九年级数学开学摸底考（湖南省专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B B C C A D D D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12．72 13．2024 14．2 15．20 16．且 17.6 18. ①④ 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分） 【详解】试题分析：（1）第一、二项按照特殊角的三角函数解答，第三项非零数的零次方等于1；（2）先把-2移到右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式，然后开平方即可.. （1）原式== （2）配方得：   直接开平方得：. 20．（本题6分） 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 21．（本题8分） 【详解】解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B， ∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形， ∴AE=CE， ∵AC=，即， 解得：AE=CE=3， 在y=x+1中，令y=0，则x=-1， ∴A（-1，0）， ∴OE=2，CE=3， ∴C（2，3）， ∴k=2×3=6， ∴反比例函数表达式为： ； （2）联立：， 解得：x=2或-3， 当x=-3时，y=-2， ∴点D的坐标为（-3，-2）， ∴S△CDE==． 22．（本题8分） 【详解】（1）解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 23．（本题9分） 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴ ，即， 解得； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 24．（本题9分） 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∵活动杆处于水平状态， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ， 在中，， ∴ （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点， 解：由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为． 25．（本题10分） 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∵，     ∴． ∵， ∴． （2）解：∵是的直径， ∴， ∵在中，， ∴设，则， ∴ 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 26．（本题10分） 【详解】(1)∵AB是⊙M的切线，D是切点， ∴MD⊥AB， ∴∠MDA＝90°＝∠AOB. 又∵∠MAD＝∠BAO， ∴△ADM∽△AOB. (2)设M(0，m)，由直线y＝－2x＋12得OA＝12，OB＝6，则AM＝12－m，而DM＝2， 在Rt△AOB中，AB＝.， ∵△ADM∽△AOB， ∴， 即， 解得m＝2， ∴M(0，2)． 设顶点坐标为的抛物线的函数表达式为y＝a2＋，将点M的坐标代入，得a2＋＝2，解得a＝－2， ∴抛物线的函数表达式为y＝－22＋； (3)存在．①当顶点M为直角顶点时，M，P两点关于抛物线的对称轴直线x＝－对称，此时MP＝5，AM＝12－2＝10，AM&amp;#xE79B;MP＝2：1，符合题意，此时点P的坐标为(－5，2)； ②当顶点A为直角顶点时，点P的纵坐标为12，代入抛物线表达式，得－22＋＝12，解得x＝－，此时AP＝，AM＝10，不符合题意； ③当顶点P′为直角顶点时，则由相似三角形的性质可设P′的坐标为(n，－2n＋2)或(－2m，m＋2)．若P′(n，－2n＋2)，则－2n－n＝10，解得n＝－4；当x＝－4时，y＝－2×＋＝10，－2n＋2＝10，符合题意； 若P′(－2m，m＋2)，则4m+m＝10，解得m－2，当x＝－2m＝－4时，y＝－2×＋＝10，m＋2＝4，不符合题意． 综上所述，符合条件的点P的坐标为(－5，2)，(－4，10)． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别，，，，这四个旅游团中年龄相近的旅游团是（    ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 4．若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（） A． B． C． D． 5．如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 7．如图，在中，，以为直径的与分别交于点，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为弧AN上一点，且弧AC=弧AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论： ①AD=BD；②∠MAN=90°；③弧AM=弧BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF， 其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（   ） ①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．已知，则 ． 12．为了了解某校九年级学生的身体素质情况，在该校九年级随机抽取50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出频数分布直方图（如图，每组数据可含最小值，不含最大值），如果在一分钟内跳绳次数少于120次的为不合格，那么可以估计该校九年级300名学生中跳绳不合格的人数为 . 13．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 14．如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为 ． 15．小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为 米． 16．规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 17．如图，与相交于点，点在上，且，若 ，，则的长为 . 18．如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（请填上所有正确结论的序号）    三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 22．（本题8分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 23．（本题9分）如图，在中，与的延长线交于点，与、分别相交于点、． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 24．（本题9分）如图是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑架．已知． (1)如图1，当活动杆处于水平状态时，求：的值； (2)如图2，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取） 25．（本题10分）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 26．（本题10分）如图，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD. (1)求证：△ADM∽△AOB. (2)如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以点为顶点，且过点M的抛物线的函数表达式． (3)在(2)的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：A．方程含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．化简后得，是一元一次方程，故本选项不符合题意； C．是分式方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，得出相应视图的形状是正确判断的前提．根据简单组合体三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，共三层，底层是三个小正方形，中间是一个小正方形，上面也是一个小正方形． 故选：B 3．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别，，，，这四个旅游团中年龄相近的旅游团是（    ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 【答案】B 【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】∵s=6，S=1.8，s=5，S=8， ∴1.8<5<6<8 ∴s最小， ∴这四个旅游团中年龄相近的旅游团是：乙团． 故选：B． 【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4．若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大， 点都在反比例函数的图象上，且， 故选：B． 5．