(新课预习衔接)第四单元比例高频易错培优(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学苏教版

比例 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：在比例尺是1：3000000的地图上，量得清远到深圳之间的距离是7厘米。李叔叔从深圳开车回清远用了3小时，李叔叔平均每小时行驶多少千米？ 【答案】70千米。 【分析】先求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”代入数值求出实际距离，然后根据“速度＝路程÷时间”代入数值，解答即可。 【解答】解：721000000（厘米） 21000000厘米＝210千米 210÷3＝70（千米/时） 答：李叔叔平均每小时行驶70千米。 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离：实际距离，灵活变形列式解决问题。 例题2：在比例尺是1：4000000的地图上，量的A、B两地之间的距离是30厘米。甲、乙两辆客车同时从A、B两地相对开出，经过8小时相遇。已知甲乙两辆客车的速度比是7：8，乙客车每小时行多少千米？ 【答案】80千米。 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出A、B两地的实际距离。根据“速度＝路程÷时间”即可求出甲乙两车汽车的速度之和。乙车的速度占两车速度和的，根据分数乘法的意义，用甲乙两车的速度之和乘就是乙车的速度。 【解答】解：30120000000（厘米） 120000000厘米＝1200千米 1200÷8＝150（千米） 150 ＝150 ＝80（千米） 答：乙客车每小时行80千米。 【点评】此题考查的知识点：比例尺的应用；路程、时间、速度之间的关系；按比例分配问题等。 例题3：在一幅比例尺为1：6000000的地图上，量得甲地到乙地的高速公路长为4.1cm。杨叔叔开车从甲地出发，以每小时90km的速度行驶了1.5小时。为了尽快到达乙地，他在不超速的情况下将速度提高了30%。剩下的路程他1小时能走完吗？ 【答案】能。 【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，根据速度×时间＝路程求出前1.5小时行驶的路程，剩下的路程等于总路程减去前1.5小时行驶的路程，后来的速度等于原来速度×（1+30%）再据“路程÷速度＝时间”求出剩余的路程需要的时间，然后和1小时比较即可。 【解答】解：4.1 ＝4.1×6000000 ＝24600000（厘米） 24600000厘米＝246千米 90×（1+30%） ＝90×1.3 ＝117（千米） （246﹣90×1.5）÷117 ＝（246﹣135）÷117 ＝111÷117 ≈0.95（时） 0.95＜1 答：剩下的路程他1小时能走完。 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及基本的数量关系“路程÷速度＝时间”。 例题4：聪聪和妙妙分别绘制从自己家到同一游乐场的路线图，聪聪按照1：300000的比例尺画图，他家到游乐场的图上距离是4cm，妙妙按照1：500000的比例尺画图，她家到游乐场的图上距离是3.2cm，聪聪家到游乐场的实际距离与妙妙家到游乐场的实际距离相差多少千米？ 【答案】4千米。 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”分别计算出聪聪、妙妙家到游乐场的实际距离，再把二者相减。 【解答】解：4 ＝1200000（厘米） 1200000厘米＝12千米 3.2 ＝1600000（厘米） 1600000厘米＝16千米 16﹣12＝4（千米） 答：聪聪家到游乐场的实际距离与妙妙家到游乐场的实际距离相差4千米。 【点评】关键是掌握图上距离、实际距离、比例尺三者之间的关系。注意长度的单位换算。 例题5：有一列火车以每小时120千米的速度从甲地开往乙地，3小时行驶了全程的，那么在比例尺1：5000000的地图上，甲、乙两地之间的铁路线长为多少？ 【答案】12厘米。 【分析】每小时行驶120千米，先求出3小时行驶多少千米，再根据了3小时行驶了全程的，求出甲乙两地之间的实际距离，再用实际距离乘上比例尺，即可求出两地之间的图上距离。 【解答】解：120×3 ＝360 ＝600（千米） 600千米＝60000000厘米 6000000012（厘米） 答：在比例尺1：5000000的地图上，甲、乙两地之间的铁路线长为12厘米。 【点评】解决本题先根据路程＝速度×时间，求出实际距离，再根据图上距离＝实际距离×比例尺求解；注意单位之间的换算。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、比例的意义和基本性质 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16 二、解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项 （2）求未知内项 三、在平面图上标出物体的位置 【知识点归纳】 利用直角坐标系把平面上的点与数对应起来，以确定平面上物体的位置． 四、比例尺 【知识点归纳】 1．比例尺： 表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺分类： 比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺： （1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比． （2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离． 2．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式： 图上距离＝实际距离×比例尺 实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺＝图上距离÷实际距离． 