高二数学开学摸底考02（人教A版2019选择性必修第一册+数列）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年下学期开学摸底考试 高二数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 5．已知M为圆上一动点，过M作x轴的垂线交直线于N，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 8．抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 10．下列结论中正确的是（    ） A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B．已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C．若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是 11．双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是 A．存在使得 B．P到两条渐近线的距离之积为定值 C．当直线运动时，始终有 D．△内切圆的圆心的横坐标为1 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若实数成等差数列，成等比数列，则 . 13．已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为 ． 14．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 16．（15分）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．（15分）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 18．（17分）已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； (3)直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 19．（17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期开学摸底考 高二数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D B B A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．1 14．或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为.....................................6分 （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或.....................................13分 16．（15分） 【详解】（1）由实轴长为2可得，即； 再由离心率为可得，即， 所以， 可得双曲线的标准方程为；.....................................6分 （2）如下图所示： 联立，整理可得， 显然，且，解得且； 设，可得， 所以 ， 即，解得，不满足且，不合题意； 因此不存在满足......................................15分 17．（15分） 【详解】（1）为等差数列，设其公差为， 则，解得， 故； ①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，， 又，故，满足， 从而；.....................................7分 （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前2025项是项之后，还有项为1， 故.....................................15分 18．（17分） 【详解】（1）由题意得，. 当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，此时面积为， ∴，∴椭圆C的方程为．.....................................3分 （2）设，则，即， ∴．.....................................9分 （3）由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，． 由得， ， ∴，， ∴，， ∵，∴，即， ∴， 解得或（舍）． 当时，满足，此时MN的方程为，故直线MN过定点．.....................................17分 19．（17分） 【详解】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为.....................................3分 （2）①由余弦定理有：，且， 消掉，可得；.....................................9分 ②由AD是球的直径，则， 且，，平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD，则， 且，平面ABC，可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以， 不妨先令，则， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，    设，则， 可得，， 则， 设平面OBC法向量，则， 取，则，可得， 设平面EST法向量，则， 取，则，可得， 要使sinθ取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等． 则取最大值，为最小值， 此时点，可得，， 设平面AEC中的法向量，则， 取，则，可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为......................................17分 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】当时，，所以或， 当时，直线：，直线：，两直线不重合， 当时，直线：，即， 直线：，两直线不重合，所以当或时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 2．已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先设数列的通项公式，根据已知条件可求得结果. 【详解】设（k,b为常数）， 则，所以， 因为对任意的，都有， 所以，则， ， ，因为， 所以，解得， 所以，则， 故选：D. 3．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围. 【详解】直线恒过点， 由可得，等式两边平方得， 曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得， 当直线过时，，解得， 要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是. 故选：D. 4．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据已知分析得P在平面上，且，应用向量数量积的运算律及已知可得，且，再由，即可求目标式最值. 【详解】由题设，易得点P在平面上，且， 则，得． 由直四棱柱的性质，得平面，平面， 所以，则． 因为， 所以的最小值为． 故选：B 5．已知M为圆上一动点，过M作x轴的垂线交直线于N，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，，表达出，，由正弦函数有界性求出最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设，， 将代入中得， 故， 则， 故当，即时，取得最小值，最小值为2. 故选：B 6．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 7．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角.    易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 8．抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1， 过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：利用数形结合进行转化是解决本题的关键．本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、考查学生的计算能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 【答案】AB 【分析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D. 【详解】对于选项A：因为即，所以，即， 所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确； 对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误； 对于选项D：由不等式，可得，又因为， 所以满足的的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AB 10．下列结论中正确的是（    ） A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B．已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C．若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是 【答案】BCD 【分析】A注意直线过原点的情况；B根据圆的方程确定圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断两圆位置情况即可；C连接、、，根据题设确定点的轨迹是圆心为，半径为的圆，且与直线有公共点，应用点线距离公式列不等式求参数范围；D先确定圆心到直线距离，再由已知有即可求范围. 