复习篇 10 数列新定义 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

10 数列新定义 【题型1】 等差等比数列概念的延伸数列 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·上海浦东新·期末）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：（1）；（2）；（3）；（4）．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【例2】（22-23高二下·安徽淮北·阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． 【巩固练习】 1（23-24高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·江西·期中）若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”．例如，数列，为“邻和等差数列”．已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，则（    ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 3（24-25高二上·陕西咸阳·期中）若数列满足（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的是（    ） A．数列是“等差比数列” B．数列是“等差比数列” C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列” 【题型2】 与不等式有关的数列新定义 【经典例题】 【例1】（2023·广东汕头·三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”. (1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 【巩固练习】 1（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）如果数列对任意的均有恒成立，那么称数列为“M－数列”，下列数列是“M－数列”的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·新疆昌吉·模拟预测）数列的前项和为，已知首项，且. (1)求数列的通项公式； (2)对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列，请判断数列是否为数列，并说明理由. 【题型3】全称特称命题的数列新定义 【经典例题】 【例1】（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【例2】（2024·浙江台州·一模）对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得． (1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由； (2)若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质． ①若，求的取值范围； ②求证：存在的子数列为等差数列． 【巩固练习】 1（24-25高二下·重庆·阶段练习）设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超级数列”．已知是首项为正数、公比为的等比数列，若为“超级数列”，则公比的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（2024·新疆·模拟预测）定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·江苏·阶段练习）设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”; (2)若数列的前n项和，证明：数列不是“H数列”; (3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 4（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）对于确定的正整数，若存在正整数，使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”． (1)设是公差为的等差数列，若为“阶可分拆数列”，证明：； (2)设函数，记曲线在点处的切线与轴的交点为，，探究数列是否为“阶可分拆数列”，并说明理由； (3)设，若数列为“阶可分拆数列”，求由所有的值组成的集合． 【题型4】重构的数列新定义 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）对于数列A：a1，a2，⋅⋅⋅，an，若满足ai∈{0,1}（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，n），则称数列A为“游戏数列”定义变换T：T将“游戏数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0例如A：1，0，1，则T（A）：1，0，0，1，1，0，设A是“游戏数列”，令Ak＝T（Ak﹣1），k＝1，2，3，⋅⋅⋅ (1)数列A2：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求数列A1，A0； (2)若数列A0共有5项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有几对？并请说明理由； (3)若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk，k∈N，求lk关于k的表达式． 【巩固练习】 1（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令． (1)①求，，的值； ②求数列的通项公式； (2)求证：． 