复习篇 11 三角函数的图象与性质 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

11 三角函数的图象与性质 【题型1】三角函数的周期性 【基础知识】 1 周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期. ③ 三角函数就是典型的周期函数. 2 正弦型函数与余弦型函数的最小正周期，正切型函数的定义域是. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一下·北京怀柔·期末）下列函数中，周期是，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（    ） A． B． C． D． 【题型2】正弦函数的图象及其性质 【基础知识】 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 当时，； 当时，. 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称； B．函数的图象关于直线对称； C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到； D．方程在上有两个不相等的实数根. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意的，在区间上的值域均为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3（2024·山东烟台·三模）若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4（多选）（2024·河南·模拟预测）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴是 C．图象的一个对称中心是 D．在上的值域为 【题型3】余弦函数的图象及其性质 【基础知识】 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 当时，； 当时，. 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高三上·广西·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是的一个周期 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．在区间上的最大值为 【巩固练习】 1（23-24高一上·福建·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 2（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 3（22-23高三下·陕西西安·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，若关于点对称，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 4（24-25高三上·吉林通化·期中）已知是函数在上的两个零点，则（ ） A． B． C． D． 【题型4】 正切函数的图象及其性质 【基础知识】 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在上是增函数 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的有（    ）个 ①                              ②在上单调递增 ③为的一个对称中心     ④最小正周期为 A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习】 1（24-25高三上·山东泰安·期中）“函数的图象关于对称”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 2（多选）（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．图像对称中心为 B．的最小正周期为 C．的单调递增区间为 D．若，则 【题型5】 三角函数图象与性质的综合运用 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形为平行四边形，且面积为，则（   ）    A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．直线是曲线的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上恰有2024个零点 3（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（    ） A．466 B．467 C．932 D．933 【题型6】 三角函数图象与性质的实际问题应用 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，，点B为半圆上任意一点，以AB为边向半圆外作等边三角形ABC.    (1)求四边形OACB的面积的最大值； (2)求线段OC长的最大值. 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·课后作业）主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线 ，其振幅为2，且经过点. (1)求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式； (2)证明：为定值. 2（24-25高三上·上海·期中）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且， 米，设． (1)求扇形的面积； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取得最大值时的值． 【A组---基础题】 1（2024高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 3（23-24高一下·北京·阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）下列三个关于函数的命题： ①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象； ②函数的图象关于对称； ③函数在上单调递增． 其中，真命题的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．以上皆不对 6（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，则下列说法错误的是 A．是函数的周期 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D．函数的对称轴方程为 7（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数，若存在实数，，…，，满足，且，则正整数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8（22-23高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，对都有，且是的一个零点.若在上有且只有一个零点，则的最大值为 . 9（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)求的对称中心和单调递减区间； (3)若，，求的值． 10（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记．    (1)试用θ分别表示矩形和的面积； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用． 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高三上·四川自贡·期中）函数，若在区间单调递减，且，下列正确的是（    ） A． B．在区间单调递增 C．函数的最小正周期为2 D．