复习篇 12 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

12 函数的图象及其应用 【题型1】 函数的图象变换 【基础知识】 1 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). 2 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长). 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·浙江宁波·期中）要得到函数的图象只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 【巩固练习】 1（23-24高一上·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 2有以下四种变换方式： ① 向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的; ② 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的; ③ 每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度; ④ 每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度; 其中能将的图像变换成函数的图像的是 A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．②和③ 3（2021·河北保定·一模）已知函数，为了得到函数的图象，只需（    ） A．先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位 B．先将函数图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位 C．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的 D．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍 【题型2】三角函数的图象变换与性质相结合 【经典例题】 【例1】（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2023·辽宁沈阳·三模）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是 A． B． C． D． 2（23-24高一上·浙江衢州·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3】根据图象求函数的解析式 【经典例题】 【例1】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．， B．在区间上单调递增 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【巩固练习】 1（22-23高一上·河南郑州·期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2（多选）（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（    ） A． B．函数在区间上单调递增 C．若，则的最小值为 D．直线与的图象所有交点的横坐标之和为 【题型4】 三角函数模型的应用 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．  (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）． 参考公式：．参考数据：，． 【巩固练习】 1（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 2（多选）（24-25高三上·浙江·期中）某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中，则（   ） A． B． C．该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D．该路段改造后的停车位比改造前增加9个 3（多选）（22-23高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　 　) A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为 【题型5】 三角函数新定义 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【巩固练习】 1（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 2（2023高一·全国·专题练习）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【A组---基础题】 1（23-24高一上·重庆·阶段练习）将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为（ ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·江西九江·期中）将函数的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3（23-24高一上·河南·阶段练习）将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·北京·阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 5（多选）（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 6（多选）（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（    ） A． B． C． D． 7（22-23高一下·山东潍坊·期末）函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，若，方程存在三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 8（23-24高一下·四川成都·期末）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间t（单位：s），则d与t之间的关系为（，，）．    (1)求A，ω，φ，K的值； (2)在筒车转动的一周内，盛水筒P有多长时间距离水面高度超过4m？ (3)设t为，时，盛水筒P到水面的距离分别为，，当（），且时，求，的值． 【B组---提高题】 1（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12 函数的图象及其应用 【题型1】 函数的图象变换 【基础知识】 1 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). 2 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长). 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·浙江宁波·期中）要得到函数的图象只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】B 【解析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可 【详解】解：由函数，， 所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得 的图像， 故选：B 【巩固练习】 1（23-24高一上·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 2有以下四种变换方式： ① 向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的; ② 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的; ③ 每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度; ④ 每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度; 其中能将的图像变换成函数的图像的是 A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．②和③ 【答案】B 【详解】试题分析：①“左加右减”向左平移可变为,再将每个点的横坐标缩短为原来的，变为；②变换为；③每个点的横坐标缩短为原来的，可变为，向右平移个单位长度，变为.④可变换为 . 考点：三角函数图象变换. 3（2021·河北保定·一模）已知函数，为了得到函数的图象，只需（    ） A．先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位 B．先将函数图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位 C．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的 D．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍 【答案】B 【分析】直接利用三角函数图像变换可得. 【详解】对于A：先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到，故A错误； 对于B：先将函数图象上点的横坐标变为原来的，得到，再右移个单位，得到，即为，故B正确； 对于C: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的，得到，故C错误； 对于D: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到，故D错误； 【题型2】三角函数的图象变换与性质相结合 【经典例题】 【例1】（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，， 因为函数关于原点对称，所以， 则，,得，且， 所以. 故选：D 【巩固练习】 1（2023·辽宁沈阳·三模）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项． 【详解】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为 再向右平移个单位得到图象的解析式为 再向上平移个单位得到图象的解析式为，令解得，故函数的对称中心为 当时对称中心为，所以是函数的一个对称中心． 故选：． 2（23-24高一上·浙江衢州·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出平移后的解析式，直接写出对称轴方程. 【详解】函数的图象向右平移个单位后得到 要求的对称轴方程， 令，解得：， 当k=0时，为的一条对称轴方程. 故选：B 【题型3】根据图象求函数的解析式 【经典例题】 【例1】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．， B．在区间上单调递增 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】求出，利用可判断A；根据余弦函数的图象与性质可判断B；由图可判断函数的图象关于点中心对称可判断C；根据三角函数图象平移规律可判断D． 【详解】， 对于选项A：由图可知，，所以，， 因为，所以，故选项A正确； 对于选项B：，当时，， 根据余弦函数的图象与性质可知，选项B正确； 对于选项C：由图易知，函数的图象关于点中心对称，故选项C错误； 对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象，故选项D正确． 故选：ABD. 【巩固练习】 1（22-23高一上·河南郑州·期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象求出的解析式，再根据图象的平移法则即可得答案. 