”的天数共为105天，力争2年后使空气质量为“良”的天数达到240天，这个城市空气质量为“良”的天数的年平均增长率为多少？（精确到小数点后2位） 典例剖析 题型1　等比数列性质的应用 例1.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124且公比为整数，求a10． 跟踪训练 1．各项为正数的等比数列{an}中，a4·a7＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝ (　　) A．5　　 B．10　　 C．15　　 D．20 【答案】C　 【解析】　由等比数列的性质，得a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝…＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log285＝15． 典例剖析 题型2　灵活设项求解等比数列 例2.已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为－128，求这四个数． 典例剖析 题型3　等比数列的实际应用 例3.某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为多少万元？ 总结归纳 易错分析 例4.在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积. 利用等比中项性质时忽视符号判断 【错因分析】该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项时，要注意正负号的选择． 例4.在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积. 易错分析 在等比数列中，隔项的符号是一致的，故本题中a3＝2． 随堂检测 【答案】D　 随堂检测 2.一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4且所有项的积为64，则该数列共有 (　　) A．6项　　 B．8项　　 C．10项　　 D．12项 【答案】D　 【解析】设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1．∴aq3＝2，aq3n－6＝ 4．两式相乘得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2．又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64．∴aq＝64，即(aqn－1)n＝642，∴2n＝642，∴n＝12． 随堂检测 3．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 【答案】2 048　 随堂检测 课堂小结 等比数列与等差数列的区别与联系 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一. (1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值． 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系； (2)结果都必须是常数； (3)数列都可以由a1、d或a1、q确定． 联系 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列. 课堂小结 若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an2}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列 【答案】解：由a4a7＝－512，知a3a8＝－512． 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3a8＝－512，,a3＋a8＝124，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝－4，,a8＝128))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝128，,a8＝－4.)) 由q＝eq \r(5,\f(a8,a3))，得q＝－2或－eq \f(1,2)． 又q为整数，∴q＝－2，a3＝－4，a8＝128． ∴a10＝a8q2＝128×(－2)2＝512． 解：设所求四个数为eq \f(2a,q)－a，eq \f(a,q)，a，aq， 则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a2,q)＝16，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a))·aq＝－128，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－8，,q＝4.))因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32． 解：设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则 an＋1＝an(1＋m%)，∴eq \f(an＋1,an)＝1＋m%． ∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列． ∴an＝a(1＋m%)n－1． ∴2021年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19 (万元)． 运用等比数列性质应注意的问题 运用等比数列性质am·an＝ak·al＝aeq \o\al(2,t)(m，n，k，l，t∈N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系m＋n＝k＋l＝2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆． 三个数或四个数成等比数列的设元技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或eq \f(a,q)，a，aq． (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3． 【错解】设这个等比数列为{an}，其中a1＝1，a5＝4，插入的三项分别为a2，a3，a4． 由题意，得a1，a3，a5也成等比数列，则aeq \o\al(2,3)＝a1a5＝1×4＝4，故a3＝±2，∴a2a3a4＝aeq \o\al(3,3)＝±8． 【正解】设这个等比数列为{an}，其中a1＝1，a5＝4，插入的三项分别为a2，a3，a4．由题意，得a1，a3，a5也成等比数列，则aeq \o\al(2,3)＝a1a5＝1×4＝4．又a3＝a1q2＞0，故a3＝2，∴a2a3a4＝aeq \o\al(3,3)＝8． 1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，an＜an＋1，n∈N*，a4·a14＝9，a8＋a10＝10，则数列{an}的公比为 (　　) A．eq \f(1,2)　 B．eq \f(1,3)　 C．2　 D．3 【解析】　a4a14＝a8a10＝9，又a8＋a10＝10，∴a8，a10为方程x2－10x＋9＝0的两根，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a8＝1，,a10＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a8＝9，,a10＝1.))由题意知a8＜a10，∴a8＝1，a10＝9，∴q2＝eq \f(a10,a8)＝9，又{an}的各项均为正数，∴q＝3． 【解析】　这10个正方形的边长构成以2为首项，eq \r(2)为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝aeq \o\al(2,10)＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)． 【解析】　∵eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a10)＝eq \f(a7＋a10,a7a10)，eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＝eq \f(a8＋a9,a8a9)，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，∴eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＋eq \f(1,a10)＝eq \f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)＝eq \f(15,8)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)))＝－eq \f(5,3)． 4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq \f(15,8)，a8a9＝－eq \f(9,8)，则eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＋eq \f(1,a10)＝________． 【答案】－eq \f(5,3)　 1．若{an}是等比数列且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．特别地，当m＋n＝2p时，am·an＝aeq \o\al(2,p)．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质可以减少运算量，提高解题速度． 2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形，此外，解题时注意设而不求思想的运用． $$