复习篇 10 等差数列与前n项和 -2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

10 等差数列及其前n项和 【题型1】 等差数列的定义 【基础知识】 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2023高二·重庆·学业考试）下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2】等差数列通项公式及其性质 【基础知识】 1 通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 2等差数列基本性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，其中， 它具有以下性质： ； ； 若, 则； 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。 【经典例题】 角度1 通项公式的基本量计算 【例1】（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．10 【巩固练习】 1（2022高二下·河北·学业考试）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 2（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 角度2 与通项公式关于的性质 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列，且，，则的值是（   ） A．24 B．27 C．30 D．33 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 3（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【题型3】等差数列的前n项和及其性质 【基础知识】 1 前n项和公式 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ， 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 2 性质 成等差数列； 【经典例题】 角度1 前n项和公式的基本量计算 【例1】（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（   ） A．11 B．13 C．15 D．16 2（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 3（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 角度2等差数列前n项和的性质 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．13 C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 3（2024高三·全国·专题练习）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型4】等差数列的综合 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（   ） A． B． C． D．无最大值 【例2】（2024高三·全国·专题练习）是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，若的前n项和为，求证：． 【巩固练习】 1（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 2（多选）（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 3（2024高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 4（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 2（24-25高三上·天津·阶段练习）等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 3（24-25高三上·四川·开学考试）已知等差数列满足，则（ ） A． B．1 C．0 D． 4（2024高三·全国·专题练习）等差数列中，若，则等于（    ） A． B．0 C． D．1 5（24-25高三上·江西·期中）设等差数列的前项和为，若，，则的值为（   ） A．4 B． C．1 D． 6（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 7（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（    ） A．14 B．13 C．11 D．7 8（多选）（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 9（24-25高二上·天津·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求数列的前10项和. 10（24-25高三上·安徽·期中）已知数列满足，且，其前项和记为． (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【B组---提高题】 1（24-25高三上·天津·阶段练习）设数列的前项和为，且，，则数列的前10项和是（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列的前项和，若对任意的，均有成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3（2024高三·全国·专题练习）如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上． (1)求，，的值，并写出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10 等差数列及其前n项和 【题型1】 等差数列的定义 【基础知识】 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) 【经典例题】 【例1】（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 【巩固练习】 1（2023高二·重庆·学业考试）下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 2（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误； 故选：C． 【题型2】等差数列通项公式及其性质 【基础知识】 1 通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 2等差数列基本性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，其中， 它具有以下性质： ； ； 若, 则； 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。 【经典例题】 角度1 通项公式的基本量计算 【例1】（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，将式子化为与，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则 . 故选：B. 【巩固练习】 1（2022高二下·河北·学业考试）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质可得公差为，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以. 故选：D 2（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 3（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质计算即得. 【详解】在等差数列中， 故选：B. 角度2 与通项公式关于的性质 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列，且，，则的值是（   ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列， 所以． 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以 ， 故选：A 2（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将的值代入即可求出值． 【详解】由题意，得， 所以，故C正确. 故选：C. 3（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式. 【详解】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 故选： 【题型3】等差数列的前n项和及其性质 【基础知识】 1 前n项和公式 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ， 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 2 性质 成等差数列； 【经典例题】 角度1 前n项和公式的基本量计算 【例1】（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得. 【详解】由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（   ） A．11 B．13 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式和前项和表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 即，解得，则. 故选：A. 2（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】利用条件求得和的值，即可计算. 【详解】设等差数列的公差为． ∵，∴，即． 又∵，∴，，∴． 故选：A． 3（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可. 【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以. 故选：B. 角度2等差数列前n项和的性质 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可知依旧成为等差数列，据此求解. 【详解】由，可设， 为等差数列，为等差数列， 即成等差数列， ， 即. 