2（2022·上海闵行·一模）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”. (1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由； (2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：； (3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且. 3（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列（，）满足（），（），，求， 【题型5】其他的数列新定义 【经典例题】 【例1】（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，． (1)求，，； (2)设，，求数列的前项和； (3)设，，数列的前项和为，证明：， 【巩固练习】 1（24-25高二上·甘肃白银·期中）若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（    ） A．1024 B．1023 C． D． 3（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二下·河南南阳·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5（2024·江西九江·二模）已知无穷数列中，，记. (1)若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值； (2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； (3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列. 【A组---基础题】 1（23-24高二下·四川成都·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25高三下·河北衡水·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为（    ） A．4 923 B．4 933 C．4 941 D．4 951 3（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（    ）. ①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”； ②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 4（24-25高二上·上海·单元测试）若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 5（23-24高三上·上海普陀·期末）对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（   ） A．若为“s数列”，则为“t数列” B．若，则为“t数列” C．若，则为“s数列” D．若等比数列为“t数列”则为“s数列” 6（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围． 7（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比； (2)求； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 8（24-25高三上·山西运城·开学考试）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)求的面积． 【B组---提高题】 1（2024·广东·模拟预测）给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，. (1)若，求和； (2)求证：； (3)求的最值. 2（23-24高一下·北京·期末）对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，. (1)当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及； ①；②；③； (2)当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值. (3)给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10 数列新定义 【题型1】 等差等比数列概念的延伸数列 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·上海浦东新·期末）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：（1）；（2）；（3）；（4）．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质知，由题意中的定义，结合所给的函数解析式依次计算即可求解. 【详解】根据题意，由等比数列性质知， （1），，故（1）是“保等比数列函数”； （2），，故（2）不是“保等比数列函数”； （3），，故（3）是“保等比数列函数”； （4），则，故（4）不是“保等比数列函数”； 故选：B. 【例2】（22-23高二下·安徽淮北·阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等方差数列的定义列方程，解出数列的通项公式； （2）由数列既是等方差数列，又是等差数列列方程，通过化简计算可得数列为常数列． 【详解】（1）由等方差数列的定义可知， 由此可得， 又，所以． （2）证明：因为是等差数列，设其公差为， 则． 又是等方差数列，所以． 故， 所以， 即， 所以，故是常数列． 【巩固练习】 1（23-24高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可． 【详解】令数列：为数列，于是， 依题意，数列为：，于是 数列为：是等差数列，， 则，因此， 所以该数列的第项为. 故选：B 2（23-24高二下·江西·期中）若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”．例如，数列，为“邻和等差数列”．已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，则（    ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 【答案】A 【分析】设，由已知可得，可求. 【详解】设，由，得，则， 故 ． 故选：A. 3（24-25高二上·陕西咸阳·期中）若数列满足（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的是（    ） A．数列是“等差比数列” B．数列是“等差比数列” C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列” 【答案】A 【分析】对AB：根据“等差比数列”数列的定义，即可直接判断；对CD：利用特殊的等差或等比数列即可判断. 