五、图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 【知识点归纳】 单位换算： 在比例尺计算中要注意单位间的换算：1公里＝1千米＝1×1000米＝1×100000厘米 图上用厘米，实地用千米，厘米换千米，去五个零； 千米换厘米，在千的基础上再加两个零． 第四部分 高频真题 一．选择题（共6小题） 1．一张精密零件图纸的比例尺是20：1，在图纸上量得零件长是8厘米，这个零件实际长是（　　）厘米。 A．2.5 B．160 C．0.4 2．一幅地图的比例尺是千米，把它改成数字比例尺是（　　） A． B． C． D． 3．A地到B地的距离是420千米，如果画在比例尺是的地图上，应画（　　）长。 A．8.4厘米 B．8.4千米 C．4.2厘米 D．4.2千米 4．学校的操场是一个长方形，长是90米，宽是60米，小聪想把它画在练习本上，比较合适的比例尺是（　　） A．1：100 B．1：1000 C．1：10000 D．1：1 5．若图上距离6厘米，表示实际距离240千米，则这幅图的比例尺是（　　） A．1：400 B．1：4000 C．1：400000 D．1：4000000 6．在一个比例中，两个外项正好互为倒数，已知一个内项是，则另一个内项是（　　） A．3 B．16 C． D． 二．填空题（共8小题） 7．在比例尺为40：1的图纸上，量得一个零件的长为20厘米，这个零件的实际长度为 　 　厘米。 8．如果6A＝7B（A、B均不为0），那么A：B＝　 　：　 　。 9．在一个比例中，两个外项的积是0.6，其中一个内项是3，另一个内项是 　 　。 10．根据0.6×9＝0.3×18写出两个不同的比例是　 　和　 　． 11．地面15km的距离画在地图上为3cm，这幅地图的比例尺是 　 　。在比例尺1：20000的地图上，图上5cm表示实际长度 　 　m。 12．在一张地图上，量得A、B两地的距离是3.2cm，C、D两地的距离是8cm，A、B两地的实际距离是50km，这张地图的比例尺是 　 　，C、D两地的实际距离是 　 　km。 13．从24的因数中，找出两个奇数和两个偶数，组成一个比例　 　． 14．在一幅比例尺是1：2500000的地图上，量得厦门到香港的距离是25cm，厦门到香港的实际距离约是 　 　km，从厦门到香港坐高铁最快约4小时可到达。 三．判断题（共7小题） 15．如果（a、b、c都不为0），那么a：c＝13：17。 　 　 16．a：b＝2：5，那么a一定等于2　 　． 17．如果5x＝9y（x，y≠0），那么x：y＝5：9。 　 　 18．、、16和8这四个数可以组成比例。 　 　 19．在比例尺是1：20的图纸上画出一种机械配件平面图的角是40°，这个角实际上也是40°。 　 　 20．一幅图纸的比例尺是3：1，表示绘图时把零件的尺寸缩小到原来的。 　 　 21．一张精密零件图纸上的比例尺是5：1，如果在图纸上量得长2.5mm，那么它表示实际距离12.5mm．　 　 四．计算题（共1小题） 22．解方程。 8x﹣5.1x＝2.9 （0.4+x）×3＝2.7 五．应用题（共22小题） 23．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点。在一幅比例尺为1：8000000的地图上约长88厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 24．如图是小明坐出租车去展览馆的路线图．已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，以后每增加1千米车费就增加1.4元．请你按图中提供的信息算一算，小明完成这次参观（单程）一共要花多少元出租车费？ 25．中国66号公路，又称为草原天路，公路沿线景观奇峻，是中国十大最美公路之一，限速30千米/时。在一幅比例尺为千米的地图上，量得这条公路的长度是3.3厘米。甲、乙两辆车分别从公路两端同时相对开出，经过4小时相遇。已知甲、乙两辆车的速度比为4：7，甲、乙两车每小时分别行驶多少千米？ 26．小玲一家周末乘车去“一根火柴点亮中国”的罗福嶂会议学习园接受红色熏陶，已知在比例尺是1：3000000的地图上，量得寻乌县城到罗福嶂会议学习园的距离是2.6cm，汽车平均速度是60千米/时，几小时可以到达目的地？ 27．在比例尺是的地图上，量得两地距离是14厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是2：3，相遇时甲车行驶了多少千米？ 28．琳琳在比例尺是1：20000的图纸上，量得一块长方形花圃的长是3厘米，宽是2厘米，这块长方形花圃的实际面积是多少公顷？ 29．在一幅比例尺为1：3000000的地图上，量得A、B两地的距离为18厘米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。已知甲车的速度是乙车的，则甲、乙两车的速度各是多少？ 30．2022年冬奥会在北京、张家口和延庆举行，京张高铁为冬奥会提供交通运营服务保障。在一幅比例尺是1：300000的宣传画上，量得北京和张家口两地的距离约是58cm。一列火车从北京开往张家口，已经行了全程的，再行多少千米就可以到张家口？ 31．一幢教学楼的地基是长方形，在比例尺是1：1000的图纸上，量得它的长是10cm，宽是3.5cm。这幢教学楼实际占地多少平方米？ 32．磁悬浮列车的时速可达600千米，是当今世界最先进的轨道交通技术。据广州市政府办公室发布，广州正谋划建设与其它超大城市间高速磁悬浮通道。在一幅比例尺为1：2300000的磁悬浮规划铁路图上，量得广州到长沙的铁路长度是30cm，该通道建成后，乘坐高速磁悬浮列车从广州到长沙，几小时可以到达？ 33．在一幅1：20000000的地图上，量得甲、乙两个机场的距离是13厘米。一架飞机以每时650千米的速度从甲机场飞往乙机场，需要飞行几时？ 34．