复习篇 09 数列不等式恒成立问题 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

09 数列与不等式 【题型1】证明数列中的不等式 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·山西晋城·期末）已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 【巩固练习】 1（2022·四川攀枝花·三模）数列满足，且，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，，则满足的正整数n是 ． 3（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 4（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）设集合，对于集合到集合的函数，记其中满足的函数为“回函数”．对于任意给定的集合，“回函数”的个数记为．数列的第项为．例如，“回函数”仅有一个，即，满足，所以，“回函数”有两个，即和，这两个函数都能满足，所以． (1)求； (2)当时，给出和之间的关系式并证明； (3)证明：时，． 【题型2】 数列不等式恒成立问题 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列的前项和，若对任意的，均有成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．（0，1） B． C． D． 3（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 4（24-25高二上·湖南·期中）已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 5（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【题型3】 数列不等式能成立（有解）问题 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（22-23高三上·辽宁·期末）在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2（23-24高三上·山东滨州·阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 3（2022高三·全国·专题练习）已知等比数列的公比为3，前项和为，若关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 5（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列的前n项和为 数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令 求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【A组---基础题】 1（22-23高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（2021·上海松江·一模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（2018·全国·二模）已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 4（2023高三下·全国·竞赛）已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 5（多选）（24-25高三上·江西·期中）已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（    ） A． B．任意的， C．存在，使得 D．数列有最大值，无最小值 6（2024·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 7（2024高三·全国·专题练习）已知数列，，且，，为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数，都有，求的取值范围. 8（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 9（2024·黑龙江·模拟预测）若给定数列，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，． (1)判断数列是否为“型数列”，并证明； (2)求数列的通项公式； (3)若，，使不等式成立，求实数的取值范围． 【B组---提高题】 1（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，数列满足，求证：； (3)若对任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 09 数列与不等式 【题型1】证明数列中的不等式 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·山西晋城·期末）已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)65 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用求出和即可. （2）明确，再对适度放缩，可得答案. （3）根据（2），可以很容易证明. 【详解】（1）当时，， 又， 所以. （2） 因为，所以（时取“”）. 所以， 即（当且仅当时取“”）. （3）由（2）（当且仅当时取“”）. 所以，，，…，. 各式相加得： . 即 . 【巩固练习】 1（2022·四川攀枝花·三模）数列满足，且，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，然后分析数列的单调性，可得结果. 【详解】因为，等式两边同时乘以可得， 所以，且， 所以，数列是等差数列，且首项和公差都为，则，所以，， 因为. 当时，； 当时，，即数列从第二项开始单调递减， 因为，，故当时，；当时，. 所以，，则的最小值为. 故选：B. 2（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，，则满足的正整数n是 ． 【答案】29 【分析】根据题设不等式关系得、，再由等差数列前n项和公式及相关性质求对应正整数n. 【详解】由，得，由，得， 所以，， 所以满足的正整数n是29． 故答案为：29 3（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 4（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）设集合，对于集合到集合的函数，记其中满足的函数为“回函数”．对于任意给定的集合，“回函数”的个数记为．数列的第项为．例如，“回函数”仅有一个，即，满足，所以，“回函数”有两个，即和，这两个函数都能满足，所以． (1)求； (2)当时，给出和之间的关系式并证明； (3)证明：时，． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“回函数”的定义列举即可； （2）通过分析“回函数”个数可以发现其递推关系； （3）通过递推式子可知单调递增，进而用放缩的方法证明即可. 【详解】（1），分别是 （2）时，， 证明如下：分别表示集合中“回函数”个数 中“回函数”的个数计算分两种情况： ①若，则其他元素不可能对应到，否则通过两次对应后不可能到达自身， 即其他个元素之间只能在内部对应，所以这种情况的“回函数”的个数为； ②若，由于一个元素经过两次对应必须回到自身，所以必有， 而除和之外的元素也不能对应或，即其他个元素只能在它们内部对应， 所以“回函数”的个数为，又有种选择，所以这种情况的“回函数”个数为． 