八年级数学开学摸底考（湖南省专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A D C B B A C B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．±0.06，3，±2 12．3 13． 14．72°或54° 15．或或 16． 17.8 18. ②③④⑤ 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分） 【详解】（1）解： ； …………………………………………（3分） （2）解： ． …………………………………………（3分） 20．（本题6分） 【详解】（1）解：将不等式两边同乘以得， ， 移项合并得， 解得； …………………………………………（3分） （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示： …………………………………………（3分） 21．（本题8分） 【详解】（1）解： ， 当时，原式． …………………………………………（4分） （2）解：原代数式的值不能等于， 原因：由（1）可知原式化简后的式子为， ，得， 经检验，是该方程的解， 但是时，原代数式无意义， 原代数式的值不能等于．…………………………………………（4分） 22．（本题8分） 【详解】（1）解：垂直平分线段， ， ， ，…………………………………………（2分） 为中点， ，平分， ，…………………………………………（2分） ， ， ， ；…………………………………………（2分） （2）证明：由（1）得， ．…………………………………………（2分） 23．（本题9分） 【详解】（1）设甲车主每天能运输吨货物，则乙车主每天能运输吨货物，根据题意得： ，     解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物．…………………………………………（5分） （2）甲车主单独完成所需时间为（天）， 乙车主单独完成所需时间为（天）， 甲、乙两车主合作完成所需时间为（天）， 甲车主单独完成所需费用为（元）， 乙车主单独完成所需费用为（元）， 甲、乙两车主合作完成所需费用为（元）． ∵，， ∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时 答：该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时．…………………………………………（4分） 24．（本题9分） 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．…………………………………………（3分） （2）解：①∵的周长为6， ∴， ∵， ∴，即， ∵的周长为18， ∴， ∴， 又∵， ∴；…………………………………………（3分） ②如图，过点作于点， 由上可知，，， ∴的面积与的面积相等，即为12， ∴，即， ∴， 所以点到的距离为4．…………………………………………（3分） 25．（本题10分） 【详解】（1）解：； 故答案为；…………………………………………（2分） （2）解：； 故答案为；…………………………………………（2分） （3）解： ．…………………………………………（6分） 26．（本题10分） 【详解】（1）证明：∵，直线，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴．…………………………………………（3分） （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．…………………………………………（3分） （3）解：∵同理可得：， ∴，， 又∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴是等边三角形．…………………………………………（4分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版八年级上册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在，，，，，…（每两个6之间多一个0），，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 7．下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 8．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 10．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．0.0036的平方根是 ,的算术平方根是 ,的平方根是 ． 12．已知，则 ． 13．如图，，若用“”说明，则还需要加上条件： 14．已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为 15．阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 16．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 17．如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 18．（本题3分）已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N，连接，，则下列五个结论： ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分． 其中，正确的是 ．（只填写序号）    三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 20．（本题6分）解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21．（本题8分）已知代数式，解答下列问题： (1)先化简，求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值等于吗？为什么？ 22．（本题8分）如图，已知垂直平分线段，点是延长线上一点，点是上一点，截取线段，连接并延长交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 23．（本题9分）某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务．已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资． (1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？ (2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案． 24．（本题9分）如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 25．（本题10分）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： (1)具体运算，发现规律： ，… 计算： (2)观察归纳，写出结论 （且n为正整数） (3)灵活运用，提升能力 请利用你所发现的规律， 计算 的值． 26．（本题10分）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版八年级上册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在，，，，，…（每两个6之间多一个0），，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 7．下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 8．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 10．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．0.0036的平方根是 ,的算术平方根是 ,的平方根是 ． 12．已知，则 ． 13．如图，，若用“”说明，则还需要加上条件： 14．已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为 15．阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 16．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 17．如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 18．（本题3分）已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N，连接，，则下列五个结论： ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分． 其中，正确的是 ．（只填写序号）    三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 20．