【详解】对A：对数列，其连续三项的取值依次为或两种情况， 若的取值依次为，则， 若的取值依次为，则， 满足“等差比数列”的定义，故A正确； 对B：对数列， 当的取值依次为时，， 当的取值依次为时，， 不满足“等差比数列”的定义，故B错误； 对C：对等差数列，显然，不可作为分母， 即等差数列不一定是“等差比数列”，故C错误； 对D：对等比数列，显然，不可作为分母， 即等比数列不一定是“等差比数列”，故D错误. 故选：A. 【题型2】 与不等式有关的数列新定义 【经典例题】 【例1】（2023·广东汕头·三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”. (1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 【答案】(1)不是“紧密数列”，理由见解析 (2)数列是“紧密数列”，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用“紧密数列”的定义判断即可； （2）利用求得数列的通项公式，再证得，由此证得是“紧密数列”； （3）先根据是“紧密数列”，求得的一个取值范围，对于对分成、和三种情况，利用列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】（1），所以不是“紧密数列”； （2）数列为“紧密"数列；理由如下： 数列的前项和， 当时，； 当时，， 又，即满足，因此， 所以对任意， 所以， 因此数列为“紧密”数列； （3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为， 当时，有， 所以，满足题意； 当时.， 因为为“紧密"数列，所以.即或， 当时，， ， 所以，满足为“紧密”数列； 当时，，不满足为“紧密"数列； 综上，实数的取值范围是. 【巩固练习】 1（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）如果数列对任意的均有恒成立，那么称数列为“M－数列”，下列数列是“M－数列”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的通项公式，直接验证是否恒成立即得． 【详解】若，则， 即，不满足条件，不是“M－数列”； 若，则， 即，不满足条件，不是“M－数列”； 若，则，即，满足条件，是“M－数列”； 若，则 ，当n＝1，2，3时，，不满足条件，不是“M－数列”． 故选:C． 2（2025·新疆昌吉·模拟预测）数列的前项和为，已知首项，且. (1)求数列的通项公式； (2)对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列，请判断数列是否为数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)不是数列，理由见解析 【分析】（1）根据得到，根据等比数列公式得到通项公式. （2）计算，故原式等于，没有最大值，得到答案. 【详解】（1）由①，②， 由，得，所以，即， 由，得，故时，，验证时不满足. 所以此数列的通项公式. （2）当时，， 因此， 因为没有最大值，故不是数列. 【题型3】全称特称命题的数列新定义 【经典例题】 【例1】（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】C 【分析】给出①的反例，然后结合可控数列的含义以及等比数列的性质证明②是真命题，即可得到答案. 【详解】对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差， 但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾）， 故对时有. 这表明不是“可控数列”，故①错误； 对于②，若等比数列是“可控数列”，由于数列不是常数列，，故公比. 所以， 从而， 则， 当时，则 ， 令，则可知当时，不成立； 当时，显然成立，而对于恒成立， 由于为严格增数列，且时，， 故问题等价于存在，使得， 记，随m的增大，减小，故， 故只需，解得，故②正确. 综上，①是假命题，②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于②的判断，解答时要利用等比数列的性质并结合不等式恒成立进行求解. 【例2】（2024·浙江台州·一模）对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得． (1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由； (2)若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质． ①若，求的取值范围； ②求证：存在的子数列为等差数列． 【答案】(1)满足，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据性质的条件，结合不等式的性质求解； （2）①由条件可得是单调递增数列，且存在，使得．进而可得，，结合，可得出结果；②依题意可得单调递增，设，由性质可推得，当时，存在，使得，进而得，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）数列满足性质． 且， 因为，所以，又因为，所以， 因此，存在，使得且，都有，故满足性质． 注：取之间的任意实数都可以． （2）①因为数列满足性质，所以是单调递增数列， 又因为数列满足性质，所以存在，使得． 而，因此，， 由，得， 由，得，故的取值范围是． ②由数列满足性质，可知单调递增，设， 令，由性质，存在，使得， 同理，存在，使得，…， 以此类推，当时，存在，使得， 由数列单调递增，可知． 记，则， 因为，所以数列是等差数列， 故存在的子数列为等差数列，得证． 【巩固练习】 1（24-25高二下·重庆·阶段练习）设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超级数列”．已知是首项为正数、公比为的等比数列，若为“超级数列”，则公比的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由推出，再由等比数列求和公式及通项公式得到，从而得到，结合指数函数的单调性，得到，即可得解. 【详解】等比数列首项，又因为数列为“超级数列”， 则有，所以， 又，，由， 即， 依题意，任意的，， 函数在单调递减，值域是， 因此，解得，所以. 