复习篇 10 三角恒等变换【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

10 三角恒等变换 【题型1】 两角和差的正弦，余弦与正切公式 【基础知识】 ① 余弦两角和差公式 ②正弦两角和差公式 ③正切两角和差公式 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知为锐角，且，，则角等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则等于（    ） A． B． C．1 D． 2（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知，则（    ） A． B．3 C． D．4 3（24-25高三上·湖北·期中）已知，，则（   ） A． B．2 C． D． 4（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【题型2】辅助角公式 【基础知识】 其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 【经典例题】 【例1】（21-22高一下·全国·课后作业）求函数的最大值（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 2（22-23高一下·甘肃酒泉·期末）求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 3（24-25高三上·福建南平·期中）已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型3】二倍角的正弦余弦正切公式 【基础知识】 1 二倍角的正弦余弦正切公式 ① ② ③ (由、、可推导出，，的公式) 2 降幂公式 【经典例题】 情况1给值求值或角 【例1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·山西·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．2 2（24-25高三上·重庆·阶段练习）若为锐角，已知，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·山西·期中）已知为第一象限角，，则（   ） A． B． C． D． 情况2 凑角或换元法 【例1】（2024·贵州黔南·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·山东威海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】 实际问题中三角恒等变换的应用 【经典例题】 【例1】（22-23高一下·四川达州·期中）如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．    【巩固练习】 1（23-24高一上·四川成都·阶段练习）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（   ）． A． B． C． D． 2（22-23高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 3（2023高三·全国·专题练习）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 4（23-24高一上·湖南怀化·期末）如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 5（23-24高一下·河北承德·阶段练习）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【A组---基础题】 1（24-25高三上·四川自贡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·河北保定·期中）已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（    ） A． B．7 C． D． 3（2024·江西新余·模拟预测）函数的最大值为：（     ）. A． B． C． D． 4（24-25高三上·山东泰安·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 6（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 7（23-24高一下·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 8（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 9（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 10（24-25高一下·全国·课堂例题）某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 【B组---提高题】 1（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10 三角恒等变换 【题型1】 两角和差的正弦，余弦与正切公式 【基础知识】 ① 余弦两角和差公式 ②正弦两角和差公式 ③正切两角和差公式 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用和（差）角的余弦公式与切割化弦方法，转化为的运算即可求解 【详解】解：因为，， 所以 解得， 所以 . 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知为锐角，且，，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构角，结合条件，再利用正切的和角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， ∴，∴， 又因为为锐角，所以. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】结合题意利用两角差的正切公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A 2（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】由已知可得，从而可得，再根据同角商的关系即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 即， 即. 故选：A. 3（24-25高三上·湖北·期中）已知，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，而， 因此，所以. 故选：C 4（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由可得，易知得，， 则 又因为，所以. 故选：C 5（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用两角和差的正弦公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解. 【详解】由， 则， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选：A. 【题型2】辅助角公式 【基础知识】 其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 【经典例题】 【例1】（21-22高一下·全国·课后作业）求函数的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简，从而求得的最大值. 【详解】 所以，当时取得最大值为. 故选：A 【巩固练习】 1（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式求出答案. 【详解】，C正确； 其他选项不满足要求. 故选：C 2（22-23高一下·甘肃酒泉·期末）求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式计算即可. 【详解】 ， 故选： 3（24-25高三上·福建南平·期中）已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与的关系，可采用换元法转化为关于的二次函数最大值的求解问题，根据的范围和二次函数性质可求得结果. 【详解】，， 令，则， 则，， 即的最大值为. 故选：A. 【题型3】二倍角的正弦余弦正切公式 【基础知识】 1 二倍角的正弦余弦正切公式 ① ② ③ (由、、可推导出，，的公式) 2 降幂公式 【经典例题】 情况1给值求值或角 【例1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式结合的范围化简原式得到的值，然后将平方并结合的范围求得结果. 【详解】因为，所以， 所以， 又，则，，即，所以， 因为，所以，， 由，可得，即，符合题意， 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·山西·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】化简条件式求出，再将求解式子弦化切，代入运算. 【详解】由，得，则， 所以 . 