复习篇 14 利用导数研究函数的极值与最值 -2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

14 利用导数研究函数的极值与最值 【题型1】 极值的概念 【基础知识】 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·广东佛山·期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【巩固练习】 1（23-24高二下·全国·课后作业）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）    A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 2（23-24高二上·安徽芜湖·期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3（22-23高二下·全国·课后作业）下列4个函数：①，②，③，④，其中在处取到极小值的函数是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【题型2】求函数的极值 【基础知识】 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高二下·全国·课后作业）函数有（    ） A．极小值0，极大值2 B．极小值，极大值4 C．极小值，极大值3 D．极小值2，极大值3 2（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）函数的极值点为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 【题型3】根据函数的极值求参数 【经典例题】 【例1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（2023·贵州遵义·三模）函数在处取得极值0，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 3（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数在处有极值10，则点为（    ） A． B． C．或 D．不存在 【题型4】 求函数的最值 【基础知识】 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【经典例题】 【例1】 （24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·福建福州·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【题型5】 不等式的证明 【经典例题】 【例1】 （24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证： 【巩固练习】 1（23-24高二下·四川乐山·期中）证明不等式： (1)，；(2)． 2（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)求的最大值； (2)当时，证明：. 【题型6】 恒成立问题 【经典例题】 【例1】 （23-24高二下·北京石景山·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若对都有恒成立，求实数的取值范围． 【巩固练习】 1（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 2（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【A组---基础题】 1（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 2（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 3（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 4（23-24高二下·重庆·期中）已知函数，则在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 5（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 6（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值 7（23-24高二下·北京西城·期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求证：． 9（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【B组---提高题】 1（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 2（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14 利用导数研究函数的极值与最值 【题型1】 极值的概念 【基础知识】 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·广东佛山·期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】B 【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可. 【详解】由图象可知，当时，， 所以函数在上单调递减，A错误； 当时， 所以函数在上单调递增，B正确，C错误； 函数在处取得极小值，D错误． 故选：B 【巩固练习】 1（23-24高二下·全国·课后作业）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）    A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 【答案】D 【分析】结合函数图像及极值点定义可以判断极大值及极小值. 【详解】由题图可知，当时，； 当时，； 当时，； 当时， 由此可以得到函数在处取得极大值， 在处取得极小值． 故选:D 2（23-24高二上·安徽芜湖·期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合图像，由函数极值的定义即可得到结果. 【详解】依题意，记函数的图像与轴的交点横坐标依次为 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以为极小值点，为极大值点，为极小值点 故极大值点有1个 故选:A 3（22-23高二下·全国·课后作业）下列4个函数：①，②，③，④，其中在处取到极小值的函数是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】A 【分析】借助函数图象和极值的概念可解此题. 【详解】做出四个函数的图象           显然函数和在处取到极小值，而函数和没有极小值. 故选：A 【题型2】求函数的极值 【基础知识】 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原函数求导，再解出极小值和极大值，求和即可. 【详解】由题意知：， 当时，单调递减；当时， 单调递增，所以的极大值为， 极小值为，故. 故选：D. 【巩固练习】 1（23-24高二下·全国·课后作业）函数有（    ） A．极小值0，极大值2 B．极小值，极大值4 C．极小值，极大值3 D．极小值2，极大值3 【答案】D 【分析】求出导函数，令导函数为并求根，判断根左右两侧的符号，根据极值定义求出极值即可． 【详解】易知， 令，则或， 当时，，即在内单调递增， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以当时，函数有极大值， 当时，函数有极小值． 故选：D． 2（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）函数的极值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用导数正负研究单调性，再得到极值点即可. 【详解】， 令，得，此时函数单调递减；令，得，此时函数单调递增. 所以的极小值点为. 故选：B. 3（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 【答案】D 【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再结合极值的概念即可得答案. 【详解】， 由得，， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以是的极大值点，无极小值点． 故选：D. 【题型3】根据函数的极值求参数 【经典例题】 【例1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据极值的定义列等式求出和，然后检验此时在时是否有极小值，即可确定和的值，进而得到. 【详解】，因为在时有极小值， 所以，即，解得， 此时， 或时，，时，， 在时有极小值成立，所以，，. 故选：B. 【巩固练习】 1（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 2（2023·贵州遵义·三模）函数在处取得极值0，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据极值点的意义，列式求解即可. 【详解】， 所以，解得， 经检验，满足题意， 所以. 故选：A 3（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数在处有极值10，则点为（    ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】B 【分析】由题意得，解出值再分别验证即可. 【详解】，则，即， 解得或， 当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去. 当,，令，解得或， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则为极小值点，符合题意. 故点为， 故选：B 【题型4】 求函数的最值 【基础知识】 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【经典例题】 【例1】 （24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出极值点及区间端点处的函数值，再比较大小即得函数的最大值和最小值. 