（本题6分）解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21．（本题8分）已知代数式，解答下列问题： (1)先化简，求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值等于吗？为什么？ 22．（本题8分）如图，已知垂直平分线段，点是延长线上一点，点是上一点，截取线段，连接并延长交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 23．（本题9分）某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务．已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资． (1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？ (2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案． 24．（本题9分）如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 25．（本题10分）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： (1)具体运算，发现规律： ，… 计算： (2)观察归纳，写出结论 （且n为正整数） (3)灵活运用，提升能力 请利用你所发现的规律， 计算 的值． 26．（本题10分）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状． 试卷第6页，共6页 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版八年级上册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在，，，，，…（每两个6之间多一个0），，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的定义和二次根式的化简．无限不循环小数是无理数，化简后进行判断即可． 【详解】解：在，，，，，…（每两个6之间多一个0），，中，无理数有，…（每两个6之间多一个0），，共3个， 故选：C 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方，整数指数幂运算；熟练掌握以上运算法则是解题的关键，根据这些法则，逐项判断即可； 【详解】、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 3．下列从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为的数或整式，分式的值不变，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、当时，，故该选项不符合题意； C、当时，，，，故该选项不符合题意； D、当时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 4．若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；根据题意，得，然后进行求解即可 【详解】解：根据题意，得：， 解得； 故选D． 5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．根据三角形外角性质得，从而即可求解． 【详解】解：如图，延长交于，    由题意知，， ∵，， ∴，即 ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到的长度的最小值是解题的关键．由垂直平分，得到点关于直线对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 【详解】∵，D是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， 如图，当P为与的交点时，取最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：B． 7．下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题，根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意； （）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意； （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角，该命题是真命题，符合题意； （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意； （）两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意； ∴真命题有个， 故选：． 8．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，角平分线的定义，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可知，，，结合平分，可得，推出， ，根据，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，， 平分， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ，即， ， ． 故选：A． 9．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 10．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．0.0036的平方根是 ,的算术平方根是 ,的平方根是 ． 【答案】 ±0.06 3 ±2 【详解】分析：分别利用平方根、算术平方根、立方根的性质化简即可． 详解：   0.0036的平方根是：±0.06，     ∵=9，∴的算术平方根是：3；     ∵=4，4的平方根是±2，∴的平方根是±2．     故答案为±0.06，3，±2． 点睛：本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根等知识，正确掌握相关性质是解题的关键． 12．已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查异分母分式的加减法，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可． 【详解】解： ∵ ∴； 化简得：； 所以， 故答案为：3 13．如图，，若用“”说明，则还需要加上条件： 【答案】 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定；根据等角对等边可得，根据题意再添加一组对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 若用“”说明，则还需要加上条件：（或）， 故答案为：． 14．已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为 【答案】72°或54° 【分析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再分这个内角是顶角与底角两种情况讨论求解即可． 【详解】等腰三角形的一个外角为108°， ∴与这个外角相邻的内角是180°-108°=72°， ①72°角是顶角时，底角为（180°-72°）=54°， ②72°角是底角时，底角为72°， 综上所述，其底角的度数为54°或72°． 故答案为54°或72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题时要注意分情况讨论，不要漏解． 15．阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是乘方运算，分类讨论的思想是解题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，根据的乘方，的乘方，非零的数的零次幂，可得答案． 【详解】解：①当时， 解得：， 此时，则， ； ②当时， 解得：， 此时，则（， ； ③当时， 解得：， 此时，则， ； 综上所述，当，或，或时，代数式成立． 故答案为：或或． 16．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 17．如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键． 本题主要考查了分式方程的解法和不等式组的解法．不等式组整理后，由已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由方程的解为整数确定出的值，进而确定出满足题意的所有的值，求出它们的和即可． 【详解】解：解不等式组，得：， 不等式组至少有三个整数解， ∴，至少有，0，1三个整数解 ， 解得：， 解关于的分式方程， 得：，且， ∴， 分式方程解为非负整数，且， 符合条件的所有整数的值为，，，， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：8． 