【详解】A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，错误； B，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则圆心距，即两圆相离， 圆与圆共有条公切线，正确； C，连接、、，如图，则易知四边形为正方形， ，点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点，圆心到直线的距离， ，实数的取值范围为，正确； D，圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 由圆至少有三个点到直线的距离为1，则，对. 故选：BCD 11．双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是 A．存在使得 B．P到两条渐近线的距离之积为定值 C．当直线运动时，始终有 D．△内切圆的圆心的横坐标为1 【答案】BCD 【分析】设，计算直线的斜率，比较斜率关系即可判断A；由抒情取消方程确定出渐近线，分别计算距离求解即可判断B；设直线，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，计利用弦长公式确定关系即可判断C；设内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标即可判断D. 【详解】双曲线的，则双曲线渐近线方程为， 设，则，且， 对于A，，则， 则，而，所以，则不存在使得，故A不正确； 对于B，点到两个渐近线的距离分别为，， 故，则P到两条渐近线的距离之积为定值，故B正确； 对于C，设点,，,，,， 显然直线的斜率存在，设直线，且， 联立方程，所以， 直线分别与渐近线与联立得，， 得， 所以有，即， 由题可知，，，所以，故C正确； 对于D，如图所示： 设内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，故，，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若实数成等差数列，成等比数列，则 . 【答案】 【分析】根据实数成等差数列得，根据成等比数列得，分析的正负可得结果. 【详解】∵实数成等差数列，∴， ∵成等比数列，∴. 由成等比数列得，，故，∴， ∴. 故答案为：. 13．已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】根据垂径定理，易得点在以为圆心，1为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式及圆上点到定直线距离最值求法，即可得答案. 【详解】由题设，已知圆的方程化为，圆心，半径为2， 由垂径定理知，，即在以为圆心，1为半径的圆上，   到的距离为，故的最小值为. 故答案为：1 14．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 【答案】或 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为.....................................6分 （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或.....................................13分 16．（15分）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析； 【分析】（1）根据离心率以及实轴长计算可得结果； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数得关系以及向量数量积的坐标表示求出，并结合交点个数可判断结论. 【详解】（1）由实轴长为2可得，即； 再由离心率为可得，即， 所以， 可得双曲线的标准方程为；.....................................6分 （2）如下图所示： 联立，整理可得， 显然，且，解得且； 设，可得， 所以 ， 即，解得，不满足且，不合题意； 因此不存在满足......................................15分 17．（15分）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 【答案】(1)，； (2)2080 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，，经过检验，得到； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数为，从而确定数列前2025项是项之后，还有项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为， 则，解得， 故； ①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，， 又，故，满足， 从而；.....................................7分 （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前2025项是项之后，还有项为1， 故.....................................15分 18．（17分）已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； (3)直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件可知当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，由此可计算椭圆标准方程. （2）设，表示，利用点在椭圆上可求结果. （3）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用可计算出的值，即可证明结论. 【详解】（1）由题意得，. 当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，此时面积为， ∴，∴椭圆C的方程为．.....................................3分 （2）设，则，即， ∴．.....................................9分 （3）由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，． 由得， ， ∴，， ∴，， ∵，∴，即， ∴， 解得或（舍）． 当时，满足，此时MN的方程为，故直线MN过定点．.....................................17分 19．（17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②， 【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可. （2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点，再利用空间向量求球心O到平面AEC距离，结合球的性质分析求解. 【详解】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为.....................................3分 （2）①由余弦定理有：，且， 消掉，可得；.....................................9分 ②由AD是球的直径，则， 且，，平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD，则， 且，平面ABC，可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以， 不妨先令，则， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，    设，则， 可得，， 则， 设平面OBC法向量，则， 取，则，可得， 设平面EST法向量，则， 取，则，可得， 要使sinθ取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等． 则取最大值，为最小值， 此时点，可得，， 设平面AEC中的法向量，则， 取，则，可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为......................................17分 【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路 直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即； 2. 利用空间向量求点到平面距离的方法 设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面的法向量，则B到平面的距离. 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 5．已知M为圆上一动点，过M作x轴的垂线交直线于N，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 8．抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 10．下列结论中正确的是（    ） A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B．已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C．若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是 11．双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是 A．存在使得 B．P到两条渐近线的距离之积为定值 C．当直线运动时，始终有 D．△内切圆的圆心的横坐标为1 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若实数成等差数列，成等比数列，则 . 13．已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为 ． 14．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 16．（15分）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．（15分）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 18．（17分）已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； (3)直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 19．（17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$