故选：A. 2（24-25高三上·重庆·阶段练习）若为锐角，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合平方关系求得，，进而根据二倍角公式计算即可. 【详解】由为锐角，则，， 由，解得，， 所以. 故选：D. 3（24-25高三上·山西·期中）已知为第一象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式两边同时平方，借助同角三角函数平方和为，化简得到.用二倍角公式对所求式子进行化简，构造成分子分母均为次的齐次式，然后分子分母同时除以，得到含有的式子，代入的值，求得结果. 【详解】∵，∴， 即， ∵，∴，即， . 故选：B 情况2 凑角或换元法 【例1】（2024·贵州黔南·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得，即，解得， 所以. 故选：C 【巩固练习】 1（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解. 【详解】， 所以， 所以， 故选：D. 2（2024·山东威海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和余弦二倍角公式得到，化弦为切，代入求值即可. 【详解】， 故 . 故选：A 【题型4】 实际问题中三角恒等变换的应用 【经典例题】 【例1】（22-23高一下·四川达州·期中）如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．    【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为． 【分析】根据锐角三角函数定义，结合矩形的面积公式、辅助角公式、正弦型函数的最值进行求解即可. 【详解】解：在中，，，， 在中，， ∴， ∴， 设矩形ABCD的面积为S，则 ， 由，得， 所以当，即时，， 因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为． 【巩固练习】 1（23-24高一上·四川成都·阶段练习）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再计算面积即可. 【详解】解：由题知，，， 所以，在中，， 所以，其矩形木料的面积为. 故选：D 2（22-23高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，矩形面积为，求面积的函数的表达式，结合正弦函数性质求其最大值即可. 【详解】设，矩形面积为， 扇形的半径为，圆心角为， 所以，，， 所以． 化简得：，， 当，即时， 取最大值． 故选：B. 3（2023高三·全国·专题练习）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 【答案】C 【分析】设球的半径为，再根据球相切的性质，结合三角函数关系求解即可. 【详解】如图，设球的半径为，球心为，为与球的切线，则. ， .    故选：C 4（23-24高一上·湖南怀化·期末）如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先利用三角函数表示和，再结合三角函数恒等变换，以及角的范围，即可求面积的范围； （2）根据（1）分别表示的周长，利用换元，转化为关于的函数，再求最值. 【详解】（1）由图可知在中有在中有           由得， （2）由，在中有       令，则，其中，      故且           当即时的周长 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正确利用三角函数表示面积和周长，第二问中，有和时，利用换元法，结合同角三角函数平方关系式，表示为函数求最值. 5（23-24高一下·河北承德·阶段练习）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，求出、的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得的面积的最大值； （2）计算出线段、、、的长，令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值. 【详解】（1）解：设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）解：过点作，垂足为点，    因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以， ， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 【A组---基础题】 1（24-25高三上·四川自贡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切差角公式得到，进而化弦为切，代入求值即可. 【详解】， 解得， 则. 故选：D 2（24-25高一上·河北保定·期中）已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数定义及两角差的正切公式计算即可. 【详解】角的终边经过点，则 将角的终边顺时针旋转后得到角，则. 故选：B. 3（2024·江西新余·模拟预测）函数的最大值为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换的知识化简的表达式，进而求得的最大值. 【详解】 . 所以的最大值为. 故选：A 4（24-25高三上·山东泰安·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件即可求得，代入即可求得. 【详解】由，则 ，化简得，所以 ，由. 故选：B 5（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由辅助角公式，诱导公式，二倍角公式可得答案. 【详解】由辅助角公式，. 因为，则 . 故选：B 6（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意整理可得，以为整体，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为， 整理可得， 所以. 故选：A. 7（23-24高一下·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化 【详解】因为，解得， 所以 . 故选：C 8（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦的和差角公式化简，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 又为三角形的内角，所以，即是等腰三角形. 故选：A 9（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 10（24-25高一下·全国·课堂例题）某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 【答案】 【分析】设，用的三角函数分别表示矩形的长和宽，利用降幂公式和辅助角公式将矩形面积解析式化成正弦型函数，最后结合三角函数的图象即可求得矩形面积最大值. 【详解】 如图，连接OC，设，则，因, 则则， 故 ．因，则， 故当，即当时， 即割出的长方形桌面的最大面积为． 【B组---提高题】 1（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两角和的余弦公式求出，再将平方结合平方关系化简即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 即， 即， 即， 所以. 故选：C. 2（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以.又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 3（23-24高一上·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. 【答案】(1)， (2)当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元 【分析】（1）根据三角函数定义以及勾股定理表示出的三边，由此可得关于的函数，结合的极限位置可知定义域； （2）先表示出，然后通过三角换元，令，由此可得关于的函数，利用函数单调性求解出的最小值，则结果可知. 【详解】（1）因为，所以， 当在点时，此时最小，又，所以，所以， 当在点时，此时最大，又，所以， 由上可知，； 因为，所以， 又因为，且， 所以， 所以， 所以，定义域为； （2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需最小即可， 由（1）可知：且， 设，且，所以， 所以， 又因为，且， 且，， 所以， 令，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以的最小值为，此时，所以，所以， 综上所述，当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数解决实际问题，其中涉及到三角函数定义、三角恒等变换以及根据函数单调性求最值等问题，难度较大.解答本题第二问的关键：通过三角换元，将复杂的三角函数问题转化为分析函数单调性求最值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$