一栋教学楼的平面图上，量得楼长25厘米，宽10.5厘米，已知比例尺是1：200，这栋教学楼的实际面积是多少平方米？ 35．体育场要修建一个长方体游泳池，在比例尺是1：200的图纸上，水池的长为25cm，宽为15cm，深为1cm。按图施工这个水池的容积是多少m3？ 36．端午假期，凡凡计划从兰州站乘坐出租车到甘肃科技馆参观。她在一幅比例尺是1：500000的甘肃市地图上，量得两地之间的路程是3.5厘米，凡凡乘坐出租车需要付多少钱？ 出租车收费标准 3千米以内（含3千米）10元，超过3千米的部分，每千米1.4元。（不足1千米按1千米计算） 37．一辆汽车以40km/时的速度从甲地开往乙地，4.5小时到达乙地。如果在比例尺1：300000的地图上，让一只蜗牛从甲地爬到乙地，这只蜗牛平均每分钟爬行12厘米，它需要爬行多少分钟能到达乙地？ 38．在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两地相距24cm。两列火车同时从A、B两地相对开出。甲车每小时行55千米，比乙车每小时慢10千米，几小时后两列火车相遇？ 39．在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲乙两城的距离是12厘米。一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两城相对开出，4小时后相遇。已知货车的速度和客车速度的比是2：3，客车每小时行多少千米？ 40．实际应用。 在比例尺是1：3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2厘米，现一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，货车在前客车在后同向而行，经过4小时客车追上货车。若客车的速度是55千米/时，则货车的速度是多少？ 41．在比例尺1：6000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是8厘米，A、B两辆汽车同时从两地出发，相向而行，4小时后相遇。已知两车的速度比是8：7，两车的速度各是多少？ 42．在一幅比例尺是1：6000000的地图上，量得两个城市的距离是4.5厘米。这两个城市之间的实际距离是多少千米？ 43．在一幅比例尺是1：2000000的地图上量得甲乙两地距离是24cm，一辆货车和一辆客车同时从甲乙两地相对开出，3小时后两车相遇，已知货车和客车的速度比是7：9。甲乙两地实际相距多少千米？客车每小时行驶多少千米？ 44．截至2022年2月6日，我国已与148个国家、32个国际组织签署200多份共建“一带一路”合作文件。其中非洲国家有51个，亚洲国家有38个，欧洲国家有27个，大洋洲国家有11个，南美洲国家有9个，北美洲国家有12个。 （1）已与中国签署“一带一路”合作文件的国家中，亚洲的国家数量比非洲的国家数量少百分之几？（百分号前保留一位小数） （2）在一幅比例尺为1：20000000的地图上，“一带一路”沿线有两个国家的图上距离是30厘米。这两个国家实际距离是多少千米？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．一张精密零件图纸的比例尺是20：1，在图纸上量得零件长是8厘米，这个零件实际长是（　　）厘米。 A．2.5 B．160 C．0.4 【答案】C 【分析】要求这个零件实际长多少厘米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可。 【解答】解：80.4（厘米） 答：这个零件实际长是0.4厘米。 故选：C。 【点评】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。 2．一幅地图的比例尺是千米，把它改成数字比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图上距离和实际距离已知，依据比例尺的意义，即“比例尺＝图上距离：实际距离”即可将线段比例尺改为数值比例尺。 【解答】解：由题意可知：此线段比例尺是指图上距离1厘米表示实际距离20千米， 因为20千米＝2000000厘米 则改成数值比例尺为： 1厘米：2000000厘米＝1：2000000 答：把它改成数字比例尺是。 故选：C。 【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算。 3．A地到B地的距离是420千米，如果画在比例尺是的地图上，应画（　　）长。 A．8.4厘米 B．8.4千米 C．4.2厘米 D．4.2千米 【答案】A 【分析】线段比例尺表示图上距离1cm等于实际距离50km，用实际千米数除以50即可求出图上距离多少厘米。 【解答】解：420÷50＝8.4（cm） 答：应画8.4cm长。 故选：A。 【点评】解答此题的关键是掌握比例尺的相关公式。 4．学校的操场是一个长方形，长是90米，宽是60米，小聪想把它画在练习本上，比较合适的比例尺是（　　） A．1：100 B．1：1000 C．1：10000 D．1：1 【答案】B 【分析】实际距离和比例尺已知，依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出操场的长和宽的图上距离，再与练习本的实际长度比较即可选出合适的答案。 【解答】解：因为90米＝9000厘米，60米＝6000厘米， 选项A.900090厘米，6000厘米60（厘米），画在练习本上，尺寸过大，不符合实际情况，故不合适； 选项B.90009（厘米），60006（厘米），画在练习本上比较合适； 选项C.90000.9（厘米），60000.6（厘米），画在练习本上太小，故不合适； 选项D.90009000（厘米），60006000（厘米），画在练习本上，尺寸太大，不符合实际情况，故不合适。 故选：B。 【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意结合实际情况。 5．