故选：D 2（2024·新疆·模拟预测）定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为为等差数列，则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故B错误； 对于选项C：当为偶数时，， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故C错误； 对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列， 则， 可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确； 故选：D. 3（24-25高三上·江苏·阶段练习）设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”; (2)若数列的前n项和，证明：数列不是“H数列”; (3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由等差数列前n项和与通项公式，结合“H数列”的定义证明即可； （2）由证等比数列，并求数列通项公式，根据通项公式和前n项和及“H数列”的定义证明结论； （3）由等差数列前n项和与通项公式，结合“H数列”的定义得到，进而确定参数值. 【详解】（1）因为，设公差为d，所以， 令，则，这时， 即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得，. 所以，数列是“H数列”. （2）因为数列的前n项和， 当n时，，所以， 当n2时，，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以， 假设数列是“H数列”，则对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 当m时，有，则n； 当m2时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解. 所以对任意正整数n，不存在正整数m，使得， 所以数列不是“H数列” （3）依题意，，， 若是“H数列”，则对任意的，都存在使得， 即， 所以， 又因为，， 所以对任意的，，且，则 4（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）对于确定的正整数，若存在正整数，使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”． (1)设是公差为的等差数列，若为“阶可分拆数列”，证明：； (2)设函数，记曲线在点处的切线与轴的交点为，，探究数列是否为“阶可分拆数列”，并说明理由； (3)设，若数列为“阶可分拆数列”，求由所有的值组成的集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)数列不是“阶可分拆数列”，理由见解析 (3)． 【分析】（1）由等差数列的通项公式，表示出，由题意建立方程，可得答案； （2）由函数解析式求导，设出切点并写出切线方程，表示出数列，利用余弦和角公式，可得答案； （3）由题意建立方程并化简整理，利用列举检验，可得答案. 【详解】（1）因为是公差为的等差数列，所以， 所以，． 因为为“阶可分拆数列”，所以，即．化简，得． （2）由，得． 又切点为，，则过该切点的切线方程为 易知当时，．令，整理，得，所以， 所以，． 又， 所以；所以数列不是“阶可分拆数列”． （3）由题意，知对于确定的正整数，存在正整数，使得成立， 即，所以． ①若，则，当时，成立： ②若，则， 当时，， 当时，， 当时，，所以不存在正整数，使得成立； ③若，则，当时，成立； ④若，则， 所以不存在正整数，使得成立． 综上，或3，所以． 【点睛】本题解题的关键在于解决数列问题要善于使用列举法找规律，当题目中给予递推公式时，首先使用赋值法，由第一项开始列举，观察前几项找规律即可. 【题型4】重构的数列新定义 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）对于数列A：a1，a2，⋅⋅⋅，an，若满足ai∈{0,1}（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，n），则称数列A为“游戏数列”定义变换T：T将“游戏数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0例如A：1，0，1，则T（A）：1，0，0，1，1，0，设A是“游戏数列”，令Ak＝T（Ak﹣1），k＝1，2，3，⋅⋅⋅ (1)数列A2：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求数列A1，A0； (2)若数列A0共有5项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有几对？并请说明理由； (3)若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk，k∈N，求lk关于k的表达式． 【答案】(1)A1：0，1，1，0，0，1；A0：1，0，1； (2)A2中至少有5对连续相等的数对，理由见解析； (3)lk＝. 【分析】（1）根据变换T的定义，逆向推导即可； （2）根据中每个和在中的对应情况，即可求解和证明； （3）对参数分类讨论，结合变换的定义以及等比数列求和，即可求得结果. 【详解】（1）由变换T的定义可得A1：0，1，1，0，0，1；A0：1，0，1. （2）数列A0中连续两项相等的数对至少有5对． 证明：对于任意一个“0﹣1数列”A0，A0中每一个1在A2中对应连续四项1，0，0，1，在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0，1，1，0， 因此，共有5项的“0﹣1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对， 所以A2中至少有5对连续相等的数对． （3）设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以lk+1＝bk， Ak+1中的01数对有两个产生途径：①由Ak中的1得到； ②由Ak中00得到， 由变换T的定义及A0：0，1可得Ak中0和1的个数总相等，且共有2k+1个， 所以bk+1＝lk+2k， 所以lk+2＝lk+2k， 由A0：0，1可得A1：0，1，1，0，A2：0，1，1，0，1，0，0，1 所以l1＝1，l2＝1， 当k≥3时， 若k为偶数，lk＝lk﹣2+2k﹣2，lk﹣2＝lk﹣4+2k﹣4，…，l4＝l2+22． 上述各式相加可得lk＝1+22+24+…+2k﹣2＝＝， 经检验，k＝2时，也满足lk＝． 若k为奇数，． 上述各式相加可得lk＝1+2+23+…+2k﹣2＝1+＝， 经检验，k＝1时，也满足lk＝． 所以lk＝． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，涉及等比数列求和；其中第三问的处理关键是，要根据变换的定义，逆向推导，同时还要注意分类讨论，属综合中档题. 