图象的对称轴是 2（湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）已知函数在上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 三角函数的图象与性质 【题型1】三角函数的周期性 【基础知识】 1 周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期. ③ 三角函数就是典型的周期函数. 2 正弦型函数与余弦型函数的最小正周期，正切型函数的定义域是. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断． 【详解】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误； 对于B：，其最小正周期为，故错误； 对于C：满足，以为周期， 当时，，由正切函数的单调性可知在区间上单调递减，故错误； 对于D，满足，以为周期， 当时，，由余弦函数的单调性可知，在区间上单调递增，故正确； 故选:D 【巩固练习】 1（23-24高一下·北京怀柔·期末）下列函数中，周期是，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项； 【详解】对于A.周期是，A错误； 对于B.周期是，因为是偶函数，B错误； 对于C.周期是，因为是偶函数，C错误； 对于D.周期是，又是奇函数，D正确； 故选：D. 2（24-25高二上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，其最小正周期为，故A错误； 对B，设，且，解得， 其定义域为，关于原点对称，其最小正周期为，故B正确； 对C，其最小正周期为，故C错误； 对D，设 ，定义域为，关于原点对称， 则，则其为偶函数，故D错误. 故选：B. 【题型2】正弦函数的图象及其性质 【基础知识】 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 当时，； 当时，. 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于点中心对称； B．函数的图象关于直线对称； C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到； D．方程在上有两个不相等的实数根. 【答案】D 【分析】代入验证可判断AB；根据平移变换判断C；直接解方程可判断D. 【详解】对于A，当时，，所以的图象关于直线对称， 即的图象不关于点对称，故A错误； 对于B，当时，，所以的图象关于点对称， 即函数的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，的图象向右平移个单位得到 ，故C错误； 对于D，令，则，或， 即，或， 又，则，或， 因此可得方程在上有两个不相等的实数根，故D正确． 故选：D. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意的，在区间上的值域均为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合函数在上的值域和题设条件，可知区间长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得的范围. 【详解】因， 显然，当时，， 因，在上的值域均为， 故区间长度必须大于一个周期，即，解得. 故选:D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合，即可得出答案. 【详解】因为函数的图象关于点中心对称， 所以，所以， 因为，所以. 故选：C. 2（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于（1），由， 所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误； 对于（2）中，由， 所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误； 对于（3）中，令，可得， 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确； 对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误. 故选：A. 3（2024·山东烟台·三模）若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先得出，然后结合已知列出关于的不等式组，结合是正整数即可得解. 【详解】由题意且是整数， 若，则， 若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心， 所以，解得，即. 故选：C. 4（多选）（2024·河南·模拟预测）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴是 C．图象的一个对称中心是 D．在上的值域为 【答案】AD 【分析】根据二倍角公式，以及辅助角公式化简，即可根据周期的公式即可求解A，代入即可验证BC，根据整体法，即可结合三角函数的性质求解. 【详解】由可得， 对于A， 的最小正周期为，故A正确， 对于B，，故不是图象的一条对称轴，故B错误， 对于C， ，故图象的一个对称中心是，故C错误， 对于D，当，则，故， 故，故D正确， 故选：AD 【题型3】余弦函数的图象及其性质 【基础知识】 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 当时，； 当时，. 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高三上·广西·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是的一个周期 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．在区间上的最大值为 【答案】BD 【分析】根据周期公式即可判断A，代入验证即可求解BC，根据整体法即可求解D. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，故A错误； 对于B：因为，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：由于，，故不是奇函数，故C错误； 对于D：当时，， 所以当，即时，取得最大值，故D正确． 故选：BD． 【巩固练习】 1（23-24高一上·福建·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 【答案】AB 【分析】利用函数的最小正周期为求出可判断A；代入法可判断B，利用余弦函数的单调性可判断C；根据的范围求出的值域可判断D. 【详解】对于A：因为函数的最小正周期为， 所以，可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误； 对于D，当时，，所以， 可得，故D错误. 故选：AB. 2（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件，结合余弦型函数的周期公式可求，再根据余弦型性质求函数的对称轴即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 所以， 所以， 令，， 可得，， 所以函数的对称轴为，， 结合选项考虑令，化简可得， 所以取，此时对称轴方程为. 故选：B. 3（22-23高三下·陕西西安·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，若关于点对称，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用三角函数图象变换结论求出变换后的函数图象额解析式，再由余弦函数的对称性的性质求的最小值. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度 得到的曲线的函数解析式为， 由已知函数的图象关于点对称， 所以，， 所以，又， 所以的最小值是， 故选：B. 4（24-25高三上·吉林通化·期中）已知是函数在上的两个零点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用换元法结合图象先分析出的关系，然后利用诱导公式和已知条件求解出的值. 