若图上距离6厘米，表示实际距离240千米，则这幅图的比例尺是（　　） A．1：400 B．1：4000 C．1：400000 D．1：4000000 【答案】D 【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺。 【解答】解：240千米＝24000000厘米 6：24000000＝1：4000000 答：这幅图的比例尺是1：4000000。 故选：D。 【点评】考查了比例尺的概念，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一。 6．在一个比例中，两个外项正好互为倒数，已知一个内项是，则另一个内项是（　　） A．3 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，两个外项正好互为倒数，即它们的乘积为1；据此可得两个内项的乘积也应该是1，它们也应该成互为倒数的关系。 【解答】解：的倒数是。 答：另一个内项是。 故选：D。 【点评】本题考查了比例的基本性质，即两个外项的乘积等于两个内项的乘积。 二．填空题（共8小题） 7．在比例尺为40：1的图纸上，量得一个零件的长为20厘米，这个零件的实际长度为 　0.5　厘米。 【答案】0.5。 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，代入数据解答即可。 【解答】解：200.5（厘米） 答：这种零件的实际长度为0.5厘米。 故答案为：0.5。 【点评】熟练掌握比例尺、图上距离、实际距离三者间的关系是解题的关键。 8．如果6A＝7B（A、B均不为0），那么A：B＝　7　：　6　。 【答案】7：6。 【分析】比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，据此把6A和7B当做比例的两内项积或两外项积，然后乘积式改为比例式即可。 【解答】解：因为6A＝7B（A、B均不为0），所以A：B＝7：6。 故答案为：7：6。 【点评】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。 9．在一个比例中，两个外项的积是0.6，其中一个内项是3，另一个内项是 　0.2　。 【答案】0.2。 【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，设另一个内项是x，据此列比例解答。 【解答】解：设另一个内项是x。 3x＝0.6 3x÷3＝0.6÷3 x＝0.2 答：另一个内项是0.2。 故答案为：0.2。 【点评】此题主要考查比例基本性质的灵活应用，列方程解决问题的方法及应用。 10．根据0.6×9＝0.3×18写出两个不同的比例是　0.6：0.3＝18：9　和　0.3：0.6＝9：18　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据比例的性质，把所给的等式18×3＝6×9改写成比例的形式，如果使18和3做比例的两个外项或内项，那么6和9就做比例的两个内项或外项．据此解答． 【解答】解：因为0.6×9＝0.3×18， 所以0.6：0.3＝18：9或0.3：0.6＝9：18． 故答案为：0.6：0.3＝18：9，0.3：0.6＝9：18． 【点评】解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项；此题答案不唯一，只要符合题意即可． 11．地面15km的距离画在地图上为3cm，这幅地图的比例尺是 　1：500000　。在比例尺1：20000的地图上，图上5cm表示实际长度 　1000　m。 【答案】1：500000，1000。 【分析】根据比例尺的公式；比例尺＝图上距离；实际距离，据此求出；根据比例尺的公式可知；实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出。 【解答】解：15千米＝1500000厘米 3：1500000＝1：500000 5100000（厘米） 100000厘米＝1000米 答：这幅地图的比例尺是1：500000，在比例尺1：20000的地图上，图上5cm表示实际长度1000m。 故答案为：1：500000，1000。 【点评】本题主要考查比例尺的应用，注意实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺。 12．在一张地图上，量得A、B两地的距离是3.2cm，C、D两地的距离是8cm，A、B两地的实际距离是50km，这张地图的比例尺是 　1：1562500　，C、D两地的实际距离是 　125　km。 【答案】1：1562500，125。 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比；根据实际距离＝图上距离÷比例尺计算即可。 【解答】解：50千米＝5000000厘米 3.2：5000000＝1：1562500 812500000（厘米） 12500000厘米＝125千米 答：这张地图的比例尺是1：1562500，C、D两地的实际距离是125km。 故答案为：1：1562500，125。 【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一，用到实际距离、图上距离和比例尺的关系。 13．从24的因数中，找出两个奇数和两个偶数，组成一个比例　3：1＝6：2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先列举出24的因数，然后根据奇数和偶数的意义，结合题意选出两个奇数和两个偶数，组成一个比例式即可． 【解答】解：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 选出两个奇数和偶数，组成一个比例式为： 3：1＝6：2（答案不唯一）； 故答案为：3：1＝6：2（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了奇数和偶数的意义及比例的意义． 