【详解】解：由题意可得， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以只需将的图象向左平移个单位，即可得的解析式. 故选：C. 2（多选）（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（    ） A． B．函数在区间上单调递增 C．若，则的最小值为 D．直线与的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【分析】先由图象可知函数中的值，利用周期可求得可判断A选项；利用图象中的点坐标可求出函数的表达式，进而可求得函数的表达式，结合三角函数的图象与性质可判断B、C选项；把代入函数的表达式建立方程，把区间内的的值求出来相加即可判断D选项. 【详解】由图象可知，，解得，，故A正确； 又因为，所以，则，， 又因为，所以， 所以函数的表达式为， 则将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 ， 对于B，令，，可得，， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以的最大、最小值分别为和， 最小正周期为，当时，则、分别为函数的最大、最小值， 所以，故C错误； 对于D，令，得，或，， 解得，或，， 又因为，所以或或或， 所以直线与的图象所有交点的横坐标之和为，故D正确. 故选：ABD. 【题型4】 三角函数模型的应用 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．      (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）． 参考公式：．参考数据：，． 【答案】(1)，． (2)，，7.2m 【分析】（1）首先旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系； （2）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，并利用参考公式化简高度差函数，根据t的取值范围，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．    设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则． 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为． 则甲、乙距离地面的高度差， 利用，可得，． 当（或），即（或22.8）时，的最大值为． 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m． 【巩固练习】 1（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中（小于平角的那个），然后由勾股定理计算． 【详解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图， 所以， 故选：A．    2（多选）（24-25高三上·浙江·期中）某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中，则（   ） A． B． C．该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D．该路段改造后的停车位比改造前增加9个 【答案】AD 【分析】根据构造对偶式求出，再根据的范围可得答案. 【详解】∵， ∴， 构造对偶式可得， ，平方相加得， 由，可得或， 又，所以，， 该路段改造后的停车位比改造前增加9个. 故选：AD. 3（多选）（22-23高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　 　) A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为 【答案】ACD 【分析】由题意设出函数解析式，由最大值与最小值列式求得与的值，由周期求得，再由时，求解，得到函数解析式判断D；令求解判断A；取秒求得判断B；取秒求得判断C． 【详解】设点距离水面的高度为（米和（秒的函数解析式为，，， 由题意，，， ，解得， ， ，则． 当时，， ，则， 又，则． 综上，，故D正确； 令，则，若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，，故C正确． 故选：ACD． 【题型5】 三角函数新定义 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分 讨论即可， （3）求解讨论得 【详解】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 【巩固练习】 1（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)或或； (3)或， 【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可； （2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可； （3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可. 【详解】（1）与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； （2）由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即的像为或或； （3）对于，则，所以， 即， 因为与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或， 2（2023高一·全国·专题练习）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析 (2)，单调递增区间为，； (3) 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到. 【详解】（1）不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2）函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； （3）由（2）知：函数在上图象为： 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【A组---基础题】 1（23-24高一上·重庆·阶段练习）将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图像变换原则可得新曲线为,令求解即可 【详解】将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线, 令,得 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心 2（23-24高一上·江西九江·期中）将函数的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】先求的对称中心，再比较平移后的新函数的对称中心即得平移量. 【详解】令得，，即的对称中心 ，向右平移个单位后得到的函数的对称中心 . 故选：B. 3（23-24高一上·河南·阶段练习）将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合辅助角公式可得，进而可得g(x)＝2sin，由三角函数的性质可得，化简即可得解. 【详解】设f(x)＝cosx＋sinx＝2sin， 向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin， ∵g(x)的图象关于y轴对称， ∴， ∴m＝, 由m>0可得m的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题考查了辅助角公式及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 4（24-25高三上·北京·阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据曲线方程上的点可得，将代入计算可得纵坐标. 【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得， 因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C 5（多选）（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】先通过条件求出，再利用三角函数的性质逐一判断选项对错. 【详解】，向左平移个单位得， 对于A：，A正确； 对于B：当时，，函数在上不单调，则在区间上不单调，B错误； 对于C：，的图象关于直线对称，C正确； 对于D：，的图象不关于点对称，D错误. 故选：AC. 6（多选）（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设动点与轴正方向夹角为，则求出，求出，求出每秒钟旋转的角度，证明时点纵坐标增大，，纵坐标减小，求出动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间. 【详解】 设与轴正方向夹角为， 则时，，故， 由于12秒旋转一周，所以每秒钟旋转， 在，，绕坐标原点沿逆时针方向旋转到位置， 所以点纵坐标增大，从旋转到时， ，，纵坐标减小， 在上，即从逆时针旋转至位置，动点纵坐标增大， 所以当时，纵坐标关于的函数的单调区间为和. 故选：AD. 7（22-23高一下·山东潍坊·期末）函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，若，方程存在三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的图象可得，再由图象过点可得解析式； （2）根据图象平移规律得到函数的图象，若，存在三个不相等的实数根，可转化为与在有两个不同的交点，结合图象可得答案. 【详解】（1）由图象可得，由图象过点， 所以，可得， 所以，又，所以， 所以； （2）将的图象向左平移个单位可得到函数的图象， 方程，可得， 可得时，，所以； 所以在有两个不相等的实数根， 即与的图象在有两个不同的交点，画出它们的大致图象， 由图象可得，，所以.    8（23-24高一下·四川成都·期末）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间t（单位：s），则d与t之间的关系为（，，）．    (1)求A，ω，φ，K的值； (2)在筒车转动的一周内，盛水筒P有多长时间距离水面高度超过4m？ (3)设t为，时，盛水筒P到水面的距离分别为，，当（），且时，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意可知的最大值为，最小值为，求得，再由每分钟转2圈，求得，得到，结合时，，求得， （2）根据，令，由正弦函数的性质，求得，即可求解； （3）由，求得，令，结合三角恒等变换的公式，根据，求得，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由题意d与t之间的关系为， 根据题意可知的最大值为，最小值为，可得，解得， 又因为逆时针方向每分钟转2圈，所以函数的周期为，可得， 所以， 因为当时，，即， 又因为，所以，所以， 所以. （2）解：由（1）知， 令，可得，即， 可得，解得， 当时，可得，则 所以在筒车转动的一周内，盛水筒P有距离水面高度超过4m. （3）解：由， 可得， 令， 可得， 所以， ， ， 所以 ， 所以，即，所以， 则，解得，即，解得， 因为，所以，即，. 【B组---提高题】 1（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【答案】(1)是，不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知； （2）令，，，然后化简，从而得证； （3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若时，由，可得，从而可得结论 【详解】（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$