【详解】由题意可知，是方程的两根，且， 令，作出在上的图象如下图所示： 由图象可知，，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 故选：B. 【题型4】 正切函数的图象及其性质 【基础知识】 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在上是增函数 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的有（    ）个 ①                              ②在上单调递增 ③为的一个对称中心     ④最小正周期为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接求函数值判断命题①；由正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断命题②③④. 【详解】命题①，已知函数，，故①错误； 命题②，，，解得，， 当时，，所以在上单调递增，故②正确； 命题③，把带代入，， 则为的一个对称中心，故③正确； 命题④，函数最小正周期为，故④错误. 正确命题有2个. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高三上·山东泰安·期中）“函数的图象关于对称”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：当，时，， 令，解得，则函数的对称中心为，故必要； 当的图象关于对称时，令，解得，故不充分， 故选：B 2（多选）（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．图像对称中心为 B．的最小正周期为 C．的单调递增区间为 D．若，则 【答案】BD 【分析】由正切型函数的对称中心、周期、单调性判断ABC三个选项，解正切函数不等式得到D选项. 【详解】对于A，令，则，A错误； 对于B，的最小正周期为，B正确； 对于C，根据正切函数性质可知，只有递增区间，则只有递减区间，C错误； 对于D，由题意可知， 所以解得， 所以，D正确. 故选：BD. 【题型5】 三角函数图象与性质的综合运用 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形为平行四边形，且面积为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由四边形为平行四边形，可得，由可得；将点代入，可得，将代入解析式即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形可知，，设，则， 所以，所以，解得，则， 将点代入得，，即，由于点在的增区间上， 所以，，则，， 所以， 故 . 故选：A. 【巩固练习】 1（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到曲线的一条对称轴为，设零点从小到大依次为，从而得到，从而得到，得到答案. 【详解】因为的最小正周期为， 所以曲线的一条对称轴为， 所以， 设零点从小到大依次为，其中， 有，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 2（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．直线是曲线的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上恰有2024个零点 【答案】C 【分析】对于A，用周期性定义验证即可；对于B,用对称性定义验证即可；对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.结合换元和二次函数，正弦函数最值问题求解即可；对于D,先研究函数在上的零点个数，再用周期性拓广即可. 【详解】对于A,因为与不恒相等，所以不是的周期，故A错误； 对于B,又与不恒相等，故B错误； 对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值. ①当时，，令， 则，易知在区间上的最大值为，最小值为， ②当时，,令， 则，知在区间上的最大值为，最小值为， 综上所述函数的最大值为，最小值为，故C正确； 对于D,先研究函数在上的零点个数，由C可知,当时，令得， 又因为，在只有唯一解，即此时函数只有唯一零点. 同理可得当时函数也只有唯一零点.所以函数在上恰有2025个零点.故D错误. 故选:C. 3（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（    ） A．466 B．467 C．932 D．933 【答案】B 【分析】方法一：根据的范围，确定的范围，结合已知条件以及函数的零点，得且，分别验证、、确定的范围，求出的最大值，代入函数解析式即可求解；方法二：利用换元的令，根据的范围，确定的范围，由，得出的范围，结合图象性质，以及已知条件，最终确定的最大值，代入函数解析式即可求解. 【详解】方法一：由题意，函数，可得函数的周期为， 因为，可得， 又由函数在区间上有且仅有一个零点， 且满足，且，可得， 即，且， 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 所以，得， ，则，解得， 令，则有， 解得，即， 因为，所以共有467个零点. 方法二：由题意，函数，可得函数的周期为， 因为，可设，则， 又函数在区间上有且仅有一个零点， 可得，所以，则由图象性质， 可知，得，即. 或者，得，即. 所以最大为，得. ，则，解得. 令，则有：， 解得：，即， 因为，所以共有467个零点. 故选：B. 【点睛】思路点睛：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有个零点，需要确定含有个零点的区间长度，一般和周期相关. 【题型6】 三角函数图象与性质的实际问题应用 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，，点B为半圆上任意一点，以AB为边向半圆外作等边三角形ABC.    (1)求四边形OACB的面积的最大值； (2)求线段OC长的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设，则，在△AOB中，由余弦定理求出，计算，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解； （2）设，对为锐角、钝角、直角分类讨论都有，，在中，由余弦定理表示，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解； 【详解】（1）设，则，在△AOB中， . 于是 . 又， ∴当，即时， 取到最大值. （2）设. 若为锐角，则，且. ，. 若为钝角（如图所示），则，且，，， 若，则仍有，.    于是在△中， . ， ∴当，即时，OC取到最大值3. 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·课后作业）主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线 ，其振幅为2，且经过点. (1)求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据振幅为2求出A，将点代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明. 【详解】（1）由振幅为2，，可得，， 由噪声声波曲线经过点，得， 而，， 则，则， 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反， 所以. （2）由（1）， 则 ， 即为定值0. 2（24-25高三上·上海·期中）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且， 米，设． (1)求扇形的面积； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取得最大值时的值． 【答案】(1)平方米 (2)当时，取得最大值. 