14．在一幅比例尺是1：2500000的地图上，量得厦门到香港的距离是25cm，厦门到香港的实际距离约是 　625　km，从厦门到香港坐高铁最快约4小时可到达。 【答案】625。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可解答。 【解答】解：2562500000（厘米） 62500000厘米＝625千米 答：厦门到香港的实际离约是625km。 故答案为：625。 【点评】本题考查的是比例尺应用题，掌握实际距离＝图上距离÷比例尺是解答关键。 三．判断题（共7小题） 15．如果（a、b、c都不为0），那么a：c＝13：17。 　√　 【答案】√ 【分析】根据比例的基本性质进行解答即可。 【解答】解：（a、b、c都不为0）， 17a＝13c a：c＝13：17，故原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题考查比例的基本性质。掌握比例的基本性质是解答的关键。比例的基本性质：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积。 16．a：b＝2：5，那么a一定等于2　×　． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以举例说明：如4：10＝2：5、20：50＝2：5等，据此即可判断． 【解答】解：因为4：10＝2：5、20：50＝2：5， 所以a一定等于2，说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题考查了比的意义，此类问题可以利用举反例的方法解答． 17．如果5x＝9y（x，y≠0），那么x：y＝5：9。 　×　 【答案】× 【分析】逆用比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积），据此解答即可。 【解答】解：5x＝9y，x：y＝9：5，原题干说法错误。 故答案为：×。 【点评】解答此题要运用比例的基本性质。 18．、、16和8这四个数可以组成比例。 　×　 【答案】× 【分析】根据比例的基本性质，如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数就能组成一个比例；据此用最小的数乘最大的数、中间的两个数相乘，如果它们的积相等，就能组成比例，否则不能组成比例。 【解答】解： 所以、、16、8这四个数不能组成比例。 原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用。 19．在比例尺是1：20的图纸上画出一种机械配件平面图的角是40°，这个角实际上也是40°。 　√　 【答案】√ 【分析】根据图形的放大、缩小的知识可知，图形放大或缩小后，只改变图形的大小，不改变图形的形状。据此判断。 【解答】解：在比例尺是1：20的图纸上画出一种机械配件平面图的角是40°，这个角实际上也是40°。 原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】熟练掌握图形的放大与缩小的特征是解题的关键。 20．一幅图纸的比例尺是3：1，表示绘图时把零件的尺寸缩小到原来的。 　×　 【答案】× 【分析】图上距离：实际距离＝比例尺，由此可知，比例尺的前项表示图上距离，后项表示实际距离，据此分析。 【解答】解：一幅图纸的比例尺是3：1，表示绘图时把零件的尺寸扩大到原来的3倍，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】熟练掌握比例尺的定义，是解答此题的关键。 21．一张精密零件图纸上的比例尺是5：1，如果在图纸上量得长2.5mm，那么它表示实际距离12.5mm．　×　 【答案】见试题解答内容 【分析】要求这个零件实际长，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可． 【解答】解：2.50.5（毫米） 答：这个零件实际长0.5毫米． 故答案为：×． 【点评】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 四．计算题（共1小题） 22．解方程。 8x﹣5.1x＝2.9 （0.4+x）×3＝2.7 【答案】x；x＝1；x＝0.5。 【分析】第一题：根据比例的基本性质将比例式写成方程的形式，再解方程即可； 第二题：先将方程左边化简，然后在方程两边同时除以（8﹣5.1）的差即可求出解； 第三题：先在方程两边同时除以3，然后在方程两边同时减0.4即可求出解。 【解答】解： x x x 8x﹣5.1x＝2.9 2.9x＝2.9 x＝2.9÷2.9 x＝1 （0.4+x）×3＝2.7 0.4+x＝2.7÷3 0.4+x＝0.9 x＝0.9﹣0.4 x＝0.5 【点评】此题考查解方程和解比例。掌握比例的基本性质和熟练运用等式的性质是解答的关键。 五．应用题（共22小题） 23．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点。在一幅比例尺为1：8000000的地图上约长88厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 【答案】7040千米。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可解答。 【解答】解：88704000000（厘米） 704000000厘米＝7040千米 答：传统的丝绸之路实际全长约为7040千米。 【点评】解答此题的主要依据是：图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 24．如图是小明坐出租车去展览馆的路线图．已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算，以后每增加1千米车费就增加1.4元．