复习篇 13 利用导数研究函数的单调性- 2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

13利用导数研究函数的单调性 【题型1】 导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图” 【基础知识】 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．     D．   【题型2】求三次函数的单调性 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函的图象过点，且． (1)求的值： (2)求函数的单调区间． 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 2（多选）（22-23高二上·河北邯郸·期末）下列区间中能使函数单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数 (1)若，求函数的单调减区间； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围. 【题型3】指数型函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.设函数，求的单调区间. 【巩固练习】 1（22-23高三上·甘肃武威·阶段练习）函数 的单调递增区间是（    ） A． B． C．(1，4) D．(0，3) 2（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 4（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）设函数. (1)求曲线在点切线方程； (2)求函数的单调区间; 【题型4】对数型函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【巩固练习】 1（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【A组---基础题】 1（24-25高二下·全国·课前预习）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A．B．C．D． 2（23-24高二上·福建莆田·期末）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 3（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 4（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 6（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中为常数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【B组---提高题】 1（2024高二·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13利用导数研究函数的单调性 【题型1】 导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图” 【基础知识】 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】根据已知函数的图象，应用导函数正负和函数单调性的关系即可判断各个选项. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B． 故选:A． 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法，根据的符号判断的单调性，可排除A，D；再根据导数的几何意义排除C. 【详解】观察导函数图象可知在区间先正后负，在区间先负后正， 故函数在区间内先递增后递减，在区间内先递减后递增， 结合4个选项的图象，可排除A，D； 由导函数的函数值是变化的，即函数在递减区间的斜率也是变化的，排除C， 故选：B． 2（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】根据导函数的正负性与原函数的单调性的关系进行判断即可. 【详解】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数. 故选：C 【题型2】求三次函数的单调性 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函的图象过点，且． (1)求的值： (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为 【分析】（1）由、可得答案； （2）求出，分别由，可得答案. 【详解】（1）由题意得，， 因为， 所以， 所以； （2）由（1）得，， 当或时，，当时，， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【答案】B 【分析】求得，求得函数的单调区间，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得的定义域为， 且， 令，可得；令，可得或， 所以在区间内单调递减，在和内单调递增， 由，所以A错误；由，所以B正确； 由，所以C错误；由，所以D错误． 故选：B. 2（多选）（22-23高二上·河北邯郸·期末）下列区间中能使函数单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，求导可得，令可求得其单调减区间，即可得到结果. 【详解】因为，令可得， 解得或，所以的单调减区间为和， 且，，. 故选：ABD 3（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数 (1)若，求函数的单调减区间； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再解不等式即得. （2）求出导数，由在上恒成立求解即得. 【详解】（1）当时，，求导得， 由，解得， 所以函数的单调减区间为. （2）由函数，求导得， 由在上单调递减，得，， 函数在上单调递减，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型3】指数型函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.设函数，求的单调区间. 【答案】在，单调递增，在单调递减 【分析】根据导数的正负性和原函数的单调性的关系进行求解即可. 【详解】，所以， 令，即，解得或， 当，， 当，， 当，， 所以在，单调递增，在单调递减. 【巩固练习】 1（22-23高三上·甘肃武威·阶段练习）函数 的单调递增区间是（    ） A． B． C．(1，4) D．(0，3) 【答案】B 【分析】求导，令，即得解 【详解】由题意， 令，得 故函数 的单调递增区间是： 故选：B 2（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导数，解不等式可得解. 【详解】， 令，则， 所以在区间上单调递减． 故选：A 3（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 4（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）设函数. (1)求曲线在点切线方程； (2)求函数的单调区间; 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，进而得切线方程； （2）根据导函数的符号判断函数的单调性即可. 【详解】（1）由题意知， 所以，， 故所求切线方程为，化简得. （2）由（1）知， 当，时，，单调递增， 时，，单调递减； 当，时，，单调递减，时，，单调递增， 所以当时，的单调递增区间是，单调递减区间是， 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【题型4】对数型函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，再根据导函数小于0得出函数的减区间即可. 【详解】，则， 由，得，所以单调递减区间是. 故选:D． 【例2】（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)的增区间为 【分析】（1）由题可得及，后由点斜式可得切线方程； （2）由题结合定义域，正负性可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 所以 . 所以，函数在处的切线方程为. 因此，所求切线方程为； （2）当时，，该函数的定义域为， 此时.所以，函数f (x)的增区间为. 【巩固练习】 1（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数为负即可求解. 【详解】的定义域为， ， 令，解得， 故的单调递减区间为， 故选：B 2（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】由题意，函数的定义域为，则， 当时；当时， 显然的单调递增区间为． 故选：D 3（24-25高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 4（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为. 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数判断函数单调性即可得解. 【详解】（1）当时，， 则，即， 又， 则切线方程为，即； （2）当时，，， 则，， 令，解得或（舍），         则 极大值 的增区间为，减区间为. 【A组---基础题】 1（24-25高二下·全国·课前预习）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数正负与函数的单调性的关系即可得解. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故选项D正确. 故选：D. 2（23-24高二上·福建莆田·期末）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 3（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得的单调递增区间. 【详解】由题设，且， 可得，所以递增区间为. 故选：C 4（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 5（23-24高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，递减区间为； (2) 【分析】 （1）求导，直接利用导数求单调区间即可； （2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，即可求解的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 令，即，解得或， 且当时，，当时，， 所以的单调递增区间为和，递减区间为； （2）由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为； 且，， 所以在上的最大值为， 因为关于x的不等式在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即，所以， 所以的取值范围为． 6（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中为常数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求导后，利用导数分析函数的单调性即可； （2）求导后转化为对恒成立问题，再求结果即可； 【详解】（1）∵时，， ， 令， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数 的单调递减区间为，单调递增区间为， （2）， 令对恒成立， 即，， 又∵， ∴，即. 【B组---提高题】 1（2024高二·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】在区间上单调递减，在上单调递增 【分析】对函数求导，根据导函数的符号，即可推得函数的单调性. 【详解】由可得且，即函数的定义域为， 因， 取，则， 设，则. ①当时，，则在上单调递减， 则，即，则在上单调递增， 则，即，故在上单调递减； ②当时，，则在上单调递增， 则，即，则在上单调递增， 则，即，故在上单调递增. 综上所述，在区间上单调递减，在上单调递增. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$