18．已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M，与相交于点N，连接，，则下列五个结论： ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分． 其中，正确的是 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识点． 当点M是的中点或者平分时，才有，故①错误；根据等边三角形的性质得，，，，则，利用可证，得，利用可证，得，故③正确；根据三角形内角和定理得，而，则，可得，即可得，故②正确；根据得，根据即可得为等边三角形，故④正确；作，，根据得，即可得平分，故⑤正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴当点M是的中点或者平分时，才有， 故①错误； ∵和是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 故④正确； 如图所示，作，，    ∵， ∴， ∴平分， 故⑤正确， 综上，②③④⑤正确， 故答案为：②③④⑤． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查零次幂，负指数幂，分式混合运算的综合，掌握负指数幂的计算，分式混合运算法则是解题的关键． （1）化简绝对值，计算负指数幂，零次幂，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先把括号里的分式通分，再把除法变乘法，最后根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； …………………………………………（3分） （2）解： ． …………………………………………（3分） 20．（本题6分）解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)； (2)，数轴见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．解一元一次不等式组需分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：将不等式两边同乘以得， ， 移项合并得， 解得； …………………………………………（3分） （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示： …………………………………………（3分） 21．（本题8分）已知代数式，解答下列问题： (1)先化简，求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值等于吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)原代数式的值不能等于，见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）先做括号内的减法，注意把各分子、分母先因式分解，约分后再做减法运算；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，然后约分化为最简形式； （2）令，求解，检验即可判断． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． …………………………………………（4分） （2）解：原代数式的值不能等于， 原因：由（1）可知原式化简后的式子为， ，得， 经检验，是该方程的解， 但是时，原代数式无意义， 原代数式的值不能等于．…………………………………………（4分） 22．（本题8分）如图，已知垂直平分线段，点是延长线上一点，点是上一点，截取线段，连接并延长交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，平分，再根据外角的性质即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义和外角的定义，可得，进而可证明． 【详解】（1）解：垂直平分线段， ， ， ，…………………………………………（2分） 为中点， ，平分， ，…………………………………………（2分） ， ， ， ；…………………………………………（2分） （2）证明：由（1）得， ．…………………………………………（2分） 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 23．（本题9分）某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务．已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资． (1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？ (2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案． 【答案】(1)甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物 (2)两车主合作完成既省钱又省时，计算过程见解析 【分析】（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据工作时间=工作总量÷工作效率及总费用=每日所需费用×运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设甲车主每天能运输吨货物，则乙车主每天能运输吨货物，根据题意得： ，     解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物．…………………………………………（5分） （2）甲车主单独完成所需时间为（天）， 乙车主单独完成所需时间为（天）， 甲、乙两车主合作完成所需时间为（天）， 甲车主单独完成所需费用为（元）， 乙车主单独完成所需费用为（元）， 甲、乙两车主合作完成所需费用为（元）． ∵，， ∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时 答：该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时．…………………………………………（4分） 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）分别求出三种外包方案所需时间及总费用． 24．（本题9分）如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①先根据三角形的周长公式可得，再根据的周长为18可得，然后根据求解即可得； ②先根据全等三角形的性质可得的面积与的面积相等，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．…………………………………………（3分） （2）解：①∵的周长为6， ∴， ∵， ∴，即， ∵的周长为18， ∴， ∴， 又∵， ∴；…………………………………………（3分） ②如图，过点作于点， 由上可知，，， ∴的面积与的面积相等，即为12， ∴，即， ∴， 所以点到的距离为4．…………………………………………（3分） 25．（本题10分）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： (1)具体运算，发现规律： ，… 计算： (2)观察归纳，写出结论 （且n为正整数） (3)灵活运用，提升能力 请利用你所发现的规律， 计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解题的关键是理解题中所给新运算； （1）根据题中所给新运算可进行求解； （2）由（1）及题干可进行求解； （3）根据（2）中的结论可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为；…………………………………………（2分） （2）解：； 故答案为；…………………………………………（2分） （3）解： ．…………………………………………（6分） 26．（本题10分）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）证明，可得，，，由此即可求解； （2）证明，可知，，由此即可求证； （3）与都是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，直线，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴．…………………………………………（3分） （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．…………………………………………（3分） （3）解：∵同理可得：， ∴，， 又∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴是等边三角形．…………………………………………（4分） 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键． 试卷第22页，共22页 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$