请你按图中提供的信息算一算，小明完成这次参观（单程）一共要花多少元出租车费？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出小明家到展览馆的实际距离，再根据分段计费的方法解答即可． 【解答】解：（4+8） ＝12×250000 ＝3000000（厘米） 3000000厘米＝30千米 8+1.4×（30﹣3） ＝8+1.4×27 ＝8+37.8 ＝45.8（元） 答：小明完成这次参观（单程）一共要花45.8元出租车费． 【点评】此题主要考查比例尺的意义及已知比例尺和图上距离求实际距离．注意单位的换算． 25．中国66号公路，又称为草原天路，公路沿线景观奇峻，是中国十大最美公路之一，限速30千米/时。在一幅比例尺为千米的地图上，量得这条公路的长度是3.3厘米。甲、乙两辆车分别从公路两端同时相对开出，经过4小时相遇。已知甲、乙两辆车的速度比为4：7，甲、乙两车每小时分别行驶多少千米？ 【答案】12千米；21千米。 【分析】用图上1厘米表示实际的路程乘3.3，即可计算出这条公路的实际长度，再根据速度和＝路程÷相遇时间，计算出两车每小时行的路程和，最后根据按比例分配问题的解题方法，计算出甲、乙两车每小时分别行驶多少千米。 【解答】解：40×3.3÷4 ＝132÷4 ＝33（千米） 4+7＝11 3312（千米） 3321（千米） 答：甲车每小时行驶12千米，乙车每小时行驶21千米。 【点评】本题解题的关键是熟练掌握比例尺问题，相遇问题和按比例分配问题的解题方法。 26．小玲一家周末乘车去“一根火柴点亮中国”的罗福嶂会议学习园接受红色熏陶，已知在比例尺是1：3000000的地图上，量得寻乌县城到罗福嶂会议学习园的距离是2.6cm，汽车平均速度是60千米/时，几小时可以到达目的地？ 【答案】1.3小时。 【分析】已知比例尺和图上距离求实际距离，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出实际距离，再根据路程÷速度＝时间，列式解答。 【解答】解：2.67800000（厘米） 7800000厘米＝78千米 78÷60＝1.3（小时） 答：1.3小时可以到达目的地。 【点评】此题主要考查比例尺的意义及已知比例尺和图上距离求实际距离，注意单位的换算。 27．在比例尺是的地图上，量得两地距离是14厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是2：3，相遇时甲车行驶了多少千米？ 【答案】168千米。 【分析】先根据比例尺求得实际距离。因为是相遇问题，速度的比即路程的比；即相遇时，甲车行了全程的，由此根据一个数乘分数的意义，用乘法求出甲车的路程。 【解答】解：30千米＝3000000厘米 1442000000（厘米） 42000000厘米＝420千米 420168（千米） 答：相遇时甲车行驶了168千米。 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式，先求出实际距离，进而解决问题。 28．琳琳在比例尺是1：20000的图纸上，量得一块长方形花圃的长是3厘米，宽是2厘米，这块长方形花圃的实际面积是多少公顷？ 【答案】24公顷。 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积S＝ab，即可求出实际面积。 【解答】解：360000（厘米） 60000厘米＝600米 240000（厘米） 40000厘米＝400米 600×400＝240000（平方米） 240000平方米＝24公顷 答：这块长方形花圃的实际面积是24公顷。 【点评】此题主要考查长方形的面积的计算方法以及图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 29．在一幅比例尺为1：3000000的地图上，量得A、B两地的距离为18厘米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。已知甲车的速度是乙车的，则甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】80千米/时、100千米/时。 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求这两地的实际距离，再根据“速度＝路程÷时间”即可求出甲、乙两车的速度和，再把甲、乙两车的速度和平均分成（4+5）份，先用除法求出1份是多少，再用乘法计算即可得两车的速度是多少。 【解答】解：18×3000000＝54000000（厘米） 54000000厘米＝540千米 540÷3＝180（千米/时） 甲车：180÷（4+5）×4 ＝180÷9×4 ＝80（千米/时） 乙车：180÷（4+5）×5 ＝180÷9×5 ＝100（千米/时） 答：甲车的速度是80千米/时、乙车的速度是100千米/时。 【点评】解答此题的关键是根据比例尺、图上距离、实际距离之间的关系求出两地的实际距离，然后再根据路程、速度、时间三者之间的关系解答。 30．2022年冬奥会在北京、张家口和延庆举行，京张高铁为冬奥会提供交通运营服务保障。在一幅比例尺是1：300000的宣传画上，量得北京和张家口两地的距离约是58cm。一列火车从北京开往张家口，已经行了全程的，再行多少千米就可以到张家口？ 【答案】116千米。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可计算出北京开往张家口的路程，再根据分数乘法的意义，用北京开往张家口的路程乘（1），即可计算出再行多少千米就可以到张家口。 【解答】解：5817400000（厘米）＝174（千米） 174 ＝174 ＝116（千米） 答：再行116千米就可以到张家口。 【点评】本题解题的关键是根据实际距离＝图上距离÷比例尺和分数乘法的意义，列式计算。 31．一幢教学楼的地基是长方形，在比例尺是1：1000的图纸上，量得它的长是10cm，宽是3.5cm。这幢教学楼实际占地多少平方米？ 【答案】3500平方米。 