【巩固练习】 1（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令． (1)①求，，的值； ②求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1)①，，，②； (2)证明见解析. 【分析】（1）①直接计算得解；②设第n次构造后得到的数列为1，，，…，，2，求出，再构造数列得解； （2）求出，再代入化简即得证. 【详解】（1）①，， . ②设第n次构造后得到的数列为1，，，…，，2． 则，则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，，2． 则， ∴，∴， 又∵，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列， ∴，所以. （2）证明： . 2（2022·上海闵行·一模）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”. (1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由； (2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：； (3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）“子列”的和不可能为，所以不存在“完美互补子列”； （2）利用反证法证明得解； （3）先利用完美互补子列的定义证明当和时，都存在“完美互补子列”，再分类讨论证明. 【详解】（1）解：由题得数列各项的和为 由题得“完美互补子列”的和相等，所以每一个“子列”的和为是一个小数， 由于数列各项为整数，所以“子列”的和不可能为， 所以不存在“完美互补子列”. （2）解：假设， 由题得数列的前100项和为, 所以不管在哪一个“子列”，都不可能， 所以假设不成立，所以. （3）解：时， ， 不妨设中项为 中项为 则中所有项与中所有的项的和均为， 所以时，数列存在完美互补子数列. 时，只需将中，中移到中，将放入中，将放入中，则此时， 中的和均在原来的基础上增加了，所以时，数列存在完美互补子数列. 下面证明. 当时，数列共有对完美互补子数列，在每一对完美互补子列中， （1）假设在中，则将放入中，将中的移到中，再将放入中，此时 中的和均在原来的基础上增加了，仍然相等. （2）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时 中的和均在原来的基础上增加了，仍然相等. （3）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时 中的和均在原来的基础上增加了，仍然相等. 故对于时，中每一对完美互补子列，都至少有3种情况， 所以. 3（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列（，）满足（），（），，求， 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以. （2）由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得， 所以，解得，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则. （3）因为（）， 所以， 所以， 所以. 【点睛】知识点点睛：新定义题型，弄清题意是关键.第二问考查了构造等比数列求数列的通项公式，第三问考查了裂项相消法. 【题型5】其他的数列新定义 【经典例题】 【例1】（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，． (1)求，，； (2)设，，求数列的前项和； (3)设，，数列的前项和为，证明：， 【答案】(1)；；． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据的定义，结合小于等于和的数的特征，即可求解； （2）由（1）的结果可知，，再利用裂项相消法，即可求解； （3）由（1）知，，再利用放缩法，转化为等比数列求和. 【详解】（1）1到6中与6互质的只有1和5，所以； 1到中，被3整除余1和被3整除余2的数都与互质，所以； 1到中，所有奇数都与互质，所以． （2），从而． （3）证明：， 从而，证毕． 【巩固练习】 1（24-25高二上·甘肃白银·期中）若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由T数列的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】当时，是单调递减数列，，因为，当时，单调递增，所以是单调递增数列，所以是T数列，故A错误； 当时，易知不是递增数列，因为，所以是单调递增数列，所以是T数列，故B错误； 因为，所以是递减数列，因为，且是单调递增数列，所以是T数列，故C错误； 当时，，所以不是单调递增数列，不是T数列，故D正确. 故选：D 2（2024高三·全国·专题练习）若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（    ） A．1024 B．1023 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，然后两边取对数得，从而得出数列是等比数列，从而可求解. 【详解】∵正项数列是“幂2数列”， ∴，又∵， ∴，解得或（舍去）， ∵， ∴，即， 又， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴, ∴ ， 所以． 故选:D. 3（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式. 【详解】因为数列是“”数列，则， 所以，而， ， ， ， ， ，， ， . 故选：B 4（23-24高二下·河南南阳·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据可分数列的定义即可验证结论 【详解】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故②正确；对于③，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故③正确；所以真命题有个. 