如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 如图：由题意可得，，，根据平行线等分线段定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图： 由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得，， ∵d、r是方程的两个根， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：C ． 7．如图，在中，，以为直径的与分别交于点，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理列出方程是解题的关键． 设小道的宽为米，则个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 9．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为弧AN上一点，且弧AC=弧AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论： ①AD=BD；②∠MAN=90°；③弧AM=弧BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF， 其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据AB⊥MN,垂径定理得出①③正确,利用MN是直径得出②正确, ,得出④正确,结合②④得出⑤正确即可. 【详解】∵MN是⊙O的直径,AB⊥MN, ∴AD=BD,,∠MAN=90〬.(①②③正确) ∵, ∴, ∴∠ACM+∠ANM=∠MOB(④正确) ∵∠MAE=∠AME, ∴AE=ME, ∠EAF=∠AFM, ∴AE=EF, ∴.(⑤正确). 正确的结论共5个. 所以D选项是正确的. 故选D 【点睛】此题考查圆周角定理,垂径定理,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识. 10．抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（   ） ①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出的符号，即可判断①；由时，，即可判断②；画出函数的图象，根据图象可判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴时，， 即， ∴，故②正确； 由方程得，， 画函数的图象如下， 由图象可知，直线与抛物线相交于两点，交点横坐标满足，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为 ，，且， ∴点在对称轴右侧， 当时, 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵, ∴， 又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大， ∴， ∴图象上有两点和，若，且，则一定有， 故④正确； ∴结论正确的有个， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．已知，则 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查比例的性质、分式的化简，由题意得到，代入式子即可化简解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．为了了解某校九年级学生的身体素质情况，在该校九年级随机抽取50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出频数分布直方图（如图，每组数据可含最小值，不含最大值），如果在一分钟内跳绳次数少于120次的为不合格，那么可以估计该校九年级300名学生中跳绳不合格的人数为 . 【答案】72 【详解】【分析】首先应先求出一分钟内跳绳次数少于120次的学生人数，进而求出这50名同学不及格的频率，在用样本估计总体的方法求出该校九年级300名学生中跳绳不合格的人数即可解答． 【详解】由频数分布直方图可知，这50名同学中不及格的学生数为4+8=12， 频率为12÷50=0.24， 该校九年级300名学生中跳绳不合格的人数约有300×0.24=72， 故答案为72． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是读懂频数分布直方图，从中获取必要的信息．本题用到的知识点是：频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比． 13．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 14．如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】2 【分析】设A点坐标为，C点坐标为，求出B点坐标为，根据B点在上可得，整理得，再根据三角形面积公式得可得k的值． 【详解】解：设A点坐标为，C点坐标为， 恰为的中点， 点的坐标为， 点在的图象上， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式． 15．小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为 米． 【答案】20 【分析】作DH⊥AB于H，根据正切的概念分别求出AB、AH，计算即可． 【详解】作DH⊥AB于H， 则DH=BC=30， 在Rt△ADH中，AH=DH×tanα=10 ， 在Rt△ABC中，AB= =30 ， 则CD=AB﹣AH=20 （米）， 故答案为20 ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 16．规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式． 根据新定义得到，由于有两个不相等的实数根，则，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 化简得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 17．如图，与相交于点，点在上，且，若 ，，则的长为 . 【答案】 【分析】证明、，得到，代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 18．如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（请填上所有正确结论的序号）    【答案】①④ 【分析】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①，再利用三角形等积法AD×DF÷AF可算出DG，可判断②；再证明∠HDF=∠HFD=∠BAG，求出AG，DH，HF，可判定，可判断④；通过AB≠AG，得到∠ABG和∠AGB不相等，则∠AGB≠∠DHF，可判断③. 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD， ∵E和F分别为BC和CD中点， ∴DF=EC=2， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC， ∵∠EDC+∠DEC=90°， ∴∠EDC+∠AFD =90°， ∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确； ∵AD=4，DF=CD=2， ∴AF=， ∴DG=AD×DF÷AF=，故②错误； ∵H为AF中点， ∴HD=HF=AF=， ∴∠HDF=∠HFD， ∵AB∥DC， ∴∠HDF=∠HFD=∠BAG， ∵AG=，AB=4， ∴， ∴，故④正确； ∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG， 则∠ABG和∠AGB不相等， 故∠AGB≠∠DHF， 故HD与BG不平行，故③错误； 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计算相应线段的长. 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【详解】试题分析：（1）第一、二项按照特殊角的三角函数解答，第三项非零数的零次方等于1；（2）先把-2移到右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式，然后开平方即可.. （1）原式== （2）配方得：   直接开平方得：. 点睛：本题主要考查了特殊角的三角函数值及配方法解一元二次方程方程，熟练掌握特殊角的三角函数值及配方的方法是解答本题的关键. 20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程： （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值； （2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积． 【详解】解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B， ∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形， ∴AE=CE， ∵AC=，即， 解得：AE=CE=3， 在y=x+1中，令y=0，则x=-1， ∴A（-1，0）， ∴OE=2，CE=3， ∴C（2，3）， ∴k=2×3=6， ∴反比例函数表达式为： ； （2）联立：， 解得：x=2或-3， 当x=-3时，y=-2， ∴点D的坐标为（-3，-2）， ∴S△CDE==． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答． 