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出实际的长和宽。再根据长方形的面积＝长×宽，即可求得占地面积。 【解答】解：1010000（厘米） 10000厘米＝100米 3.53500（厘米） 3500厘米＝35米 100×35＝3500（平方米） 答：这幢教学楼实际占地3500平方米。 【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，求出实际的长和宽。 32．磁悬浮列车的时速可达600千米，是当今世界最先进的轨道交通技术。据广州市政府办公室发布，广州正谋划建设与其它超大城市间高速磁悬浮通道。在一幅比例尺为1：2300000的磁悬浮规划铁路图上，量得广州到长沙的铁路长度是30cm，该通道建成后，乘坐高速磁悬浮列车从广州到长沙，几小时可以到达？ 【答案】1.15小时。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际距离，再根据路程÷速度＝时间，求出从广州到长沙所用的时间即可解答。 【解答】解：3069000000（厘米） 69000000厘米＝690千米 690÷600＝1.15（小时） 答：1.15小时可以到达。 【点评】掌握实际距离、图上距离、比例尺三者间的关系以及路程、速度、时间的关系是解题的关键。 33．在一幅1：20000000的地图上，量得甲、乙两个机场的距离是13厘米。一架飞机以每时650千米的速度从甲机场飞往乙机场，需要飞行几时？ 【答案】4时。 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，再根据1千米＝100000厘米，路程÷速度＝时间进行计算。 【解答】解：13260000000（厘米） 650千米＝65000000厘米 260000000÷65000000＝4（小时） 答：需要飞行小4时。 【点评】本题考查的主要内容是比例尺的应用问题。 34．一栋教学楼的平面图上，量得楼长25厘米，宽10.5厘米，已知比例尺是1：200，这栋教学楼的实际面积是多少平方米？ 【答案】1050平方米。 【分析】根据图上距离：实际距离＝比例尺，实际距离相当于除法算式中的除数，按数量关系（除数＝被除数÷商）用图上距离除以比例尺算出实际距离，再换算成米作单位，最后再算出面积即可。 【解答】解：25 ＝5000（厘米）＝50（米） 10.5 ＝2100（厘米）＝21（米） 50×21＝1050（平方米） 答：这栋教学楼的实际面积是1050平方米。 【点评】本题考查了比例尺的意义及相关计算问题，解答时一定要清楚比例尺的意义，以及相互之间的数量关系。 35．体育场要修建一个长方体游泳池，在比例尺是1：200的图纸上，水池的长为25cm，宽为15cm，深为1cm。按图施工这个水池的容积是多少m3？ 【答案】3000m3。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出水池的实际长、宽和高；再根据长方体体积＝长×宽×高，求出水池的容积。 【解答】解：255000（厘米） 5000厘米＝50米 153000（厘米） 3000厘米＝30米 1200（厘米） 200厘米＝2米 50×30×2＝3000（立方米） 答：按图施工这个水池的容积是3000m3。 【点评】掌握比例尺的应用和长方体的体积公式是解题的关键。 36．端午假期，凡凡计划从兰州站乘坐出租车到甘肃科技馆参观。她在一幅比例尺是1：500000的甘肃市地图上，量得两地之间的路程是3.5厘米，凡凡乘坐出租车需要付多少钱？ 出租车收费标准 3千米以内（含3千米）10元，超过3千米的部分，每千米1.4元。（不足1千米按1千米计算） 【答案】31元。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求两地之间的实际距离；再用求出的路程减去3千米，求出超出部分的距路程，乘超出部分的单价，即可求出超出部分的费用，再加上3千米以内的费用10元，即可求出要付的钱数。 【解答】解：3.51750000（厘米） 1750000厘米＝17.5千米 17.5﹣3＝14.5（千米） 14.5千米≈15千米 1.4×15+10 ＝21+10 ＝31（元） 答：凡凡乘坐出租车需要付31元钱。 【点评】此题考查了图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，利用“分段计费法”解决实际问题，注意计算的准确性。 37．一辆汽车以40km/时的速度从甲地开往乙地，4.5小时到达乙地。如果在比例尺1：300000的地图上，让一只蜗牛从甲地爬到乙地，这只蜗牛平均每分钟爬行12厘米，它需要爬行多少分钟能到达乙地？ 【答案】5分钟。 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，算出图上距离，再除以蜗牛的速度即可。 【解答】解：4.5×40＝180（千米） 180千米＝18000000厘米 1800000060（厘米） 60÷12＝5（分钟） 答：它需要爬行5分钟能到达乙地。 【点评】熟练掌握比例尺公式，是解答此题的关键。 38．在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两地相距24cm。两列火车同时从A、B两地相对开出。甲车每小时行55千米，比乙车每小时慢10千米，几小时后两列火车相遇？ 【答案】8小时。 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，先求出甲、乙两地的路程；然后根据“路程÷速度之和＝相遇时间”，解答即可。 【解答】解：2496000000（厘米） 96000000厘米＝960千米 960÷（55+10+55） ＝960÷120 ＝8（小时） 答：8小时后两车才能相遇。 【点评】此题属于比例尺的实际应用和相遇问题，首先根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出实际距离，再根据路程÷速度和＝相遇时间，解决问题。 