故选：D 5（2024·江西九江·二模）已知无穷数列中，，记. (1)若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值； (2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； (3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义可直接求出的值. （2）令（周期），结合新定义，即可证明结论. （3）根据定义分别证明充分性和必要性，为非负整数，是公差为的等差数列，，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列. 【详解】（1）因为，，所以； ，，所以； ，，所以； ，，所以. （2）不妨设的周期为（）， 记，， 则当时，是常数. 记，使得当时，是常数，结论正确. （3）先证充分性：因为是公差为（为非负整数）的等差数列，则. 所以，， 所以（）. 再证必要性：因为，所以， 因为，，所以， 于是有：，，因此. 故数列是公差为的等差数列. 【点睛】思路点睛：此题考查数列相关的新定义问题，涉及求值和证明，证明一个条件是另一个条件的充要条件时一定要考虑完充分性和必要性. 【A组---基础题】 1（23-24高二下·四川成都·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系，可知数列从开始，是以3为周期的数列，进而即可求解. 【详解】由题意可知，，，，，， ，，，，，……， 所以根据“冰霓猜想”可知. 故选：B 2（24-25高三下·河北衡水·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为（    ） A．4 923 B．4 933 C．4 941 D．4 951 【答案】D 【分析】设该高阶等差数列为，逐项之差成等差数列记为，求出通项公式，由，利用累加法求. 【详解】设该高阶等差数列为，则的前7项分别为1，2，4，7，11，16，22. 令，则数列为1，2，3，4，5，6，…，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即， 故 . 故选：D 3（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（    ）. ①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”； ②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】B 【分析】结合等比数列和等差数列的定义及通项公式，利用数列的定义求解. 【详解】设等比数列的通项公式为， 则是等比数列，故①是真命题； 设等差数列的通项公式为， 则不是等差数列，故②是假命题. 故选：B 4（24-25高二上·上海·单元测试）若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可. 【详解】解析：按照规律有，，，，，，，，故A、C错；， 则， 故B对； ， 故D错． 故选:B． 5（23-24高三上·上海普陀·期末）对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（   ） A．若为“s数列”，则为“t数列” B．若，则为“t数列” C．若，则为“s数列” D．若等比数列为“t数列”则为“s数列” 【答案】C 【分析】设，可判定A错误；对于，分为奇数和为偶数，不存在，使得，可判定B错误；若，推得满足①②，可判定C正确； 设，取，可判定D错误. 【详解】设，此时满足， 也满足，， 即，，为“s数列”， 因为，所以A错误； 若，则，满足①， ，令， 若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足， 若为偶数，此时，则此时不存在，使得，所以B错误； 若，则，满足①， ，， 因为，所以，，满足②，所以C正确； 不妨设，满足，且，， 当为奇数，取，使得； 当为偶数，取，使得，所以为“数列”， 但此时不满足，，不妨取， 则，而， 则为“数列”，所以D错误. 故选：C. 6（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围． 【答案】(1)数列是为“凹数列”，数列不是为“凹数列”，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先根据等差数列和等比数列的求和公式求和，再结合“凹数列”的定义，即可判断； （2）首先求数列的通项公式，再根据，代入通项公式，求的范围. 【详解】（1）由于为等差数列， 所以为等比数列， ， 任意的，都有， 故，所以数列是为“凹数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“凹数列”， （2）因为等差数列的公差为，， 所以， 因为数列是凹数列， 所以对任意，恒成立， 即， 所以，即， 因为， 解得． 所以的取值范围为． 7（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比； (2)求； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1） 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； （2）由（1）可知，由错位相减得出； （3）设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以，解得， 所以的和公比为 （2）可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. （3）设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 8（24-25高三上·山西运城·开学考试）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)求的面积． 【答案】(1)1 (2)证明见解析；， (3)16 【分析】（1）由点在抛物线上，代入即可求解； （2）方法一：求得过，且斜率为的直线方程， ，联立方程组，求得方程的两根，得到，结合等差数列的定义，即可得证； 方法二：由点在抛物线上，得到方程组，两式相减，结合向量公式，得到，即可得证； （3）由（2）得到，结合梯形和的面积，求得的面积，即可求解. 【详解】（1）解：因为点在抛物线上，可得，解得． （2）证明：由（1）知：，即， 方法一：因为点在抛物线上，则，且， 过，且斜率为的直线， 联立方程组，可得， 解得或，所以，可得， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列， 所以，． 方法二：因为点在抛物线上， 所以，两式相减得：． 所以：可得， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列， 所以，． （3）解：由（2）知：， 可得梯形的面积为： 即，同理可得， 又由梯形的面积为： ， 即，则的面积为： ． 