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】利用等差数列片段和的性质可求得的值. 【详解】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列， 所以，，则， 故选：B. 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【分析】仍成等差数列，据此求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，为数列的前项和， 根据等差数列的性质得到：仍成等差数列， 记， 设， ， ，解得， 所以， 故选：C. 3（2024高三·全国·专题练习）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于等差数列的前n项和可知，所以，然后求解即可. 【详解】对于等差数列的前n项和满足， 知道，故． 故选：B 【题型4】等差数列的综合 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（   ） A． B． C． D．无最大值 【答案】B 【分析】对于A：根据可得，结合通项公式分析判断；对于B：根据等差数列性质可得，即可分析判断；对于CD：根据分析数列的符号性，即可判断. 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列， 则，即， 可得，则，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以，故B正确； 对于选项D：因为，且，可知， 当时，；当时，； 可知当且仅当时，取到最大值，故D错误， 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 故选：B. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，若的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出公差，根据得到，两式相减得到，从而求出通项公式； （2）由等差数列前项求和公式，变形得到，裂项相消法求和，得到结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ， ，两式作差得． ， ，解得， ． （2）由（1）得， ， ． ， ． 【巩固练习】 1（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据条件可知，，列出不等式组得出，得，即可求使得的的最大值， 【详解】设的公差为，由题意得， 即，解得， 即， ∴， 所以 由，解得，即的最大值为. 故选：C. 2（多选）（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可求得结果． 【详解】对于A，由题意，得，则，所以，所以，故A正确； 对于C，由题意，得，则，所以，故C正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于D，由知，等差数列单调递增，所以，故D正确． 故选：ACD． 3（2024高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得，再次作差后可得，故可得是等差数列． （2）求出可得的通项公式. 【详解】（1）证明：由，得， ∴， 两式相减得，，则有， 两式相减得，， ∴数列是等差数列． （2）当时，，∴，又，∴， ∴． 4（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求得首项和公差，写出数列通项公式； （2）因为，所以整理不等式得，要想不等式恒成立，只需小于等于的最小值，由函数的单调性求得最小值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以. （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立. 当时，取得最小值1， 所以，即的取值范围是. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（   ） A．该数列是公差为的等差数列 B．该数列的图象只能在第一象限 C．该数列是个有穷数列 D．该数列的图象是直线上满足的点集 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式逐项分析即可得解. 【详解】由知数列为等差数列，公差为1，故A错误； 因为，所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误； 由通项公式是知，数列是无穷数列，故C错误； 由通项公式是知该数列的图象是直线上满足的点集，故D正确. 故选：D 2（24-25高三上·天津·阶段练习）等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 【答案】B 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得公差， 故, 故选：B 3（24-25高三上·四川·开学考试）已知等差数列满足，则（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由可得：， 所以， 故选：C 4（2024高三·全国·专题练习）等差数列中，若，则等于（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据等差数列“下角标和”的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列，且， 所以，所以，所以. 故选：B. 5（24-25高三上·江西·期中）设等差数列的前项和为，若，，则的值为（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】设公差为，依题意得到关于、的方程组，求出、，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】设公差为，由，，所以，解得， 则. 故选：D 6（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【详解】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 7（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（    ） A．14 B．13 C．11 D．7 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解. 【详解】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得， ∴，即, 所以n的最大值为13， 故选：B 8（多选）（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 【答案】ACD 【分析】对于A，由题设得公差即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由以及等差数列前n项和性质结合一元二次函数性质即可判断；对于D，由等差数列的函数性质即可判断. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则， 所以等差数列为单调递增数列，故A正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，故B错误； 对于C，因为，， 所以由二次函数图象性质知必有最小值，故C正确； 对于D，因为，结合一次函数性质，不论为何值，存在正整数，当时，（）. 故选：ACD. 9（24-25高二上·天津·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求数列的前10项和. 【答案】(1) (2)45 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前项和公式求基本量，即可写出通项公式； （2）由，应用等差数列前项和公式求和即可. 【详解】（1）设公差为，由题设有，解得，， 所以. （2）由题设， . 所以数列的前10项和为45. 10（24-25高三上·安徽·期中）已知数列满足，且，其前项和记为． (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得是公差为的等差数列，由可得，进而可知公差为1，进而可写出通项公式； （2）由（1）可写出，进而的表达式可知，利用裂项求和的的方法即可证明不等式. 【详解】（1）因为，所以， 所以是公差为的等差数列． 又，所以，从而公差为1， 所以． （2）， ， 所以 ， 因为，所以，不等式得证. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·天津·阶段练习）设数列的前项和为，且，，则数列的前10项和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与的关系判断数列为等差数列，然后求出，再由裂项相消法可得. 【详解】当时，，整理得， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，得， 又， 所以数列的前10项和为： . 故选：C 2（2024高三·全国·专题练习）已知是等差数列的前项和，若对任意的，均有成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数列各项的符号证明，再给出作为的例子，即可得到的最小值为． 【详解】据已知有，，，故，从而. 结合可知，再根据可知，所以. 同时，等差数列满足，且. 所以的最小值为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于适当判断数列各项的符号，并根据符号得到相应的不等关系. 3（2024高三·全国·专题练习）如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上． (1)求，，的值，并写出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）结合图象，通过计算点的坐标，依次求出，推测出数列通项，再运用等差数列的定义证明为等差数列，求出其通项； （2）写出的表达式并化简，运用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）第一个等边三角形顶点坐标代入得， 将点坐标代入，解得， 将点坐标代入解得，故推测：. 下面提供证明： 依题意，点，（）在上， 可得，①； 又在上， 可得，②， 由②-①，，因，则得，，（）， 所以为首项是，公差是的等差数列，故. （2）由（1）得， 故 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$