39．在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲乙两城的距离是12厘米。一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两城相对开出，4小时后相遇。已知货车的速度和客车速度的比是2：3，客车每小时行多少千米？ 【答案】90千米。 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际距离，再利用“速度和＝总路程÷相遇时间”求出货车与客车的速度和，客车速度占两车速度和的，最后根据比的应用求出客车的速度。 【解答】解：1260000000（厘米） 60000000厘米＝600千米 600÷415090（千米） 答：客车每小时行90千米。 【点评】掌握图上距离与实际距离换算的方法和按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 40．实际应用。 在比例尺是1：3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2厘米，现一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，货车在前客车在后同向而行，经过4小时客车追上货车。若客车的速度是55千米/时，则货车的速度是多少？ 【答案】40千米/时。 【分析】图上距离：比例尺＝实际距离。 根据路程＝速度×时间，求出客车行驶的路程，用客车行驶的路程﹣甲、乙两地的距离＝货车行驶的路程，再根据速度＝路程÷时间，即可求出货车的速度。 【解答】解：260（千米） （55×4﹣60）÷4 ＝（220﹣60）÷4 ＝160÷4 ＝40（千米/时） 答：货车的速度是40千米/时。 【点评】本题考查了此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及路程、速度、时间之间的基本的数量关系。 41．在比例尺1：6000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是8厘米，A、B两辆汽车同时从两地出发，相向而行，4小时后相遇。已知两车的速度比是8：7，两车的速度各是多少？ 【答案】64千米/时，56千米/时。 【分析】先依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”求出两地的实际距离，再据“路程÷相遇时间＝速度和”求出二者的速度和，进而依据按比例分配的方法，即可得解。 【解答】解：848000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 480÷4＝120（千米） 12064（千米/时） 120﹣64＝56（千米/时） 答：甲车的速度是64千米/时，乙车的速度是56千米/时。 【点评】此题主要考查比例尺问题在实际生活中的应用。 42．在一幅比例尺是1：6000000的地图上，量得两个城市的距离是4.5厘米。这两个城市之间的实际距离是多少千米？ 【答案】270千米。 【分析】已知一幅地图的比例尺和两个城市的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，即可求出这两个城市之间的实际距离。 【解答】解：4.5 ＝4.5×6000000 ＝27000000（厘米） 27000000厘米＝270千米 答：这两个城市之间的实际距离是270千米。 【点评】本题考查的是比例尺应用题，掌握实际距离＝图上距离÷比例尺是解答关键。 43．在一幅比例尺是1：2000000的地图上量得甲乙两地距离是24cm，一辆货车和一辆客车同时从甲乙两地相对开出，3小时后两车相遇，已知货车和客车的速度比是7：9。甲乙两地实际相距多少千米？客车每小时行驶多少千米？ 【答案】480千米；90千米。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出甲乙两地的实际距离；根据路程÷时间＝速度和求出速度和，已知货车和客车的速度比是7：9，根据按比例分配的方法，用速度和除以份数和，求出1份是多少，再乘9就是客车的速度。 【解答】解：2448000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 480÷3＝160（千米） 160÷（7+9）×9 ＝160÷16×9 ＝10×9 ＝90（千米） 答：甲乙两地实际相距480千米，客车每小时行驶90千米。 【点评】熟练掌握比例尺的意义以及按比例分配的方法是解题的关键。 44．截至2022年2月6日，我国已与148个国家、32个国际组织签署200多份共建“一带一路”合作文件。其中非洲国家有51个，亚洲国家有38个，欧洲国家有27个，大洋洲国家有11个，南美洲国家有9个，北美洲国家有12个。 （1）已与中国签署“一带一路”合作文件的国家中，亚洲的国家数量比非洲的国家数量少百分之几？（百分号前保留一位小数） （2）在一幅比例尺为1：20000000的地图上，“一带一路”沿线有两个国家的图上距离是30厘米。这两个国家实际距离是多少千米？ 【答案】（1）25.5%；（2）600千米。 【分析】（1）用非洲的国家数量与亚洲的国家数量的差除以非洲的国家数量，将商化成百分数并保留两位小数即可。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺计算即可。 【解答】解：（1）（51﹣38）÷51 ＝13÷51 ≈25.5% 答：亚洲的国家数量比非洲的国家数量少25.5%。 （2）3060000000（厘米） 60000000厘米＝600千米 答：这两个国家实际距离是600千米。 【点评】本题主要考查了百分数的实际应用，比例尺应用题，熟练掌握求一个数比另一个数少百分之几的计算方法，已知比例尺和图上距离求实际距离的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$