【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略： 1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性； 2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 【B组---提高题】 1（2024·广东·模拟预测）给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，. (1)若，求和； (2)求证：； (3)求的最值. 【答案】(1)， (2)证明见解析； (3)当为偶数时，的最小值为；当为奇数时，的最小值为； 【分析】（1）直接根据定义求解即可； （2）分情况讨论证明，故可推出和不能同时为零，进而得到结论； （3）对的奇偶性分类讨论，并利用（2）中的结论得到结果即可. 【详解】（1）以为首项的最长递增子列是，所以， 因为后面的项都比小，所以， 以为首项的最长递增子列是，所以， 因为后面没有项，所以； 因为后面的项都比大，所以， 以为首项的最长递减子列是或者，所以； 因为后面的项都比大，所以， 因为后面没有项，所以； 所以， 即， （2）对于，由于数列是的一个排列，故， 若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个， 得到一个以为首项的更长的递增子列，所以， 而每个以为首项的递减子列都不包含，且， 故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以， 这意味着； 若，同理有，，故， 总之，且和不能同时为零， 故. （3）由（2）可知和不能同时为零，故， 当为偶数时，设， 一方面有； 另一方面，考虑这样一个数列：，， 则对有， 故此时； 结合以上两方面可得，当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，设， 一方面有； 另一方面，考虑这样一个数列：，， 则对有， 故此时； 结合以上两方面可得，当为奇数时，的最小值为； 综上可得，当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，的最小值为； 【点睛】关键点点睛：求最大（小）值的本质在于，先证明所求表达式一定不小于（或不大于）某个数，再说明该表达式在某种情况下能取得，就得到了最大（小）值是，这便是“求最大（小）值”的本质.而在这个过程中，想到的具体取值这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等去猜出的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到的取值”无需交代，不影响解答的正确性. 2（23-24高一下·北京·期末）对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，. (1)当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及； ①；②；③； (2)当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值. (3)给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值. 【答案】(1)①可以，，，，；②不可以；③不可以 (2)， (3) 【分析】（1）直接根据操作变换的定义判断并证明； （2）利用每次变换后各项之和以及各项的平方和的变化规律即可证明，，然后给出符合条件的例子即可； （3）利用每次变换后各项之和以及各项的平方和的变化规律证明， 再证明可以由数列经过次操作变换得到一个各项互不相同的数列，即可得到操作变换次数的最小值为. 【详解】（1）对于①，可令，且，，，，即可得到所求数列； 对于②，显然无论怎样变换，数列的各项之和是不变的，因此从开始进行有限次变换后，数列的各项之和必定为零， 故②中的不可能得到； 对于③，假设当时，通过若干次变换后得到了包含的数列，那么设数列第一次出现， 由于这个必定是由变得的，从而必定包含两个. 但由于数列的各项之和必定为零，故另外两项或者都是，或者包含一个不大于的项. 若另外两项都是，则可以不妨设（因为各项的顺序并不重要）， 直接验证即知，从该数列中任意挑选一项加，再任意挑选另一项减后，得到的两个新项不可能相等， 所以不可能由某个数列变换得到，这导致矛盾； 所以另外两项必定包含一个不大于的项，这就说明，若通过若干次变换后得到了包含的数列， 则在第一次出现之前就必定已经出现过. 但同理可证，若通过若干次变换后得到了包含的数列，则在第一次出现之前就必定已经出现过. 所以二者结合即知，和都是不可能出现的，故③中的不可能得到. （2）当时，若能从数列经过有限次变换得到数列，由于在变换的过程中数列的各项之和保持不变， 故，从而必有，故. 由于，故在每次变换后，数列的各项平方和会比变换之前增加， 而的各项平方和为，的各项平方和为，故必定有，即. 下面的变换过程表明，能够实现： ，，，，，. 故与的所有可能取值为，. （3）先证明一个公式：对正整数，有. 证明：考虑在中从小到大取出三个不同的数的取法数目. 一方面，取法显然有种； 另一方面，的全部可能选择为，当取定为后，有种可能的选择， 有种可能的选择，且和的选择互不影响，故所有的取法一共有种. 综合两方面就得到 ， 所以. 这就得到. 回到原题. 对正奇数，设，由于在变换的过程中数列的各项之和保持不变，且在每次变换后， 数列的各项平方和会比变换之前增加，故，. 若两两不等，不妨设，由于，故不可能都非负，也不可能都非正， 所以一定存在，使得. 由于都是整数，故有 ，. 所以 ， 从而，且 . 将两个不等式相加，得到 ， 所以就得到 ， 故. 至此，我们得到. 下面使用数学归纳法证明：对正奇数，可以对数列（个）进行次变换， 得到各项互不相同的数列. 当时，令，，，，，. 则对数列进行次变换后得到了各项互不相同的数列. 故结论对成立. 对正奇数，假设结论已经对成立，则根据归纳假设，可以对数列（个）进行次变换， 得到数列. 然后继续进行如下变换过程： 以此类推，可得 然后继续进行如下变换： . 最终就得到了满足条件的数列. 而由于， 故最终就得到数列. 从而结论对也成立. 综上，对正奇数，可以对数列（个）进行次变换， 得到各项互不相同的数列. 所以，操作变换次数的最小值 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于寻找变换前后数列的相应特征的变化规律，从而得到相应的限定条件，并解决问题. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$