综上， （3）由题意知， 时，，即单调递增， ， ， 时， ，且满足不等式 综上，时，． 【点睛】思路点睛：本题涉及到函数与数列的知识。对于集合到的函数，要找到满足的"回函数"数。第二问要找出和之间的关系，需从"回函数"的定义和构造出发，从集合构建"回函数"，重点看元素的映射情况。若,那剩下个元素构成的函数情况与有关；若是其他值，根据"回函数"特性，这会和产生联系，综合这两种情况，就能梳理出之间的关系式，然后进行证明。 【题型2】 数列不等式恒成立问题 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用关系及等比数列定义得，将问题化为恒成立，研究右侧的单调性并求其最大值，即可得答案. 【详解】由，令，解得， 当时，由，得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令 ，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D 【例2】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）证明见解析，；（ii） (2) 【分析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. （2）因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列的前项和，若对任意的，均有成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数列各项的符号证明，再给出作为的例子，即可得到的最小值为． 【详解】据已知有，，，故，从而. 结合可知，再根据可知，所以. 同时，等差数列满足，且. 所以的最小值为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于适当判断数列各项的符号，并根据符号得到相应的不等关系. 2（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】C 【分析】设数列的公比为，根据，，成等差数列，列方程，求解得，进而得 ，分是偶数或是奇数讨论，利用单调性求最值即可. 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，又， 可得，解得，所以， 所以 ． 当为偶数时，由，得， 所以对任意的偶数成立， 因为单调递减，所以当时取最大值， 故； 当为奇数时，由，得 ， 所以对任意的奇数成立， 因为单调递增，且当是无限接近于，故． 综上所述，． 故选：C． 3（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】AB 【分析】根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，， 又，所以， 又时，满足， 所以， 由，得到， 令，则， 当时，，得到，当时，， 所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到，所以， 故选：AB. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于使恒成立，令，利用数列的单调性得到，再分取奇数和偶数，即可求解. 4（24-25高二上·湖南·期中）已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到通项公式； （2）采用错位相减法可求得，分离参数可得，由数列单调性可求得，进而得到结果. 【详解】（1）等比数列各项均为正数，可设其公比为， ，解得：（舍）或， . （2）由（1）得：， ，， 两式作差得： ， ， 由得：， 为递减数列，，， 即实数的取值范围为. 5（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则 ， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 【题型3】 数列不等式能成立（有解）问题 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数列的递推关系构造出常数列，再求通项，然后分离参变量，再利用数列的单调性思想，研究不等式成立的条件. 【详解】因为， 所以，所以， 即， 所以数列是常数列，当时，， 所以，即， 因为，所以， 令， 所以 ， 当时，，即， ，，，，， 为了满足不等式有且仅有4个解，则， 此时有，，，. 故选：. 【点睛】方法点睛：通过数列递推关系构造出常数列，不等式恒成立或有解问题要用分离参变量方法，数列的单调性用作差或作商法来研究. 【巩固练习】 1（22-23高三上·辽宁·期末）在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解. 【详解】解：因为，所以公比，则， 时，，时，， 又，所以，，，， 则， 又当时，， 所以能使不等式成立的最大正整数是． 故选：C． 2（23-24高三上·山东滨州·阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】由已知可得是常数列可得的通项公式及的通项公式，运用分离参数求最值可得求（），结合换元法转化为求（）的最小值即可. 【详解】由已知，所以， 所以数列是常数列. 又，所以，即， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故， 由存在，使得成立可知， 存在，使得成立，即， 设，则，从而. 记（）， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，， 所以的最小值是8. 故选：D. 3（2022高三·全国·专题练习）已知等比数列的公比为3，前项和为，若关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式得，原不等式等价于，讨论，的情况，当时，原不等式等价于，令，求的符号，得出在时单调性，由此可得答案. 【详解】解：因为等比数列的公比，所以， 不等式等价于①， 当时，显然是不等式①的解； 当时，，则等价于， 因为关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，所以当时有且仅有一个解， 令，则 ，故在时单调递减， 所以， 又因为（2），所以，解得的取值范围为，，. 故选：A. 4（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先计算出的图象关于点中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ， 所以的图象关于点中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令，则当时，单调递减； 当时，单调递增． 又，所以， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称. 5（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知数列的前n项和为 数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令 求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）由不等式能成立，来求的最小值，再由使不等式都成立，分离参变量，即可求k的取值范围. 【详解】（1）由得：， 两式相减得：， 所以数列是等比数列，公比为， 由于，即， 又因为，所以， 即数列是等差数列上，公差为，首项为， 所以, 即; （2）由于， 则， 利用错位相减法，则 ， 上面两式相减得：， 则， 即； （3）由于，所以数列是递增数列，即， 因为当， 存在正整数n使得，成立， 则，由,变形得：， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以有， 则有. 