22．（本题8分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)40，30，36 (2) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出的人数，再除以总人数求出的值，360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 23．（本题9分）如图，在中，与的延长线交于点，与、分别相交于点、． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （2）分别证明，，根据相似三角形的性质证明． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴ ，即， 解得； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 24．（本题9分）如图是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑架．已知． (1)如图1，当活动杆处于水平状态时，求：的值； (2)如图2，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算出，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出和的长，进而可求出和的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∵活动杆处于水平状态， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ， 在中，， ∴ （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点， 解：由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为． 25．（本题10分）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质可得：，然后利用同弧所对的圆周角相等可得：，从而可得； （2）利用直径所对的圆周角是直角可得，在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理可得，进而可得，再利用勾股定理列出方程进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∵，     ∴． ∵， ∴． （2）解：∵是的直径， ∴， ∵在中，， ∴设，则， ∴ 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及勾股定理是解题的关键． 26．（本题10分）如图，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD. (1)求证：△ADM∽△AOB. (2)如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以点为顶点，且过点M的抛物线的函数表达式． (3)在(2)的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）y＝－2；（3）点P的坐标为(－5，2)，(－4，10)． 【分析】（1）依题意得出MD⊥AB继而推出∠MDA＝∠AOB，∠MAD＝∠BAO，然后可证明； （2）设A（0，m），由直线y＝2x＋12可知，OA＝12，OB＝6，则AM＝12−m，DM＝2，利用勾股定理得AB＝6，由△ADM∽△AOB，利用相似比求m的值即可，设抛物线顶点式，将M点坐标代入，可求抛物线解析式； （3）存在，△AOB中，OA：OB＝12：6＝2：1，则所求直角三角形两直角边的比为2：1，根据△PAM中，顶点P，A，M分别为直角顶点，根据抛物线解析式分别求符合条件的点P的坐标 【详解】(1)∵AB是⊙M的切线，D是切点， ∴MD⊥AB， ∴∠MDA＝90°＝∠AOB. 又∵∠MAD＝∠BAO， ∴△ADM∽△AOB. (2)设M(0，m)，由直线y＝－2x＋12得OA＝12，OB＝6，则AM＝12－m，而DM＝2， 在Rt△AOB中，AB＝.， ∵△ADM∽△AOB， ∴， 即， 解得m＝2， ∴M(0，2)． 设顶点坐标为的抛物线的函数表达式为y＝a2＋，将点M的坐标代入，得a2＋＝2，解得a＝－2， ∴抛物线的函数表达式为y＝－22＋； (3)存在．①当顶点M为直角顶点时，M，P两点关于抛物线的对称轴直线x＝－对称，此时MP＝5，AM＝12－2＝10，AM&amp;#xE79B;MP＝2：1，符合题意，此时点P的坐标为(－5，2)； ②当顶点A为直角顶点时，点P的纵坐标为12，代入抛物线表达式，得－22＋＝12，解得x＝－，此时AP＝，AM＝10，不符合题意； ③当顶点P′为直角顶点时，则由相似三角形的性质可设P′的坐标为(n，－2n＋2)或(－2m，m＋2)．若P′(n，－2n＋2)，则－2n－n＝10，解得n＝－4；当x＝－4时，y＝－2×＋＝10，－2n＋2＝10，符合题意； 若P′(－2m，m＋2)，则4m+m＝10，解得m－2，当x＝－2m＝－4时，y＝－2×＋＝10，m＋2＝4，不符合题意． 综上所述，符合条件的点P的坐标为(－5，2)，(－4，10)． 【点睛】本题综合考查的是二次函数的有关知识以及利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是学会分类讨论，要注意的是分析问题要全面，难度较大，属于中考压轴题． 试卷第16页，共26页 试卷第17页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（   ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别，，，，这四个旅游团中年龄相近的旅游团是（    ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 4．若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（） A． B． C． D． 5．如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 7．如图，在中，，以为直径的与分别交于点，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为弧AN上一点，且弧AC=弧AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论： ①AD=BD；②∠MAN=90°；③弧AM=弧BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF， 其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（   ） ①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．已知，则 ． 12．为了了解某校九年级学生的身体素质情况，在该校九年级随机抽取50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出频数分布直方图（如图，每组数据可含最小值，不含最大值），如果在一分钟内跳绳次数少于120次的为不合格，那么可以估计该校九年级300名学生中跳绳不合格的人数为 . 13．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 14．如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为 ． 15．小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为 米． 16．规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 17．如图，与相交于点，点在上，且，若 ，，则的长为 . 18．如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（请填上所有正确结论的序号）    三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 22．（本题8分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 23．（本题9分）如图，在中，与的延长线交于点，与、分别相交于点、． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 24．（本题9分）如图是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑架．已知． (1)如图1，当活动杆处于水平状态时，求：的值； (2)如图2，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取） 25．（本题10分）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 26．（本题10分）如图，已知直线y＝－2x＋12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD. (1)求证：△ADM∽△AOB. (2)如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以点为顶点，且过点M的抛物线的函数表达式． (3)在(2)的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第6页，共8页 试卷第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$