【详解】的定义域为，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最大值为， 又， 所以的最大值为，最小值为． 故选：A. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数直接求出函数的最大值即可. 【详解】因为，所以． 令可得；令可得， 所以在上单调道增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，即最大值， 所以． 故选：C 2（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与三角函数的性质研究函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则， 当时，，可得，则单调递增； 当时，，可得，则单调递减； 由，，，则的最小值为. 故选：A. 3（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域. 【详解】由题意得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，故， 因为，所以． 故所求的值域为． 故选：A 4（24-25高三上·福建福州·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，利用点到直线的距离公式列式，再构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】依题意，设点，则点到直线的距离， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以点到直线距离最小值为. 故选：C 【题型5】 不等式的证明 【经典例题】 【例1】 （24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出导数，解得切线的斜率，切点坐标，然后求解在点处的切线方程； （2）令，求解函数的导数，求出最大值，转化即可． 【详解】（1）由题可知， ，则， 所以曲线 在点处的切线方程为； （2）令， 则，令 ，解得或， 当时，， 的变化情况如下表所示： x 2 0 单调递减 单调递增 又因为，, 所以在区间的最大值为 即当时，恒成立，亦即 . 【巩固练习】 1（23-24高二下·四川乐山·期中）证明不等式： (1)，； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解， （2）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解， 【详解】（1）设，，则． 令，得． 当时，，从而在内单调递增； 当时，，从而在内单调递减． 所以当时，在区间上取最大值． 所以，所以，，． （2）设，则．令，得． 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减． 所以当时，取最小值． 所以，所以，． 2（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)求的最大值； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值， （2）利用导数求解的最小值，即可根据的最大值求解. 【详解】（1），令得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，取得最大值，且最大值为. （2）设，，则， 在上单调递增， ，即在上的最小值为4， ，，， 当时，. 【题型6】 恒成立问题 【经典例题】 【例1】 （23-24高二下·北京石景山·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若对都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值；极小值 (2) 【分析】（1）对函数求导，结合函数极值的定义即可求解； （2）只需求出不等式左边的最小值即可，结合导数与最值的关系即可得解. 【详解】（1）由，得.         令得或. 当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示： ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以当时取极大值；当时取极小值. （2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上的最小值为. 对都有恒成立，所以. 【巩固练习】 1（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2），则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 2（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是． (2) 【分析】（1）求出原函数的导函数，由，解得，可得函数解析式，由导函数大于0和小于0，分别求得原函数的单调区间． （2）构造函数求导得到函数的单调性，即可求解最值求解. 【详解】（1）由题意知，， 由，解得， 此时，， 令，得，令，得，故是函数的极值点， 故符合要求， 进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由恒成立可得恒成立， 令则， 令，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 而，且时，， 故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，因此 【A组---基础题】 1（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【答案】A 【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值. 【详解】    由导函数图像可知： 导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减， 在上大于等于0，于是原函数在上单调递增， 所以原函数在处取得极小值，无极大值， 故选：A. 2（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【分析】求函数的导数，求解以及，得到函数的单调区间，判断极大值点代入，从而求出极大值. 【详解】解：， 令，则，令，则或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值. 故选：D 3（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而由极值的定义可求出函数的极小值. 【详解】因为，， 所以. 当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，. 故选：D. 4（23-24高二下·重庆·期中）已知函数，则在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的极小值，再计算端点值，即可得解. 【详解】因为， 所以当或时， 当时， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，又，， 所以在区间上的最小值为. 故选：B 5（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解. 【详解】根据题意，， 函数在处有极值0， 且， 或， 时恒成立，此时函数无极值点， 当时，， 此时是函数的极值，满足条件， ，. 故选：D 6（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值 【答案】B 【分析】根据题意对函数求导得到，然后利用导数分析讨论最大值和最小值. 【详解】函数的定义域为，由题得， 当时，单调递增； 当时，单调递减． 又当时，与二次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而； 当时，．所以函数无最大值，有最小值，故B正确. 故选：B. 7（23-24高二下·北京西城·期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可. 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立， 所以或, 所以或. 故选：A. 8（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，即可结合分类讨论求解， （2）根据函数的单调性可得最值点，即可代入求证. 【详解】（1）， ①若，恒成立，此时函数的单调递减区间为； ②若，令，得，令，得． 此时函数的单调增区间为，单调减区间为． 综上所述，当时，函数的单调减区间为， 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）由（1）得，函数在处取得极小值，也是最小值，最小值为， 因为，所以， 即函数的最小值，所以． 9（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为关于的一元二次方程进行求解. （2）分离参数，构造函数，求导得到的最小值即可求解. 【详解】（1）由，代入方程得：， 即，解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 【B组---提高题】 1（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，求出最大值后可逐项判断正误. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，即； 当时，，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ， 所以． 故选：C 2（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在和上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在和上递减，在上递增. (3) 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. （2）当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增. 综上，当时，在和上递减，在上递增； 当时，在上递增； 当时，在和上递减，在上递增. （3）我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$