【A组---基础题】 1（22-23高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得数列为递增数列，讨论n的奇偶性结合恒成立问题分析求解. 【详解】∵， ∴数列为递增数列， 若对任意的正整数n，不等式恒成立，则有： 当为奇数时，则，故，即； 当为偶数时，则，故，即； 综上所述：实数c的取值范围是. 故选：B. 2（2021·上海松江·一模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围． 【详解】解：由已知可得， 由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2， 所以， 当n=4或5时， 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n满足， 所以满足条件的和， 因为， 所以实数k的取值范围是． 故选：C． 【点睛】方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解. 3（2018·全国·二模）已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用累加法求得 ，讨论n为奇数和偶数，结合数列的单调性求得最值，可得所求范围． 【详解】∵数列的首项，且满足， 可得 ， 又存在正整数n，使得成立， 当n为偶数时，，单调递增，可得的最小值为； ，单调递减，可得的最大值为， 可得，即有； 当n为奇数时，，单调递减，可得的最大值为； ，单调递增，可得的最小值为， 可得，即有； ∴的取值范围是. 故选：C． 4（2023高三下·全国·竞赛）已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】D 【分析】根据，由累加迭代法可得，进而可得，由得，进而根据等比数列的求和得，两种情况结合得，进而可求解. 【详解】由，故由累加法得：当时，，因此，由此得，由于当时，，故, 由得 以此类推可得，因此进而，由于，所以，综上可知，故满足条件的所有可能取值有， 故选：D 5（多选）（24-25高三上·江西·期中）已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（    ） A． B．任意的， C．存在，使得 D．数列有最大值，无最小值 【答案】ABD 【分析】根据题设数列递推关系求数列的前两项判断A；由且判断C；根据A、C分析判断B；作差法研究数列单调性，即可判断D. 【详解】令，则，所以， 令，得，又，可得，A正确； 由，，所以，C错误， 由，且，B正确， 由，得，所以 ，即， 所以随的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且， 故数列有最大值2，无最小值，D正确； 故选：ABD 6（2024·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 【答案】15 【分析】利用裂项相消法求出，代入已知整理得，然后取对数，利用裂项相消法可得，解不等式即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以， 所以 ， 令，解得. 所以正整数的最小值为15. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于通过分母有理化裂项求，取对数，利用对数运算裂项求，然后可解. 7（2024高三·全国·专题练习）已知数列，，且，，为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数，都有，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据结合等差数列通项公式可得，再结合的定义分析求解即可； （2）由（1）可知：，利用裂项相消法可得，结合题意分析求解即可. 【详解】（1）因为，，则，， 可知等差数列的首项为1，公差， 则，即 当时，， 且符合上式，所以，. （2）由（1）可知：， 则. 由题可知，所以的取值范围是. 8（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 【答案】(1)，， (2)4或5 【分析】（1）用累加法得到数列通项公式； （2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点. 【详解】（1）∵，∴ 当时，， 即， 当时，也满足， ∴， ∴，. （2）由（1）可知， ∴，∴ 令， ，当时，，当时， ∵ ∴的最大值为70，即当或时，取得最大值70， ∴取得最大值时，取4或5. 9（2024·黑龙江·模拟预测）若给定数列，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，． (1)判断数列是否为“型数列”，并证明； (2)求数列的通项公式； (3)若，，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)是“型数列”，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）变形得到，数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到，得到结论； （2）在（1）的基础上，累加得到通项公式； （3）求出，参变分离得到，换元后，利用导函数得到函数单调性，进而得到，得到的取值范围. 【详解】（1）数列是“型数列”，理由如下： 由，得， 因为，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则，， ， 所以数列满足“型数列”的定义， 即数列是“型数列”． （2）由（1）知，，…，， 累加得， 又，所以． （3）由（2）可知，，不等式有解， 整理为，有解，即， 设，，则， 设，，， 所以在上单调递增， ，所以函数的值域为， 则， 当时，，所以， 所以的取值范围是． 【B组---提高题】 1（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件求解出，然后对分奇偶讨论可得和，结合函数的单调性可求结果. 【详解】设的公比为，因为，所以， 所以，所以，所以， 因为对任意正整数恒成立， 所以对任意正整数恒成立； 当是偶数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以，所以， 当是奇数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以时，，所以， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，数列满足，求证：； (3)若对任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件求出，继而结合得关系推出，说明数列为等比数列，即可求得答案； （2）求出利用的表达式，利用裂项求和法，即可证明结论； （3）将恒成立问题转化为，即恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）由得，即，所以． 若，则； 若，则由得， 两式相减得， 化简得， 所以数列是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此， 当时，也满足该式，故． （2）证明：因为，所以，则， 因此 ． 又因为，且，故， 因此得证． （3）由（1）得，则，即， 令（，）， 为使对任意正整数n都有成立，即， 因为，所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减． 又，且，，， 所以，因此，即． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$