复习篇 12 导数的运算与几何意义- 2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

12 导数的运算与几何意义 【题型1】 基本初等函数的导数运算 【基础知识】 1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 2 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 2（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习），若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 5（24-25高三上·北京海淀·期中）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【题型2】复合函数的导数运算 【基础知识】 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 【经典例题】 【例1】（22-23高二下·北京西城·期中）函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型3】导数的几何意义 【基础知识】 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 【经典例题】 情况1 导数几何意义的理解 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·海南·期中）如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 3（多选）（24-25高三·上海·随堂练习）如题图所示，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的关系（    ）． A．（1）对应（c） B．（2）对应（a） C．（3）对应（d） D．（4）对应（b） 情况2 在某点的切线 【例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·广东·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 情况3 过某点的切线 【例1】（多选）（22-23高三上·湖南常德·阶段练习）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（    ） A．－5 B．－3 C．－1 D．1 【巩固练习】 1（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 3（2023·四川泸州·二模）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（    ） A．e B． C． D． 【A组---基础题】 1（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 2（24-25高三上·山西·期中）若函数满足，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 3（24-25高三上·天津·期中）已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二下·广东广州·期末）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 5（23-24高二下·江西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 6（23-24高二下·安徽六安·期中）已知函数，则在处的瞬时变化率为（    ） A．1 B．0 C． D． 7（23-24高二下·江苏·阶段练习）若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 8（2024·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 9（24-25高三上·福建·期中）若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 10（多选）（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【B组---提高题】 1（多选）（23-24高三下·广东·阶段练习）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12 导数的运算与几何意义 【题型1】 基本初等函数的导数运算 【基础知识】 1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 2 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】直接求导代入即可得解. 【详解】由题，，故. 故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据导数的定义即可求解. 【详解】由导函数的定义得 ． 故选：D. 2（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，通过赋值逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 则，所以. 故选：C 3（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再求出导数值即可. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：C 4（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习），若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】求函数的导函数，由条件列方程求. 【详解】由题意可得：， 若，即， 则，解得． 故选：B． 5（24-25高三上·北京海淀·期中）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，计算得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B 【题型2】复合函数的导数运算 【基础知识】 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 【经典例题】 【例1】（22-23高二下·北京西城·期中）函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单复合函数的求导法则计算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 【巩固练习】 1（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数求导法则计算即可. 【详解】由可得. 故选：B 2（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用复合函数的求导公式求导，再令即可得解. 【详解】由，得，所以. 故选：C. 【题型3】导数的几何意义 【基础知识】 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 【经典例题】 情况1 导数几何意义的理解 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义判断斜率大小即可. 【详解】由图可知函数在点处的切线斜率小于0，即； 在点处的切线斜率等于0，即， 在点处的切线斜率大于0，即， 所以. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别作曲线在，，三处的切线，，，然后根据切线的斜率的大小可得答案. 【详解】如图，分别作曲线在，，三处的切线，，， 设切线的斜率分别为，，，易知， 又，，， 所以． 故选：A    2（23-24高二下·海南·期中）如图，直线是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式可得，即可由导数的几何意义求解. 【详解】由图可知：直线与相切于，且经过， 故， 因此 ， 故选：A 3（多选）（24-25高三·上海·随堂练习）如题图所示，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的关系（    ）． A．（1）对应（c） B．（2）对应（a） C．（3）对应（d） D．（4）对应（b） 【答案】ABCD 【分析】根据容器的形状判断水面高度h随时间t的变化率的变化趋势，即可确定对应函数图象. 【详解】由于单位时间内注入水的体积相同， 容器（1）水面高度h随时间t的变化率恒定，函数图象为直线，对应（c）； 容器（2）水面高度h随时间t的变化率逐渐变小，函数图象先陡后缓，对应（a）； 容器（3）水面高度h随时间t的变化率先变小后变大，函数图象先陡后缓，再变陡，对应（d）； 容器（4）水面高度h随时间t的变化率逐渐变大，函数图象先缓后陡，对应（b）. 故答案为：ABCD. 情况2 在某点的切线 【例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数，由切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题意，函数，可得， 所以，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高三上·广东·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，再计算导函数值得出切线斜率，最后应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由，得， 当时，， 故曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 2（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设切点坐标，再根据导数的几何意义得切点坐标，最后用点斜式求出直线方程即可. 【详解】根据题意可得，设，则，解得， 所以，所以， 故所求切线方程为，即. 故选：D. 3（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】导函数在处的函数值即为斜率，点斜式即可写出直线方程. 【详解】因为，所以，故，，所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 4（多选）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论. 【详解】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC 情况3 过某点的切线 【例1】（多选）（22-23高三上·湖南常德·阶段练习）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（    ） A．－5 B．－3 C．－1 D．1 【答案】AC 【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可． 【详解】由已知得，则切线斜率，切线方程为， 直线过点，则，化简得， 切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或. 故选：AC. 【巩固练习】 1（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 2（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 3（2023·四川泸州·二模）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（    ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值. 【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为， 则，解得. 故选：C 【A组---基础题】 1（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 【答案】C 【分析】求导可求得. 【详解】由，可得，则. 故选：C. 2（24-25高三上·山西·期中）若函数满足，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得. 【详解】由，得， 则，解得， 故选：C. 3（24-25高三上·天津·期中）已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，求出曲线在处的导数值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以曲线在点处切线的斜率为. 故选：B. 4（23-24高二下·广东广州·期末）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，再将代入求值. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：D 5（23-24高二下·江西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得，进而可求. 【详解】因为，所以，则． 故选：D． 6（23-24高二下·安徽六安·期中）已知函数，则在处的瞬时变化率为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由瞬时变化率定义可知，直接求即可. 【详解】由题可知，则 故选：C 7（23-24高二下·江苏·阶段练习）若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用物理上“质点在时的瞬时速度即质点的位移的导函数在时的函数值”即可求得. 【详解】由求导得，则在时的瞬时速度为. 故选：B. 8（2024·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可 【详解】令，则，即，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故选：D. 9（24-25高三上·福建·期中）若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 【答案】C 【分析】设切点，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，则对求导有， 故在处切线的斜率为，则由在直线上可得， 解得，故. 故选：C 10（多选）（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D正确. 故选：ACD 11（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【详解】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 【B组---提高题】 1（多选）（23-24高三下·广东·阶段练习）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可. 【详解】存在,,使成立,A正确． 不存在,,使成立,B错误． ,存在,使得成立,C正确． 存在,，使成立,D正确, 故选:ACD. 2（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】根据导数的定义可求，联立曲线方程和切线方程后可求的横坐标为，故可证明为定值. 【详解】设，由导函数的定义，可知 ， 不妨设，则点处的切线斜率，切线方程为， 由得， 即，解得或， 所以的横坐标为，所以点处的切线斜率为， 故为定值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$