【分析】（1）根据题意利用扇形的面积公式求解即可； （2）利用直角三角形的性质结合半径与分别表示出，从而可求出，再利用三角函数恒等变换公式对化简变形，结合角的范围可求出的最大值. 【详解】（1）由题意知，扇形的半径米， 所以扇形的面积为平方米； （2）在中，， 在中，， 则由，得， 所以， 所以 ，， 由，得，则， 所以当，即时，取得最大值. 【A组---基础题】 1（2024高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦函数的周期公式求出即可； 【详解】由周期公式可得最小正周期为， 故选：C. 2（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的对称性的性质列方程求. 【详解】将函数的图象向左平移个单位可得的图象， 由已知函数关于对称， 所以，， 所以，，又， 所以. 故选：D. 3（23-24高一下·北京·阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性，然后代入验证判断对称性即可. 【详解】对于A，为奇函数，A错误； 对于B，为偶函数， 因为，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，为偶函数， 因为，所以不是的对称中心，C错误； 对于D，为奇函数，D错误. 故选：B 4（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合余弦型函数的图象与性质计算即可得. 【详解】由，得， 则根据题余弦函数性质可得，解得. 故选：C 5（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）下列三个关于函数的命题： ①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象； ②函数的图象关于对称； ③函数在上单调递增． 其中，真命题的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．以上皆不对 【答案】C 【分析】对于①，利用三角恒等变换得到，利用左加右减得到平移后的解析式，得到①错误；对于②，计算出，②错误；对于③，求出，由于在上单调递增，得到③正确. 【详解】对于①， ， 的图象向右平移个单位得到，①错误； 对于②，，故图象不关于对称，②错误； 对于③，时，， 由于在上单调递增， 故在上单调递增，③正确． 故选：C 6（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，则下列说法错误的是（   ） A．是函数的周期 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D．函数的对称轴方程为 【答案】B 【分析】利用正弦函数的图象与性质逐一判断选项即可. 【详解】A：因为， 所以是函数的周期，故A正确； B：∵，∴， 又在上不单调，故B错误； C：函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，故C正确； D：令，得，故D正确， 故选：B 【点睛】思路点睛：解答选项A的思路为验证；选项BD为整体代换法的应用；选项C为函数图象的平移变换. 7（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数，若存在实数，，…，，满足，且，则正整数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由的性质，根据的特点以及题意求解. 【详解】由题意，要尽可能地小， 则等式中，每一项要尽可能地大， 因为，显然尽可能有更多组使 时，最小， 结合最多三组，故另外两组的和为2时，最小， 此时不妨取可取满足题意. 故选：D.. 【点睛】关键点点睛：关键是熟悉正弦函数的图象的性质，理解所给式子的意义. 8（22-23高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，对都有，且是的一个零点.若在上有且只有一个零点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据余弦型函数的基本性质可得出关于、的方程组，解出、的表达式，再结合函数与方程的关系，将问题转化为存在唯一的，使得函数取到最大值，且，结合三角函数的基本性质，求出的范围，由大到小进项检验，即可求得的最大值. 【详解】因为函数， 对都有，且是的一个零点， 则，解得, 因为函数在上有且只有一个零点， 则方程在上有且只有一个根， 因为，所以，存在唯一的，使得函数取到最大值，且， 则，解得， 令，则，且， 所以，、的奇偶性相同， 由可得，解得，即， 当时，，为奇数，则，所以，， 由可得， 此时，当或时，函数取最大值，不合乎题意； 当时，，为偶数，，即， 由可得， 此时，当时，函数取最大值，合乎题意. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 9（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)求的对称中心和单调递减区间； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)对称中心为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）先化简解析式，再利用即可求出； （2）化简，再利用整体代换求对称中心和单调递减区间即可； （3）由得，通过求出，再凑角为，化简后求值即可. 【详解】（1）， 因为，所以，所以； （2）由（1）知， 令得， 所以的对称中心为， 令得， 所以单调递减区间为 （3）因为，所以， 又因为，所以， 因为，可得，所以， 所以． 10（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记．    (1)试用θ分别表示矩形和的面积； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用． 【答案】(1)矩形的面积为； 的面积为： (2)，万元 【分析】（1）根据题意，得到，，进而求得矩形和的面积的表达式； （2）根据题意，得到总费用为：，设，结合二次函数与三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，所以，， 所以矩形PCOD的面积为， 的面积为. （2）解：由题意，可得建造观景区所需总费用为：， 设，则， 又由， 所以， 当，即时，有， 所以（万元）， 即当平时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元． 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高三上·四川自贡·期中）函数，若在区间单调递减，且，下列正确的是（    ） A． B．在区间单调递增 C．函数的最小正周期为2 D．图象的对称轴是 【答案】ABC 【分析】AC选项，分析得到为函数位于轴右侧第一个最大值点，且为函数位于轴右侧第一个对称中心，从而得到方程组，求出，，的最小正周期为，AC正确；B选项，时，，得到在区间单调递增，B正确；D选项，代入计算出，D错误. 【详解】AC选项，因为在上单调递减，且， ，故在上单调递增， 所以为函数位于轴右侧第一个最大值点， 且为函数位于轴右侧第一个对称中心， 故，，解得，， 故函数的最小正周期为，AC正确； B选项，时，， 由于在上单调递增，故在区间单调递增，B正确； D选项，，故不是图象的对称轴，D错误. 故选：ABC 2（湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）已知函数在上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别作出函数与函数的图象，分，讨论即可． 【详解】分别作出函数与函数的大致图象． 分两种情形：当时，，如图1，    当时，与的图象有一个交点，符合题意； 当时，，如图2， 当时，要使得与的图象只有一个交点， 只需，即，解得（舍去）． 综上，正实数m的取值范围为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握二次函数与三角函数的图象，从而数形结合即可得解. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$